2022年数学建模地面搜索作业定义 .pdf

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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）：15 组所属学校（请填写完整的全名） ：参赛队员(打印并签名 ) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )：日期： 2012 年 7 月 4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一

3、编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1 地面搜索问题摘要本题以汶川地震为原型， 提出了最短搜索路径的问题。 在 11200 米7200米的平面区域内进行搜索，将实际的搜索区域简化为矩形9*14 的方格 , 结合速度、路程、时间之间的数学关系，拐角处正方形内切圆的数学分析，以及一笔画思路，构建了相应的可行性方案。并运用相应的理论知识与算法

4、对问题进行求解，建立数学最优模型, 为搜索者提供最优方案的依据。在问题 1 中，首先根据题目对所给的数据进行了合理处理。通过由局部到整体的分析，把每个队员严格看成是一个质点，从对单个队员行进的情况分析，从而得出20 个队员行进情况。处理转弯时出现的扫角问题， 我们有直穿扫角法和对角扫角法两种解法，并证明了对角扫角法为最优方法。最后综合局部分析的思路，运用一笔画的方法，构造了搜索路径图，求出该模型的最短耗时为47.253 小时。在问题 2 中， 是基于问题 1 的基础上，将 50 个搜索人员分成三组， 分别是 20:20:10 ，考虑到简便和时间最优等问题， 我们最后得出结论， 20组人员的队伍

5、搜索路径应该具有对称性。绘制了向三个不同的区域搜索的搜索路径，并且在最后汇合处提出了三种方案，取得了最优解。进一步优化和改进模型，列出算法计算出搜索的最优时间为20.276 小时。本文最后分析模型的优缺点以及对模型推广进行阐述。关键字：初等数学；直穿搜索；拐角搜索；最优模型；最后到达终点的人；分组搜索；对称性搜索；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2 一、题目重述5.12 汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫

6、痪。救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。在其它场合也常有类似的搜索任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线， 对预定区域进行快速的全面搜索。通常，每个搜索人员都带有GPS 定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话。GPS 可以让搜索人员知道自己的方位。 步话机可以相互进行通讯。 卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。下面是一个简化的搜索问题。有一个平地矩形目标区域，大小为11200 米7200米，需要进行全境搜索。假设：出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边

7、中点；每个人搜索时的可探测半径为20 米，搜索时平均行进速度为 0.6 米/ 秒；不需搜索而只是行进时, 平均速度为 1.2 米/ 秒。每个人带有GPS 定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。搜索队伍若干人为一组 , 有一个组长，组长还拥有卫星电话。每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。现在有如下问题需要解决：1假定有一支 20人一组的搜索队伍 , 拥有 1 台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少? 能否在 48 小时内完成搜索任务 ? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。2为了加快

8、速度，搜索队伍有50 人，拥有 3 台卫星电话，分成3 组进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的搜索方式 , 搜索完整个区域的时间是多少? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3 二、模型假设与符号说明一）假设：1. 搜索仪器始终保持正常工作2. 搜索区域平整，两点高差忽略不计3. 队员工作时，不受其他不量因素的影响4. 队员搜索过程中的速度保持不变5. 队员向队

9、长报告时间忽略不计6. 搜索队员搜索时不间断休息7. 假设小组队员并排进行搜索，队员之间的距离严格按照40m 二）符号说明1t单个队员直穿通过40*40 区域用时2t单个队员以直穿扫角的方式通过40*40 区域用时3t单个队员以对角扫角的方式通过40*40 区域用时1T单个队伍搜索其负责区域用时2T单个队伍搜索外“空走”用时l队伍内某两指定组员的直线距离na队列中的组员n 的列号anS队员 n 搜索过程中所走过的路程1v队员搜索速度2v队员空走速度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

10、- - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 4 三、问题分析问题 1 3.1 对问题 1 分析为保证对区域内人员的搜索到位，严格要求搜索过程中探测的地方不能有遗漏。每个队员搜索过的地方不能进行二次搜索，以达到节约时间的目的。由于仪器的限制，队员中相邻两人之间的距离不能超过最大联络距离1000m ，并且要保证队员和队员之间以及队员和队长之间的方便联络。综上所述，队员以纵队排列对区域进行搜索，为最佳搜索队形。由于队员之间并排行进，且仪器搜索半径为20M ，故并排时相邻队员之间的距离为40m ，搜索区域划分为40*40 的正方形方格。 20 个队员搜索宽度为800m ，这样

11、就把11200*7200 的矩形区域简化为14*9 个正方形方格构成的矩形区域。遇到转角时出现的扫角问题，共有两种可行方法，一是直穿扫角法，另一是对角扫角法。通过分析发现20 个人员转角时，每个队员之间会出现等量路程差距，在连续达到多个同向转角后， 会使 1 号队员和 20 号队员时间的差距越来越大甚至超过1000m以上，导致队员之间无法联系。 但是采取异向与同向转角的相互结合可以达到时间和路程差的互补。我们还计算出转角越多，搜索时间越长。为了提高搜索效率，应减少转角个数，同时使直穿搜索得到较长的连续性搜索。3.2 模型建立及求解：3.2.1 对单个成员：由于搜索区域为 11200*7200

12、的矩形区域，单个队员的搜索半径为20m ， 直径为 40m,把搜索区域名划分成40*40 的正方形，共有 280*180 个小正方形。单个队员直穿扫过时间为)(67.666.0/40/1秒vst名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 5 并不是整个搜索区域都是可以直穿搜索的，这样在会出现大量的空走，而使得时间被浪费，经过分析我们发现直穿与转角结合时间最优。但是在遇到直穿转弯时候就会出现转角，有两种方法处理扫角问题。一是

13、：直穿扫角，并直穿扫角后折回，用时：（秒）10033.3367.666 .0/2012tt另一是：对角扫角，并折回，用时：（秒）（38.87)2.116 .01(1220tt13名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 6 通过2t和3t时间比较，明显对角扫角方法最优因为转向时会耗更多时间，所以在绘制总搜索路线图的时候，应该尽量避免转向以便于节约时间。3.2.2 对 20 个成员排成纵队过弯分析：单个队员在进入转向矩形域

14、开始所走过的总路程为ans（n=1,2,3 20） ，1as表示1a走过的路程，依此类推。当转向一次后队员1a与队员na之间的距离2121)()(40aannssaal)(8011aassnaan故)(5401aaln带入已知数值，得：相邻队员间距离m4.89540 1号与 20 号队员间距离为m4 .169919*540名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 7 因为转向会导致1a和na队员时间出现距离差，如果把队长

15、放到1 或 20 的位置会致使通信阻断。为了保证时刻纵队两翼人员的通信，组长应放在纵队中心为优（第 10位或第 11 位） ，这样可以避免队员间通过步话机和队长进行联络的问题。通过对直接通信的合理性、队员之间的距离差尽量避免以及时间最优性问题。当转向时， 1 号队员（内拐边队员）的搜索时间为3t，2 号搜索时间为312tt 20 号搜索时间为3139tt，朝不同方向的转向可弥补队员间的距离差和时间差。所以，只要不要连续向一个方向转向超过11 次, 两个方向的转向交替可以达到队员1 号与 20 号之间时间差的互补。3.2.3 模型求解“转向” 29 次, “直穿”97 次，20 号内拐 16 次

16、，外拐 13 次，1 号内拐 13 次，外拐 16 次，1 号最后到达集结点，因此以1 号最后到达时间为整个搜救时间（小时）秒077.4736007.169475)(7.16947516.4300094.11356.125339)39(1613)20(9431311ttttT队员开始时的一次排开和结束时的集合，都必须空走到380m处。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 8 （小时）（秒）176.033.6336.

17、03802T2最后总用时253.47TTT21问题 2：3.3 问题分析问题二的条件将 20 人一个小组改至 50 人三个小组， 在第一题的基础上， 可以把 50个人分为 20：10：20 三组，为了保证每组每人的工作量基本相同，避免某一组的时间过长或过短， 可以将三组的搜索面积按人数比分配。根据第一题的假设， 区域分为 9*14的矩形方块，三组人数比为2：1：2。可得 10 人的小组搜索面积应为25 格。其他两组的搜索面积平均分配。各组的行进路线应避免相互交叉，同时应注意减少转角，使10 人的小组在区域的中间，两个 20 人的小组行进路线以对称的方式分布在上下两侧，使区域有规则性和对称性。于

18、是得到路线图为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 9 3.4 模型求解：20人组，转向 7 次，“直穿”4 3 格，20 号外拐 5 次，内拐 2 次，20 号搜索用时：小时秒475.1955.7260371.2620*538.87*26.0800*43出发“空走”用时小时秒273.03.9832 .178040020人组从出发到 区域的总用时为小时748.1910人小组，转向 31 次，“直穿” 69 格，1

19、 号外拐 17 次，内拐 14 次；10 号外拐 14次，内拐 17 次，1 号搜索用时：小时秒197.1978.6910838.871438.1287176.0400691 号“空走”用时：小时秒0880. .06.3162 .138010人组从出发到 区域的总用时为：小时285.193.5 由以上所得值可分析出 区域由哪个小组搜索为宜， 及路线图可改为如下两种方案：方案一 由 10 人组搜索区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - -

20、 - - - - - 10 模型求解：20人组，转向 8 次，“直穿”4 2 格，20 号外拐 5 次，内拐 3 次，20人组搜索用时：小时秒268.1969.6936571.2620*538.87*36. 0800*42201T20人组空走用时小时秒370.03.13332.1420780400202T所以 20 人组总用时为小时638.1910人小组，转向 35 次，“直穿” 69 格，1 号外拐 19次，内拐 16 次；10 号外拐16 次，内拐 19 次，10 人小组搜索 区域用时为小时秒）（764.052.274938.128738.87*2搜索完后的归队空走用时为小时秒088. 0

21、6.3162 .138010人组总用时为小时20.137综上，方案一总用时为小时20.137方案二 由 20 人组搜索区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 11 模型求解：20人组，转向 8 次，“直穿”4 2.5 格，20号外拐 5次，内拐 3 次，20人组搜索用时：小时秒007.2027.0277271.2620*538.87*36.0800*5.24201T空走用时小时秒361.03 .9832.1038

22、078400202T20人组从出发到 区域的总用时为小时368.2010人小组，转向 31 次，“直穿” 69 格，1 号外拐 17 次，内拐 14 次；10 号外拐 14次，内拐 17 次，10 人组搜索用时：小时秒197.1972.6910838.871438.1287176.040069101T1 号“空走”用时：小时秒278.010002. 120800380102T10人组的总用时为小时475.19综上，方案二的总用时为小时368.20方案三 用两个小组共同搜索区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

23、心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 12 模型求解：20 人小组，转向 7 次，“直穿”4 2.25 格，20 号外拐 5 次，内拐 2 次，20 人组搜索用时：小时秒915.19936.7169371.2620*538.87*26.0800*25.42201T出发空走用时：小时秒273.03.9832 .1780400集合空走用时 : 小时秒088.06.3162 .138020人组总耗时为小时276.2010人小组，转向 31 次，“直穿” 71 格，1 号外拐 17 次，内拐 14 次，10 号外拐 14次，内拐 17 次，

24、10 人组搜索用时：小时秒568.1911.7044238.871438.1287176 .040071101T10人组“空走”用时：小时秒259.03 .9332.12*)180380(102T综上，方案三的总用时为：小时276.20综上所述，由于方案三用时更短，因此选用方案三为宜。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 13 四、模型优缺点、及其推广模型的优缺点：缺点：假设情况与实际情况相比过于简单化，需在理想条件下才能无较大误差完成优点：模型设计无最佳路线，可根据多种情况灵活变动。模型的推广：本模型在生产生活中的许多方面的具有实际意义。在农业生产环节中的播种，收割，播撒农药等。矿业资源的搜查探测。旅游景点的路线设计。城市排水，管道设计。游乐场所及设施的路线设计。修建公路的路线设计。排爆搜索。等等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -