2022年数学分析教学大纲 2.pdf

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1、数学分析（三） 教学大纲课程编号： 075006课程名称：数学分析（三） 学时/ 学分： 96 学时 /6 学分先修课程：数学分析（一） 、数学分析（二） 适用专业：数学与应用数学开课系或教研室：数学系函数论教研室一、课程性质与任务1课程性质：数学与应用数学专业的专业核心课2课程任务：通过教学使学生掌握数学分析的基本概念、基础理论和基本方法；熟悉和掌握数学分析的各种论证方法和演算方法；了解分析方法的各种实际应用；具备相当的分析基础，为进一步学习数学专业课程做好充分的准备。教学过程中要重视课堂教学、习题课、作业批改、讲评和课后辅导等各个环节，要求学生完成一定数量的基本习题，适当配备一些具有一定难

2、度的课外思考题。二、课程教学基本要求本课程为专业课，共96 学时，成绩考核形式为考试。三、课程教学内容（注：带者为重点内容）（十六）多元函数的极限与连续（14 学时）本章内容主要包括平面点集，多元函数的概念、极限、累次极限、连续性。1、主要内容（1）平面点集的基本概念：邻域，内点、界点，聚点，开集，闭集，区域，开区域，闭区域；（2）平面上的完备性定理：柯西准则，闭区域套定理，聚点定理，有限覆盖定理；（ 3）多元函数：二元函数的概念与几何表示，二元函数的二重极限、累次极限，多元函数；（ 4）二元函数的连续性：概念，局部性质，有界闭区域上连续函数的性质（有界性、最值性、一致连续性、介值性）。2、目

3、的和要求（1）熟悉平面点集中的邻域、区域等概念；（2）熟悉多元函数、多元函数的极限、累次极限与连续性等概念，会求二重极限、累次极限，会讨论函数的连续性；（3）了解闭区域套定理，聚点定理，有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。了解论证多元函数问题的方法- 化一法。（十七）多元函数微分学（16 学时）本章内容主要包括多元函数可微性与全微分、偏导数；可微性条件、几何意义及应用；复合函数微分法；方向导数与梯度；泰勒公式与极值问题。1、主要内容（ 1）多元函数可微性：多元函数可微性与全微分，偏导数及其几何意义，可微性的条名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

4、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 件、几何意义及应用；（ 2）复合函数微分法：复合函数的求导法则，复合函数的全微分；（3）方向导数与梯度；（4）泰勒公式与极值问题：高阶偏导数，中值定理与泰勒公式，极值问题二元函数的极值。2、目的和要求（1）掌握多元函数偏导数、全微分、高阶偏导数、方向导数的概念与计算；（2）熟悉可微、偏导数、连续三者间的关系；（3）理解并掌握两个不同的中值定理间的区别与联系；（4）了解泰勒定理，会求二元函数的极值。（十八）隐函数定理及其应用（12 学时）本章内容主要包括隐函数、隐函数

5、组定理及其应用。1、主要内容（ 1）隐函数：隐函数概念，隐函数存在定理，隐函数求导方法；（ 2）隐函数组：隐函数组概念，隐函数组定理，反函数组与坐标变换；（3）几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；（4）条件极值 - 拉格朗日乘数法。2、目的和要求（1）熟悉隐函数（组）概念与隐函数（组）的定理，掌握隐函数（组）求导方法；（2）熟悉平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面方程、曲面的切平面与法线方程的求法；（3）熟悉一元隐函数的极值、多元函数的条件极值的求法。（十九）含参量积分（14 学时）本章内容主要包括含参量正常积分，非正常积分，欧拉积分。1、主要内

6、容（ 1）含参量正常积分：含参量正常积分的概念、分析性质。（ 2）含参量非正常积分：含参量非正常积分一致收敛的定义、柯西准则、判别法，含参量非正常积分的性质；（3）欧拉积分：函数， B函数。2、目的和要求（1）掌握含参量正常积分的分析性质；（2）掌握含参量非正常积分一致收敛的定义、判别法， 了解含参量非正常积分的性质；（3）了解欧拉积分。（二十）曲线积分（6 学时）本章内容主要包括曲线积分的概念、性质、计算；两类曲线积分间的关系。1、主要内容（1）两类曲线积分的概念、性质，两类曲线积分间的联系； (2) 两类曲线积分的计算. 2、目的和要求（1）了解两类曲线积分的概念、性质；（2）了解两类曲线

7、积分的关系；（3）掌握两类曲线积分的计算；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - （二十一）重积分（24 学时）本章内容主要包括二重积分与三重积分的概念、性质；二重积分与三重积分的计算与简单应用。1、主要内容（1）二重积分的概念：定义，可积函数类，性质；（ 2）二重积分的计算：二重积分化为累次积分，二重积分换元法；（ 3）格林公式：格林公式，曲线积分与路线无关的条件；（4）三重积分的定义与性质；（ 5）三重积分的计算：三

8、重积分化为累次积分，三重积分换元法；（6）重积分的应用：曲面面积，质心，转动惯量，引力。2、目的和要求（1）熟悉二重积分与三重积分的概念、性质；（2）掌握二重积分与三重积分的计算、格林公式，曲线积分与路线无关的条件；（3）了解二重积分与三重积分的简单应用。（二十二）曲面积分（10 学时）本章内容主要包括两类曲面积分的概念、性质、计算；两类曲面积分间的联系；高斯公式、斯托克斯公式。1、主要内容（1）第一型曲面积分的概念，第二型曲面积分的概念；（ 2）第一型曲面积分的计算，第二型曲面积分的计算；（3）两类曲面积分的联系；（ 4）高斯公式与斯托克斯公式。2、目的和要求（1）了解第一型曲面积分的概念，

9、特别是第二型曲面积分的概念；（2）掌握第一型曲面积分的计算，第二型曲面积分的计算；（3）掌握高斯公式与斯托克斯公式；（4）了解两类曲面积分间的关系。四、学时分配表章序内容课时备注第十六章第十七章第十八章第十九章第二十章第二十一章第二十二章多元函数的极限与连续多元函数微分学隐函数定理及应用含参量积分曲线积分重积分曲面积分14 16 12 14 6 24 10 五、教材及参考书名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 教材：数

10、学分析主编：华东师大数学系出版社：高等教育出版社出版或修订时间2010.6 第四版参考书： 1数学分析学习指导书主编：吴良森等出版社：高等教育出版社出版或修订时间2004.8 第一版 2 数学分析讲义学习辅导书主编：刘玉琏等出版社：高等教育出版社出版或修订时间2003.12 第二版 3 数学分析习题课讲义主编：谢惠民等出版社：高等教育出版社出版或修订时间2004.1 第一版执笔：审定：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -