2022年数学建模线性规划知识 .pdf

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1、线性规划1.简介：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、 交通运输、 工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。 一般地， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在优化模型中

2、， 如果目标函数f(x)和约束条件中的gi(x)都是线性函数， 则该模型称为线性规划。2.线性规划的3 个基本要素（1）决策变量（2）目标函数f(x) （3）约束条件（ gi(x)0 称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。生产计划问题某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表试拟订生产计划，使该厂获得利润最大解答： 根

3、据解题的三个基本步骤（1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为x1与 x2吨，利润为z万元。（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 钢材： 9x1+5 x2360，电力： 4x1+5 x2200，工作日： 3x1+10 x2300，x10 ，x2 0，（3）确定目标函数：Z=7x1+12 x2所以综合上面这三步

4、可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x1+12 x2s.t.00300103200543605921212121xxxxxxxx4.使用 MATLAB解决线性规划问题依旧是以上题为例，将其用MATLAB来表示出来1.将目标函数用矩阵的乘法来表示max Z=(7 12)21xx2.将约束条件也用矩阵的乘法表示s.t.2121003002003601035459xxxx编写 MATLAB的程序如下： c=-7 -12; (由于是 max函数，因此将目标函数的系数全部变为负数) A=9,5;4,5;3,10; b=360;200;300; Aeq=; beq=; vlb=0;

5、0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - x = 20.0000 24.0000 fval = -428.0000 5.MATLAB求解线性规划的语句(1)c= 表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A= 表示约束条件中或的式子中的各个决策变量的系数。（若系数构成了两行以上的矩阵那么则由“；”来分割不同的两行）(

6、3)b= 表示或右边的数字(4)Aeq= 表示约束条件中=的式子中各个决策变量的系数。(5)beq= 表示 =右边的数字(6)vlb= 表示决策变量的定义域 中为的数字(7)vub= 表示决策变量的定义域 中为的数字(8)x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 调用了 linprog 函数，以此来求解出决策变量的值6.课后习题1.某鸡场有 1000 只鸡， 用动物饲料和谷物混合喂养。每天每只鸡平均食混合饲料0.5KG ，其中动物饲料所占比例不能少于20%。动物饲料每千克0.30 元，谷物饲料每千克0.18 元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000KG，问饲

7、料怎样混合，才能使成本最低？解：设动物饲料与谷物饲料分别为1x与2x千克，总成本为Z。min Z=0.31x+0.182xs.t.60000%20350035002121xxxxMATLAB程序：c=0.3 0.18; A=1,1; b=3500; Aeq=; beq=; vlb=700;0; vub=6000; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运算结果：x = 700.0000 0.0000 fval = 210.0000 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

8、 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5.某工厂生产1A、2A两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有100h，可用于检验的工时只有120h，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示：产品可用工时工序1A2A装配2 3 100 检验4 2 120 利润 (元/件) 6 4 （1）试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案；（2）对产品1A的利润进行灵敏度分析；（3）对装配工序的工时进行灵敏度分析；（4）如果工厂试制了3A型产品，每件3A产品需装配工时4h，检验工时2h，可获利润5元，那么

9、该产品是否应投入生产？问题分析：原问题即是线性规划问题。1、2、3 小问也即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的分析 Cj 的变化范围、分析bi 变化范围、增加一个约束条件的分析。于是，上诉问题都可通过灵敏度分析的步骤运用单纯形表法得以解决。第一小问，建立线性规划模型，用单纯形表法求最优解，同时可为第二、三小问做准备。第二小问， 即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的Cj的变化范围分析。将 A1 的利润变为6元，以 的取值范围进行分析。第三小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的bi 变化范围分析。将装配工序工时变为100h，按公式1：bBb1算出b，将其加到基变量列的数字上，然后由于其对偶问题

10、仍为可行解，故只需检查原问题是否仍为可行解。第四小问， 即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的增加一个约束条件的分析。只需加入约束条件建立新的线性规划模型。模型的建立和求解：建立模型（1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - N,0,1 2 0 x2x41 0 0 x3x2.x4x6m a x Z2121212121xxxxtsZ表示总的利润，x1、x2 分别表示两种型号生产数量。通过 MATLAB程序计算得到的最优解为

11、x2=x1=20，即最优方案为A1、A2 两种型号各生产20件。得最大利润200 元。（2）将 A1 的单件利润改为6元，得如下新的线性规划问题，通过变化分析原问题的灵敏度。N,0,120 x2x4100 x3x2.0 x0 x4x)6(maxZ2143214213214321xxxxxxxxtsx解的最优条件是：08/55/1102/32/102/306由此推得当325/88时满足上述要求。由此推得8040加放产品 A3，建立新的线性规划问题：Nx,0 x,120 x2x2x4100 x4x3x2.x5x4x6maxZ321321321321321xxxxts通过 MATLAB最终得出的结果

12、为：X1=23，X2=2，X3=12。即最优方案为：A1、A2、A3 分别生产 23、2、 12 件。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 数学建模线性规划1322303 倪瑜卿1322304 丁佳蓓1322321 季宗扬1322323 黄蒙捷名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -