2022年2.2--常见函数要点 .pdf

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1、精品资料欢迎下载2.2常见函数一、一次函数和常函数：思维导图：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（一）、一次函数（二）、常函数定义域：（ - ， + ）定义域 : （- ， + ）值域：（ - ， + ）正 k=0 反值域： b 解析式： y = kx + b ( k 0 ) 解析式： y = b ( b 为常数 ) 图像：一条与x 轴、 y 轴相交的直线图像：一条与x 轴平行或

2、重合的直线y b0 b=0 b0 o x 0 x o x b=0 b0 b 0 k 0 , 在（ - ， + ）单调性：在（- ， + ）上不单调k 0 k 0, （- ， 0） , （0，+ ）单调性 : 在),(ab和),(ab上k 0 、)1, 0(1log,01logaaaaa对任意 a 0 且 a1，都有 a01 log a 10 同样易知：log a a1、对数恒等式：)1,0(logaaNaNa如果把 abN 中的 b 写成 log a N, 则有 aNalogN 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载、指数恒等式：)1,0(logaababa、常用对数我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。为了简便 , N的常用对数NNlg,log10简记为例如： log 105 简记作 lg 5 log103.5 简记作 lg3.5. 、自然对数在科学技术中常常使用以无理数e2.71828为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数NNeln,log简记为。例如： loge3 简记作 ln3 loge10 简记作 ln10 （4）. 运算性质：

4、若 a0，a 1，M0，N0，则(1)NMNMaaalogloglog;(2)NMNMaaalogloglog;(3)(loglogRnMnMana【现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用】. 证明： (1)设 logaMp，logaNq 由对数的定义得： Map，Naq MNap aqap+q再由对数定义得 logaMNpq，即证得 logaMNlogaMlogaN (2)设 logaMp，logaNq 由对数的定义可以得Map，Naq，MNapaqapq，再由对数的定义得logaMNpq 即证得

5、logaMNlogaMlogaN (3)设 logaMp 由对数定义得 Map Mn（ap）nanp 再由对数定义得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载logaMnnp 即证得 logaMnnlogaM 例：计算：（1） lg142lg73lg7lg18 （2）lg243lg9（3）lg27 lg83lg10 lg1.2【解析】 (1) 、解法一： lg14 2lg73lg7lg

6、18lg(2 7)2(lg7lg3)lg7lg(32 2) lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2 0解法二： lg14 2lg73lg7lg18lg14lg（73）2lg7lg18lg14 7（73）2 18lg10 （2）lg243lg9lg35lg325lg32lg352（3）lg27 lg8 3lg10 lg1.2lg（33）21 lg23 3lg（10）21lg3 221032（lg32lg21）lg32lg2132（5）. 对数换底公式：)0, 10,10(logloglogNmmaaaNNmma且且证明 ：设 log a N x , 则 ax N两边取以m 为底的对数：

7、 log m axlog m Nx log m alog m N从而得： xlog m Nlog m a log a Nlog m Nlog m a两个常用的推论: 1loglogabba）且均不为、10(loglogbabmnbanam证： log a blog b alg blg a lg alg b1 logmabnlg bnlg amnlg bmlg a nm log a b 例： 设x、y、z（ 0，）且3x4y6z1求证1x12y1z； 2比较 3x，4y，6z 的大小名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

8、- - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载证明 1 ：设 3x4y6zkx、y、z（0，）k1 取对数得： xlg klg 3， ylg klg4， zlg klg 61x12ylg 3lg klg 42lg k2lg 3lg42lg k2lg 32lg22lg klg 6lg k1z 2 3 x4y（3lg 34lg 4）lg klg64 lg81lg 3lg4 lg klg klg6481lg 3lg40 3x4y又 4y6z（4lg 46lg 6）lgk lg36 lg64lg 2lg6 l

