2022年2022年函数知识点归纳 .pdf

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1、1 初中函数知识点总结平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征 : 第一象限： （+ ，+）第二象限：（-，+）第三象限：（-，-）第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点， y 为零； y 轴上的点， x 为零；原点的坐标为（ 0 , 0 ） 。4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于 x 轴的对称点坐标是 (m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于 y 轴的对称点坐标是 (-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐

2、标特征：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点 P（x,y）的几何意义：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 2 点 P（x,y）到 x 轴的距离为|y|，点 P（x,y）到 y 轴的距离为|x|。点 P（x,y）到坐标原点的距离为2

3、2yx8、两点之间的距离：X 轴上两点为 A)0 ,(1x、B)0,(2x|AB|12xxY 轴上两点为 C),0(1y、D), 0(2y|CD|12yy已知 A),(11yx、B),(22yxAB|=212212)()(yyxx9、中点坐标公式：已知A),(11yx、B),(22yxM 为 AB 的中点 ,则：M=(212xx, 212yy) 10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（ x,y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x-a，y） ；将点（ x,y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y） ；将点（ x,y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，

4、yb） ；将点（ x,y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb） 。函数的基本知识：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把 y 称为因变量， y 是x 的函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - -

5、 - - 3 *判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候， A 是否有唯一确定的值与之对应3、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象5.函数解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式

6、。6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法一次函数图象和性质【知识梳理】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4 一、一次函数的基础知识1、定义 ：一般

7、地，形如y=kx b(k,b 是常数，k 0) ，那么y 叫做 x 的一次函数当 b=0时， y=kx b 即 y=kx ，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b (k0 ) 说明： k 不为零x 指数为 1 b 取任意实数2、解析式 ：y=kx+b(k、b 是常数， k0) 3、图像： 一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（ -kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,4、增减性（单调性） ： k0 ，y 随 x 的增大而增大 （单调增）；k0 ，y 随 x 的增大而增大；k0时直线与y 轴交于原点上方（即y 轴的正半轴

8、）；当 b0 b0 经过：第一、二、三象限不经过：第四象限经过：第一、三、四象限不经过：第二象限经过：第一、三象限不经过：第二、四象限增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大，单调增k0 ，y 随 x 的增大而减小（单调减）；k0 ，y 随 x 增大而增大 （单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的 画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

9、 - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 8 （ ）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212( )( )yxyx（3）反比例函数xky（ k 为常数，0k）中自变量0 x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随 的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随 的增大而增大300kyxkyx（4）比例系数k的几何含义（右图） ：反比例函数ykx(k 0) 中比例系数 k 的几何意义，即过双曲线ykx(k 0

10、) 上任意一点 P 作 x 轴、 y 轴垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形OAPB 的面积 (阴影面积 )为k . （由 ykx变形可得： k=xy 因为面积为正数，所以k 取绝对值。）5、反比例函数性质如下表：k 的符号k0 k0 图像的大致位置经过象限第象限第象限增减性（单调性：单调区间内讨论）在每一象限内，从左到右看，y随 x 的增大而减小；（-，0）U（0，+）区间内，单调减在每一象限内,从左到右看y 随 x 的增大而增大（- ，0）U（0，+ ）区间内，单调增图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；o y x y x o 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

11、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 9 二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1定义 ：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数， R2. 解析式（表达式） ：一般式：2yaxbxc（0a， abc， ， 是常数）：说明：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x的最高次数是2abc， ， 是常数，

12、 a 是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项222244,-2424bacbbacbyaxbxcaaaa对于二次函数，经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）补充： 二次函数解析式的表示方法（三种）一般式：2yaxbxc （ a ， b ， c 为常数，0a） ；顶点式：2()ya xhk （ a ，h，k为常数，0a） ；抛物线的顶点 P（h，k） 222244,-2424bacbbacbyaxbxcaaaa对于二次函数，经过配方变形顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线 y=-x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 10 两根式（交点式） ：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 仅限于与 x 轴有两个交点 A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即0 其中221244,22bbacbbacxxaa(即一元二次方程求根公式 ) 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系: 22212444h=-,2422bacbbbacbbacxxaaaa k= 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般

14、式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.

15、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标 ; 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y轴

16、的交点 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 11 3、二次函数的图像：抛物线（1）对称性 ：抛物线是轴对称图形。 对称轴：直线2xba对称轴：直线=-,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0 ）（2）抛物线有一个顶点P，24-24bacbaa坐标为 P（，）当 -2ba=0 时，P 在 y 轴上；当= 24bac=0 时，P 在 x 轴上。4

17、、a.b.c 与抛物线的关系（a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 ）（ 1）a 决定抛物线的开口方向和大小：开口方向： a 为正 (a0)，开口朝上，有最小值；a 为负 (a0)，开口朝下，有最大值；开口大小： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2）a、 b 共同决定x2ba对称轴：直线=-ab的符号决定对称轴abx2的位置，分两种情况：当 a 与 b 同号时（即 ab 0） ，对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab 0） ，对称轴在 y 轴右侧。概括的说就是“左同右异”（3）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（ 0，c） ，分三种情况

18、： 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的y=5x2y=x2x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 12 y x O 6、抛物线与 x 轴交点个数 = 24bac0 时

19、，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 A（x1,0）和 B（x2,0） =24bac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 P)0 ,2(ab = 24bac0 时，抛物线与 x 轴没有交点。配图：开口向上 (开口向下，情况类似 ) 7、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）2yaxbxc当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程） ，即20axbxc此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。8、二次函数22424bacbya xaa的图像和性质a0 a0 图象开口y =0 x 0y x 0y x A B

20、 P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 13 对 称 轴顶点坐标最值当 x时，y 有最值，y 当 x时，y 有最值， y 增减性在对称轴左侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而在对称轴右侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而9. 应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它10 、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线

21、2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移？2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - -

22、 - - - - - - 14 综合练习（1）下列函数，1)2(yx. 11xy21xy.xy212xy13yx；其中是y关于 x 的反比例函数的有：_。（2）函数22)2(axay是反比例函数，则a的值是（）A 1 B 2 C2 D2 或 2 （3）如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（）A反比例函数B正比例函数C一次函数D反比例或正比例函数（4）如果y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（）（5）如果y是m的正比例函数，m是x的正比例函数，那么y是x的（）（6）反比例函数(0kykx）的图象经过（2，5）和（2，n） ，求（ 1）n的值；（2）判断点 B（

23、24，2）是否在这个函数图象上，并说明理由（7）已知函数12yyy，其中1y与x成正比例 , 2y与x成反比例，且当x1 时，y1；x3 时，y5求：（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x2 时，y的值（8）若反比例函数22)12(mxmy的图象在第二、四象限，则m的值是（）A、 1 或 1; B、小于12的任意实数 ; C、 1; 、不能确定（9）已知0k，函数ykxk和函数kyx在同一坐标系内的图象大致是（）(10) 、如图，正比例函数(0)ykx k与反比例函数2yx的图象相交于A、C 两点，xyxyxyxyyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

24、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 15 过点 A 作 ABx轴于点 B，连结 BC则ABC 的面积等于（）A1 B2 C4 D随k的取值改变而改变11、已 知 函数12yyy，其中1xy 与成 正 比 例,22xy 与成 反 比 例, 且 当1 ,1;3,5.2,.xyxyxy时当时求当时的值12 、 （ 8 分）已知 ,正比例函数yax图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数kyx在每一象限内yx随的增大而减小,一次函数24yxkak过点2,4. （1）求a的值. （2）求

25、一次函数和反比例函数的解析式. 二次函数提高题:1232mmymx是二次函数，则m的值为（）A0 或 3 B0 或 3 C0 D 3 2已知二次函数22(1)24ykxkx与x轴的一个交点A（ 2，0） ，则k值为（）A2 B 1 C2 或 1 D任何实数3与22(1)3yx形状相同的抛物线解析式为（）A2112yxB2(21)yxC2(1)yxD22yx4关于二次函数2yaxb，下列说法中正确的是（）A若0a，则y随x增大而增大B0 x时，y随x增大而增大。C0 x时，y随x增大而增大D若0a，则y有最小值5函数223yxx经过的象限是（）A第一、二、三象限B第一、二象限C第三、四象限D 第

26、一、二、四象限6已知抛物线2yaxbx，当00ab，时，它的图象经过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第一、二、三、四象限7对272yxx的叙述正确的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 16 A当x1 时，y最大值22B当x1 时，y最大值8 C当x 1 时，y最大值8 D当x 1 时，y最大值228二次函数2yaxbxc的图象过点（ 1，0） 、 （0，3） ，对称轴x 1求函数

27、解析式；5、图象与x轴交于 A、B（A 在 B 左侧），与 y 轴交于 C，顶点为D，求四边形ABCD 的面积9、抛物线21323yxx与2yax的形状相同，而开口方向相反，则a= （）（A）13（B）3（C）3（D）1310 把二次函数122xxy配方成顶点式为（）A2)1(xyB2) 1(2xyC1) 1(2xyD2)1(2xy11 函数362xkxy的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A3kB03kk且C3kD03kk且12 、若抛物线nmxay2)(的开口向下，顶点是（1，3） ，y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）（ A）3x（B）3x（C）1x(D)0 x13 抛物线)0(

28、2acbxaxy过第二、三、四象限，则a0，b0，c014 抛物线2)1(62xy可由抛物线262xy向平移个单位得到15 顶点为（2，5）且过点（ 1，14 ）的抛物线的解析式为16 对称轴是y轴且过点 A（1，3） 、点 B（2， 6）的抛物线的解析式为17 已知抛物线cbxxy2与y轴交于点 A，与x轴的正半轴交于B、C 两点，且 BC=2 ，S ABC=3 ，则b= ，c= 18 、已知二次函数2yaxbxc的图象经过点（1，0）和（ -5 ，0）两点，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式。对称轴、顶点、平移：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

29、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 17 1.抛物线213yx的顶点坐标为2.抛物线21yx的顶点坐标是3.抛物线226yxxc与x轴的一个交点为(10)，则这个抛物线的顶点坐标是4.二次函数2)1(2xy的最小值是5.已知二次函数222yxxc的对称轴和x轴相交于点0m ，则m的值为 _ 6.抛物线322xxy的对称轴是直线7.将抛物2(1)yx向左平移 1 个单位后，得到的抛物线的解析式是8.把抛物线cbxxy2向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得图象的解析式是532x

30、xy，则有 a、b、c 的值分别是图像交点、判别式：9.已知抛物线2(1)(2)yxmxm与x轴相交于AB，两点，且线段2AB，则m的值为10. 已知二次函数不经过第一象限，且与x轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式11. 若抛物线22yxxa的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（）1a1a1a1a12. 已知二次函数cbxaxy2，且0a，0cba，则一定有（）A. 042acbB. 042acbC. 042acbD. acb420 利用图像：1若直线ym（m为常数）与函数yx2（x2）4x（x2）的图像恒有三个不同的交点，m的取值范围是。2.下列图形：名师资料总结 -

31、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 18 其中，阴影部分的面积相等的是（）3.若123135143AyByCy，为二次函数245yxx的图象上的三点，则123yyy，的大小关系是（）123yyy321yyy312yyy213yyy4.二次函数2yaxbxc 图象上部分点的对应值如下表：x3210 1 2 3 4 y6 0 46640 6 则使0y的x的取值范围为5.二次函数2yaxbx和反比例函数byx在同一坐标系中的图象大致是

32、（）的图象不经6.二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则直线ybxc过（）yO2yxyxOyxOyxO3yx21yx2yx1xyOxyOxyOxyOO xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 19 第一象限第二象限第三象限第四象限7.在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb和二次函数2yaxbx的图象可能为（）（）8.二次函数cbxaxy2的图象如右图，则点),(acbM在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三

33、象限D. 第四象限9.二次函数2yaxbxc的图象如图所示， 反比列函数ayx与正比列函数ybx在同一坐标系内的大致图象是（）1. 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1y2时， x的取值范围是（）Ax 1 或 0 x3 B 1x0 或 x3 C 1x0 Dx3 1.2.第 9 题O x y O y x A O y x B O y x D O y x C yOxyOxyOxyOxO x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

34、 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 20 2. 如图，双曲线y=mx与直线y=kx+b交于点MN，并且点M的坐标为（1，3） ，点N的纵坐标为1根据图象信息可得关于x的方程mx=kx+b的解为（）A 3，1 B 3，3 C 1，1 D 1，3 3. 如图，直线l 和双曲线(0)kykx交于 A、B 两点， P 是线段 AB 上的点（不与A、B 重合），过点A、B、P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接 OA 、OB 、0P，设AOC 的面积为S1、BOD 的面积为 S2、POE 的面积为 S3，则（）A、S1S2S3 B、S1S2S3C、S1=S2S

35、3 D、S1=S2S3 3.4.4. 如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线， 分别与反比例函数xyxy24和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（）A3 B4 C5 D 6 5. 若一次函数的图象经过反比例函数xy4图象上的两点（1，m）和（n，2） ，则这个一次函数的解析式是6.若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数xy1的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -