2022年数值计算方法教案数值积分 .pdf

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1、名师精编精品教案计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会计算方法又称“ 数值分析 ” 。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的计算方法还要求适应电子计算机的特点。数值分析即 “ 计算方法 ”.下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积分内容的心得与体会。首先了解一下数值积分的内容：（1）针对定积分baIfx dx，若5fxx ,a=0,b=1 ，即有161500166xIx dx，但当sin xfxx，2sinfxx ，时，很难找到其原函数。（2）被积函数并没有具体的解析形式，即f

2、x 仅为一数表。定积分baIfx dx的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是yfx ，y=0，x=a，x=b。aby=f(x)xy2baabIfx dxbaf；其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积aby=f(x)xya+b2以及梯形公式2babaIfx dxfafb梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师精编精品教案aby=f(x)xy再来是辛普森公式462babaabIfx dxf aff b辛 普 生 公 式 的

3、 几 何 意 义 为 ， 阴 影 部 分 的 面 积 为 抛 物 线 曲 边 梯 形 ， 该 抛 物 线 由,( ) ,( )22ababa f afb f b三点构成。aby=f(x)xya+b2从而到处其一般公式为0nbkkakfx dxA fx，其中kx 称为节点，kA 称为求积系数， 或权。衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。 若某积分公式对于0,1,kxkm 均能准确成立，但对于1mx不能准确成立。 则称该公式具有 m次代数精度。 代数精度只是衡量积分公式好坏的1 种标准。* 研究中矩形公式2baabfx dxba

4、f的代数精度及几何意义。【解】当01fxx时，公式左边1bbaafx dxdxba ，公式右边ba，左=右；当1fxx 时，公式左边22222bbbaaaxbafx dxx dx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师精编精品教案公式右边2222abbaba，左=右；当2fxx 时，公式左边333233bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边22abba，左右；故中矩形公式具有1 次代数精度。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。aby

5、=a+bxxya+b2其次是研究几种计算方法：首先是待定系数法 。例 1. 构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析：构造一次代数精度的公式，即当1fx及 fxx 时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2 个参数的积分公式。解：设积分公式为：01bafx dxA f aA f b 。针对1fx及 fxx ，代入积分公式的左边和右边，有：01220112baAAbaA aAb，解得012Aba，112Aba于是有积分公式：22bababafx dxfafb。该公式即为梯形求积公式。例 2. 构造一个至少具有2 次代数精度的求积公式。精选学习资料 - - - - - - - -

6、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编精品教案解：设积分公式为0122baabfx dxA faA fA fb。针对1fx， fxx 及2fxx ，代入积分公式的左边和右边，有：0122201223322012122132baAAAabbaA aAA babbaA aAA b，解得：016Aba，123Aba，216Aba积分公式为：462babaabIfx dxf aff b该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2 次，而是 3 次的。方法二，插值法 （插值型求积公式），即过函数 f(x) 的 n+1节点 x0，x1， xn，作n 次多

7、项式函数nPx ，根据拉格朗日公式：0nnkkkPxlx fx，则有00nnbbbnkkkkaaakkfx dxPx dxlx dxfxA fx，其中，bkkaAlx dx代数精度的分析：若被积函数fx 是次数小于 n 的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n 次多项式函数nPx 即是被积函数 fx 本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。若 fx 是一条直线，那么过其曲线上3 个点构造的抛物线22012P xaa xa x ，其中必有20a，即2Pxfx ；同理，若fx 是一条抛物线，那么过其曲线上 4 个点构 造的3 次多项式函数2330123P xaa xa xa x ，其中必有30a，即3Pxfx 。再来是牛顿 -柯特斯公式：2baabIfx dxbaf；几何意义为，用以下矩形面积替代曲边梯形面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编精品教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页