2022年微分几何教案第一讲 .pdf

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1、名师精编优秀教案一、 E3中的曲线论.3)(),(),()(),(:Etztytxtrbatr0)( ),( ),( ),( ()( trtztytxtr时，)(tr称为正则的。定义弧长：0222( )| ( )| ,|( )| ( ) ( ) ( ).ts trt dtrtxtytzttRemark ：弧长与参数的选择无关（即不依赖于参数的选择） 。事实上，设)(,0)( ),( 00utuut。则( )( ( ),( )( ( )( )( ),rr urudrurududr dtrtudt du以 u 为参数的弧长 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

2、 - - - - -第 1 页，共 16 页名师精编优秀教案)(|)( |)( | )( | )( )( |)( |)(0000tsttdttrduuuutrduuuutrduuuurus以 t 为参数的弧长。当以弧长为参数时，|,)( |)(srdsdsdstds即1|)( |sr。设曲线),()(tshtchttr，chttrchtshttr2|)( |),1 ,()( , 显然该曲线不是以弧长为参数。为研究曲线的弯曲情况，首先介绍曲线的曲率。对于不同的曲线其弯曲程度可能不同，如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大。从直观来看，曲线弯曲程度较大时，其切向量方向的改变也较快，

3、可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页名师精编优秀教案曲线)(sr以弧长 s为参数，故1|)( |)( |ssrsr。|2sin|2|2sin|)( |2|)( )( |srsrssr00|sin| ()( )|2|2|sin| ()( ) |2limlim(|( )|)|2ssrssrsssrssrsrsssksr|:)( |曲率。例1、直线：vuvussr,)(为常向量，.0, 1|ku例2、圆：.1),0 ,sin,cos()(akasaasasr对于一般参

4、数t, ),(),(),()(tztytxtr则：.|)( |)( )( |)(3trtrtrtk挠率 : 当空间曲线不是平面曲线时，即有扭曲时，考虑扭曲程度，即曲线偏离平面的程度。ssrsT),( )(为弧长参数。设kskNsT),()( 为曲率，)(sN为主法向量。设),()()(sNsTsB则)(sB也为单位向量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页名师精编优秀教案.0000TBBTBTBTBTBT而.01|BBBBB于是，./NTBB故设),()()( sNssB称)(s为曲线的挠率。例 求圆柱螺线),sin

5、,cos()(shsrsrsr的曲率和挠率，h和2122)(hr是常数。ssr, 1|)( |为弧长。),0,sin,(cos)( ),cos,sin()( )(2ssrsThsrsrsrsThsrsk22)()(均为常数。可得到：ssrsrsrsrs,|)( |)( ),( ),( ()(2为弧长参数。若以 t 为参数：.|),()(2223322dtrddtdrdtrddtrddtdrt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页名师精编优秀教案例 求圆柱螺线),sin,cos(baar的曲率和挠率，).,(.2222b

6、abbaak定理曲线的弧长、曲率及挠率是运动的不变量。即设 曲线,)(),(),()()(),(),()(1111tztytxtrtztytxtr且321321111,bbbbbbzyxAzyx为常数向量。A 为正交矩阵，且1| A运动，0| A仿射变换，1| A镜面反射。A=I （ 单 位 矩 阵 ） 为 平 移 变 换 ，cossin0sincos0001A时为旋转变换。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页名师精编优秀教案因,111dtdzdtdydtdxAdtdzdtdydtdx|)( | )( | )( |)

7、( ),( )( )( )( )( )( )( ()( ),( )( ),( |)( |121121trtrtrtrtrtrtrtArAtrtArtArtArtArtrtrtr因222222212212212111,dtzddtyddtxdAdtzddtyddtxddtdzdtdydtdxAdtdzdtdydtdx，|,|222121dtrddtrddtdrdtdr，故).(|)(|)(|)(0011tsdtdttdrdtdttdrtstttt同理11kk略（作业）。3 Frenet 公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共

8、16 页名师精编优秀教案由前面曲线：),(),(),()(szsysxsrs为弧长参数 . 切向量：).( )(srsT).()()(),()()( ),()()( sNsTsBsNssBsNsksTBkTkTBBkNNTkNBTNssTsBsTsBsNsTsBsN)()( )()()( )( )()()(于是得：BNTBBNTkNBNkTT00000.00000BNTkkBNT对于曲线)(sr在每点 s处，)(),(),(sBsNsT两两单位正交，称)(),(),();(sBsNsTsr为曲线在 s处的 Frenet 标架。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

9、- - - - - -第 7 页，共 16 页名师精编优秀教案应用：例 设)(sr为单位球面2S上的一条曲线，s 为弧长参数，,k均不为零。则.)1()1(1BkNkr证：设)(,srcBbNaTr在2S上，则,0)()( , 1|)(|srsrsr即.0)(srT故aTcBTbNTaTTr0又, 0)(TTsrT即.11)()(kNrsNsrk故.1kbbNr对上式两边求导：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页名师精编优秀教案0)(0)1(TrBrTkrBkTrNrNTNrBkTNBkTNNBkTNTBTBNTBN

10、kbNrNr,1)1(kBr故,1)1(kcBr故.1)1(1)(BkNksr证毕。4 曲线在一点邻近的性质由 Tayler 展开：).()0( ! 3)0( ! 2)0( )0()(332sorsrssrrsr因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页名师精编优秀教案).()()( )( )0()0( sNsksTsrTTr(0)(0)(0)(0)( ) ( ) ( )( )( )( )(0),rTkNkNrsrsk s N sk s N skkTBBkNkTkBTkkNkr)0()0()0()0()0()0()0(

11、)0( 2代入得：),(! 3! 2)0()(3232soBkNkTkskNssTrsr).()0(! 3)0() ! 3! 2()0()! 3()0()(333223soBksNksksTkssrsr若以)0(),0(),0(,0BNTp为新生坐标系，则坐标分量为：)(62)(6332323soksksysokssx).(633soksz当0s时，只取上述每项中的第一项得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页名师精编优秀教案Tsx,方向，Nsky,22方向，Bskz,63方向。曲线在0s附近在个平面上的投影：22

12、skysx，密切平面。36skzsx，从切平面（0） 。3262skzsky，法平面（0） 。5 曲线论基本定理曲线：).(sr直线：.0k平面曲线：.0, 0k螺线：k常数 .（例 P4的圆柱螺线，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页名师精编优秀教案hrk常数） 。定理设函数)(, 0)(ssk均为（ a，b）上连续可微函数，则存在以弧长s 为参数的正则曲线),(sr使得)(sr以)(sk为曲率，)(s为挠率的曲线。证明： 用到解常微分方程组的问题，即要解.NdsdBBkTdsdNkNdsdTTdsdr二、 E3

13、中的曲面1 32),(),(),(),(:EvuzvuyvuxRDvur即),(),(),(),(vuzvuyvuxvur称为 E3中的二维曲面，（u，v）为参数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页名师精编优秀教案例如，椭球面1222222czbyax可以表示为)sin,sincos,coscos(),(vcuvbuvsavur，锥面0222222czbyax可以表示为),sin,cos(),(cvubvuavvur，单叶双曲面1222222czbyax可以表示为),sin,cos(),(cshuvbchuvac

14、huvur。当),()(.00vurvrconstuu成 为 一 条 曲线，称为 v-曲线。同样，当),()(.00vururconstvv为 u-曲线。在0p点),(000vup，在0p处定义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页名师精编优秀教案,|,|),(),(),(),(0000vuvuvvuvuuvrrurr分别为两条参数曲线)(),(vrur在0p处的切向量。若vurr ,线性无关，则0vurr，称这样的曲面为正则曲面。切向量、切平面：曲面 S：S 上曲线 c：0,),(),()(pbattvturtr

15、处.0ttdtdvrdtdurdtdvvrdtduurdttdrvu)(，即曲线c 的切向量dttdr)(可由vurr ,线性表出。反之，设切向量：,uvcrr为常数。则，设0000( )()( )(),u tuttv tvtt则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页名师精编优秀教案,)(),()(),()(0000ttvtturtvturtr则( )uvdr trrcdt，即给定了一个切向量， 就存在 S 上以此向为切向量的曲线。定理曲面 S上所有过0p点的曲线的切向量构成一个二维线性空间，称这个空间为切空间，记为

16、vuprrT,0为0pT的一组基，0pT中的过0p点的向量称为切向量。在切空间中定义内积：babaTbap:),(.,0设,:vvvuuurrGrrFrrEvuvuvurrrrrr,cos|故.0vuvurrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页名师精编优秀教案法向量：若在点, 0,vurrp则称其为曲面S（surface）的法向量。称|vuvurrrrn为 S 的单位法向量。例 设曲面).0,(),(yxyxr（平面）则).1,0,0(1001,0010,0100),0, 1 , 0(),0, 0, 1(yxyxrrrr故).1, 0,0(|vuvurrrrn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页