9、gk lgk lg916lg 2lg60 4y6z 3x4y6z （二）、指数函数、对数函数和幂函数已知Nab，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：关系一： N如何随着b 的变化而变化以指数为自变量、以幂为因变量的函数指数函数；关系二： N如何随着a 的变化而变化以底数为自变量、以幂为因变量的函数幂函数；关系三： a 如何随着b 的变化而变化bbNNa1( 指数为自变量、幂为因变量) 指数函数；+ 关系四： b 如何随着N的变化而变化Nbalog（以真数为自变量、以对数为因变量）对数函数；关系五： a 如何随着N的变化而变化bbNNa1（以底数为自变量、幂为因变量）指数函数关系六： b

10、如何随着a 的变化而变化Nbalog；定义：函数)1,0(aaayx叫做指数函数，其中x 是自变量。函数) 1,0(logaaxya叫做对数函数。函数为常数）(xy叫做幂函数，其中x 是自变量。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1、指数函数 2、对数函数定义域：（ - ， + ）定义域 : （0，+ ）值域：（ 0，+ ）值域：（ - ， + ）解析式：)10()(aaaxfx

11、且解析式：) 10(log)(aaxxfa且图像：位于 x 轴上方，向 x 轴无限接近图 像：位于 y 轴右侧，向 y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载轴无限接近 y y y y 1 1 0 x 0 x 0 1 x 0 1 x 1a10a1a10a【特殊点】恒过（0，1），（ 1，a) 【特殊点】恒过（1，0)，（ a，1）【y = 1 】【x = 1 】1xay01xa或01

12、0 xa0logxya11xa或1010 xa1xay01xa或010 xa0logxya101xa或110 xa【底数的大小】 y 【底数的大小】xcyxdyxayxbyy xyalogxyblogx0 x 0 xyclogabcd10abcd10单调性：），在（, 1a单调性：），在（0, 1a），在（, 10a），在（0, 10a奇偶性：无奇偶性：无周期性：无周期性：无反函数：)1,0(logaaxya反函数：)1,0(aaayx3、幂函数为常数）(xy问题 1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性利用计算机画出它们的图象，观察它们的

13、图象，看有什么共同点？（1）y21x；（ 2）y31x；（ 3）y32x；（ 4）y34x思路： 先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断（1）定义域为 0，），（ 2）（ 3）（ 4）定义域都是xydlog名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载R；其中（ 1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（ 4）是偶函数它

14、们的图象都经过点（0，0）和（ 1，1），且在第一象限内函数单调递增问题 2： 仿照问题1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？（1）yx1；（ 2）yx2；（ 3）y21x；（ 4）y31x思路： 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（ 1）（ 2）（4）的定义域都是x|x0 ，（ 3）的定义域是（ 0，）；（ 1）（ 4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线总结： 研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正

15、指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断问题1和问题 2 中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比【五个重要的幂函数】：（1）xy；（2）21xy；（3）2xy；（4）1xy；（5）3xy【幂函数性质】（1）所有的幂函数在（0， +）都有定义，并且图象都过点（1，1）；xy2xy3xy21xy1xy定义域值域奇偶性单调性定点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习

16、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴例 1讨论函数y52x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图思路： 函数y52x是幂函数（1）要使y52x5x2有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R

17、（2）xR，x20y0（3）f（x）5（x）25x2f（x），函数y52x是偶函数；（4）n250，幂函数y52x在 0，上单调递增由于幂函数y52x是偶函数，幂函数y52x在（， 0）上单调递减（5）其图象如右图所示例 2比较下列各组中两个数的大小：（1）1.553，1.753；（ 2）0.71.5， 0.61.5；（ 3）（ 1.2 ）32，（ 1.25 ）32解析： （1）考查幂函数y53x的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.5 1.7 1.5531.753（2）考查幂函数y23x的单调性，同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，（ 1.2 ）321

18、.232，（ 1.25 ）321.2532，又 1.232 1.2532（ 1.2 ）32（ 1.25 ）32点评： 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例 3求函数y52x2x514（x 32）值域解析： 设tx51，x 32，t 2，则yt22t4（t1）23当t 1 时，ymin3函数y52x2x514（x 32）的值域为 3，）点评： 这是复合函数求值域的问题，应用换元法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -