2022年数学必修二第二章测试题 .pdf

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1、第二章综合检测题时间 120分钟，满分 150分。一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是 () A相交B平行C异面D平行或异面2平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为 () A3B4C5D6 3已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与l() A平行B相交C垂直D异面4长方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 AB，A1D1所成的角等于() A30B45C60D905对两条不相交的空间直线a 与 b，必

2、存在平面 ，使得() Aa? ，b? Ba? ，bCa ，bDa? ，b6下面四个命题：若直线 a，b 异面， b，c 异面，则 a，c 异面；若直线 a，b 相交， b，c 相交，则 a，c 相交；若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 ac. 其中真命题的个数为 () A4B3C2D1 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是线段 A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1EB1F，有下面四个结论：EFAA1；EFAC；EF 与 AC 异面； EF平面 ABCD. 其中一定正确的有 () ABCD8设 a，b 为两条不重合的直线， ，为两个不重

3、合的平面，下列命题中为真命题的是 () A若 a，b 与 所成的角相等，则abB若 a ，b ， ，则 ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - C若 a? ，b? ，ab，则 D若 a ，b ， ，则 ab9已知平面 平面 ， l，点 A ，A?l，直线 ABl，直线 ACl，直线 m ，n ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() AABmBACmCABDAC10 (2012 大纲版数学 (文科)已知正方体 A

4、BCDA1B1C1D1中， E、F 分别为 BB1、CC1的中点，那么直线AE 与 D1F 所成角的余弦值为() A45B. .35C.34D3511已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且ABAC3，BC2，则以 BC 为棱，以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为 () A.33B.13C0D1212 如图所示，点 P在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是 () A90B60C45D30二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上 ) 13下列图形可用符号表示为_名师资料总结 -

5、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 14正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 C1ABC 的平面角等于_15设平面 平面 ，A，C ，B，D ，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S位于平面 ，之间，AS8，BS6，CS12，则 SD_. 16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD 是等边三角形；AB 与平面 BCD 成 60 的角；AB 与 CD 所成的角是 60 .

6、 其中正确结论的序号是 _三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (10 分)如下图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC 与A1B1C1都为正三角形且 AA1面 ABC，F、F1分别是 AC，A1C1的中点求证： (1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 分析本题可以根据面面

7、平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件18(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD，AB4，BC3，AD5，DAB ABC90 ，E 是CD 的中点(1)证明： CD平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 PABCD 的体积19(12 分)如图所示，边长为 2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC2 2，M 为 BC 的中点(1)证明： AMPM；(2)求二面角 PAMD 的大小20 (本小题满分 12 分)(2010 辽宁文，19)如图

8、，棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形， B1CA1B. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - (1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1；(2)设 D 是 A1C1上的点，且 A1B平面 B1CD，求 A1DDC1的值21(12 分)如图， ABC 中，ACBC22AB，ABED 是边长为1 的正方形，平面ABED底面 ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中点(1)求证： GF底面 ABC；(2

9、)求证： AC平面 EBC；(3)求几何体 ADEBC 的体积 V. 分析(1)转化为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC；(2)转化为证明 AC 垂直于平面 EBC 内的两条相交直线BC 和 BE；(3)几何体 ADEBC 是四棱锥 CABED. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 22(12 分)如下图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB的中点(1)

10、求证： ACBC1；(2)求证： AC1平面 CDB1；(3)求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值详解答案1答案D 2答案C 解析AB 与 CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与 AB 平行与 CC1相交的有： CD、C1D1与 CC1平行且与 AB相交的有： BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有 5 条3答案C 解析1 直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

11、6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 直线，A 错；2 l? 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错；3 l时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l 垂直4答案D 解析由于 ADA1D1， 则BAD 是异面直线 AB， A1D1所成的角，很明显BAD90 . 5答案B 解析对于选项 A，当 a 与 b 是异面直线时， A 错误；对于选项 B，若 a，b 不相交，则 a 与 b 平行或异面，都存在 ，使 a? ，b ，B 正确；对于选项C，a ，b ，一定有 ab，C 错误；对于选项 D，a? ，b ，一定有 ab，D 错误6答案D 解析异面、

12、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，ac，而在空间中， a 与 c可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7答案D 解析 如图 所示 由于AA1平 面 A1B1C1D1， EF? 平面A1B1C1D1，则 EFAA1，所以正确； 当 E，F 分别是线段 A1B1，B1C1的中点时，EFA1C1，又 ACA1C1，则 EFAC，所以不正确； 当 E，F 分别不是线段 A1B1， B1C1的中点时，EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面 A1B1C1D1平面 ABCD，EF? 平面 A1B1C1D1，所以 EF平面ABCD，所以正确名师资料总结 - - -精品

13、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 8答案D 解析选项 A 中，a，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项 B 中，a，b 还可能相交或异面， 所以 B 是假命题；选项 C 中， ，还可能相交，所以C 是假命题；选项 D 中，由于 a ， ，则 a或 a? ，则 内存在直线 la，又 b ，则 bl，所以 ab. 9答案C 解析如图所示：ABlm；ACl，ml? ACm；ABl? AB . 10答案35命题意图 本试题考查了正方体中异面

14、直线的所成角的求解的运用解析首先根据已知条件，连接DF，然后则角 DFD1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到5DFD1F，DD12，结合余弦定理得到结论11答案C 解析取 BC 中点 E，连 AE、DE，可证 BCAE，BCDE， AED 为二面角 ABCD 的平面角又 AEED2，AD2， AED90 ，故选 C. 12答案B 解析将其还原成正方体ABCDPQRS ，显见 PBSC， ACS为正三角形，ACS60 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8

15、 页，共 15 页 - - - - - - - - - 13答案 AB14答案45解析如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，由于 BCAB，BC1AB，则C1BC 是二面角 C1ABC 的平面角又 BCC1是等腰直角三角形，则 C1BC45 . 15答案9 解析如下图所示，连接AC，BD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 则直线 AB，CD 确定一个平面 ACBD. ，ACBD，则ASSBCSSD，8612

16、SD，解得 SD9. 16答案解析如图所示，取 BD 中点，E 连接 AE，CE，则 BDAE，BDCE，而 AECEE， BD平面 AEC，AC? 平面 AEC，故 ACBD，故正确设正方形的边长为a，则 AECE22a. 由知AEC90 是直二面角ABDC 的平面角，且AEC90 ，ACa， ACD 是等边三角形，故正确由题意及知， AE平面 BCD，故ABE是 AB 与平面 BCD 所成的角，而ABE45 ，所以不正确分别取 BC，AC 的中点为 M，N，连接 ME，NE，MN. 则 MNAB，且 MN12AB12a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

17、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - MECD，且 ME12CD12a， EMN 是异面直线 AB，CD 所成的角在 Rt AEC 中，AECE22a，ACa， NE12AC12a. MEN 是正三角形，EMN60 ，故正确17证明(1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中， F、F1分别是 AC、A1C1的中点， B1F1BF，AF1C1F. 又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面 C1BF. (2)在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，B1F1AA

18、1. 又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1， B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1? 平面 AB1F1，平面AB1F1平面 ACC1A1. 18解析(1)如图所示，连接 AC，由 AB4，BC3，ABC90 ，得 AC5. 又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAE. PA平面 ABCD，CD? 平面 ABCD，所以 PACD. 而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以CD平面 PAE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15

19、页 - - - - - - - - - (2)过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于 F，G，连接 PF. 由(1)CD平面 PAE 知，BG平面 PAE.于是BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BGAE. 由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角AB4，AG2，BGAF，由题意，知PBABPF，因为 sin PBAPAPB，sin BPFBFPB，所以 PABF. 由DABABC90 知， ADBC， 又 BGCD， 所以四边形 BCDG是平行四边形，故GDBC3.于是 AG2. 在 Rt BAG 中，AB4，AG2，BGAF

20、，所以BGAB2AG22 5，BFAB2BG162 58 55.于是 PABF8 55. 又梯形 ABCD 的面积为 S12(53)416，所以四棱锥PABCD 的体积为V13SPA13168 55128 515. 19解析(1)证明：如图所示，取CD 的中点 E，连接 PE，EM，EA， PCD 为正三角形， PECD，PEPDsin PDE2sin60 3. 平面PCD平面 ABCD， PE平面 ABCD，而 AM? 平面 ABCD，PEAM. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

21、 - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 四边形 ABCD 是矩形， ADE， ECM， ABM 均为直角三角形， 由勾股定理可求得EM3，AM6，AE3， EM2AM2AE2. AMEM. 又 PEEME，AM平面 PEM，AMPM. (2)解：由 (1)可知 EMAM，PMAM， PME 是二面角 PAMD 的平面角 tan PMEPEEM331， PME45 . 二面角 PAMD 的大小为 45 . 20解析(1)因为侧面 BCC1B1是菱形，所以 B1CBC1，又已知 B1CA1B，且 A1BBC1B，所以 B1C平面 A1BC1，又 B1C? 平面 A

22、B1C所以平面 AB1C平面 A1BC1 . (2)设 BC1交 B1C 于点 E，连接 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面B1CD 的交线因为 A1B平面 B1CD， A1B? 平面 A1BC1， 平面 A1BC1平面 B1CDDE，所以 A1BDE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点即 A1DDC11. 21解(1)证明：连接 AE，如下图所示

23、ADEB 为正方形， AEBDF，且 F 是 AE的中点，又 G 是 EC 的中点， GFAC，又 AC? 平面 ABC，GF?平面 ABC， GF平面 ABC. (2)证明：ADEB 为正方形，EBAB，又平面 ABED平面 ABC，平面 ABED平面 ABCAB，EB?平面 ABED， BE平面 ABC，BEAC.又ACBC22AB， CA2CB2AB2， ACBC. 又BCBEB，AC平面 BCE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - -

24、 - - - - - - - (3)取 AB 的中点 H，连 GH， BCAC22AB22， CHAB，且 CH12，又平面 ABED平面 ABC GH平面 ABCD，V1311216. 22解析(1)证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面三边长 AC3，BC4，AB5，ACBC. 又C1CAC. AC平面 BCC1B1. BC1? 平面 BCC1B，ACBC1.(2)证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四边形 BCC1B1为正方形 D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点，DEAC1. DE? 平面 CDB1，AC1?平面 CDB1， AC1平面 CDB1. (3)解：DEAC1， CED 为 AC1与 B1C 所成的角在 CED 中，ED12AC152，CD12AB52，CE12CB12 2， cos CED2522 25. 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为2 25. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -