2022年2022年矩阵运算理论小结 .pdf

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1、班级： 09金融 3 学号： 2009241164 姓名：陈妮矩阵运算理论小结运算是数学的基础概念和基础内容，矩阵是线性代数的基础概念和基础内容。因此，矩阵运算理论是线性代数的重要理论之一。矩阵是贯穿线性代数各部分内容的一条线索。线性代数中的很多计算及应用与矩阵及其运算都有密切的关系。掌握并能灵活运用矩阵运算及其性质是学好线性代数的一个必备条件。矩阵运算的基本途径就是设法把一个较复杂的矩阵计算问题转化为一个简单的、易于求解的矩阵计算问题。在 经 济 数 学 线 性 代 数 这 一 本 书 中 ， 对 矩 阵 的 定 义 是 ： 由m n个aij(i=1,2, ,m;j=1,2,n) 排成的 m

2、行 n 列的数表111213121222323132333123.nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa称为 m行 n 列的矩阵，简称m n 矩阵。一线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组 (1)可表示为矩阵形式：(2) 其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵 . 方程 (2)又称为矩阵方程. 如果是方程组 (1)的解 , 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2) 的解 ; 反之 , 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解 , 即有矩阵等式成立 , 则即也是线性方程组(1)的解 . 这样 , 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论 . 特别地 , 齐

3、次线性方程组可以表示为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便， 而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利. 二矩阵的初等变换把线性方程组的三种初等变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等行变化：1. 对调矩阵的两行（换行变换）2. 以非零常数K乘矩阵某一行的各元（倍法行变换）3. 把某一行所有的元素的K倍加到另一行对应的元上去（倍加行变换

4、）。把定义中的“行”变成“列”，即得矩阵的初等列变换定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。矩阵的初等变换是矩阵运算的基础。三矩阵的线性运算1. 矩阵加法前提条件：同型矩阵操作数：两个m*n 矩阵 A=aij ，B=bij 基本动作：元素对应相加设有两个矩阵和, 矩阵与的和记作, 规定为注 ：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 2. 矩阵减法前提条件：同型矩阵操作数：两个m*n矩阵 A=aij ，B=bij 基本动作：元素对应相减3.矩阵取负前提条件：无操作数：任意一个m*n 矩阵 A=aij 名师资料总结

5、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 基本动作：元素对应取负设矩阵记, 称为矩阵的负矩阵 , 显然有. 由此规定矩阵的减法 为. 4. 矩阵数乘前提条件：无操作数：任意一个m*n 矩阵 A=aij ，数 k 基本动作：数k 乘以每一个元素数与矩阵 A的乘积记作或, 规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则(1) (2) ; (3) (

6、4) (5) (6) (7) (8) 注 ：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 5. 矩阵的乘法前提条件：左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等操作数： m*n 矩阵 A=aij ，n*m 矩阵 B=bij ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 基本动作：行列积设矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为其中，(记号常读作左乘或右乘. 注 : 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.

7、若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即. 矩阵的乘法满足下列运算规律( 假定运算都是可行的) ：（1）结合律（2）右分配率（3）左分配率（4）结合律其中 k 为数注 : 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即例如 , 设则而于是且从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或此外 , 矩阵乘法一般也不满足消去律, 即不能从必然推出例如 , 设名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - -

8、 - - 则但如果两矩阵相乘, 有则称矩阵A与矩阵B可交换 . 简称A与B可换 . 注： 对于单位矩阵, 容易证明或简写成可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有设是一个 n 阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何 n 阶矩阵可换。设均为 n 阶矩阵，则下列命题等价：（1）（2）（3）（4）6. 矩阵的转置前提条件：无，任意一个m*n 矩阵 A=aij 基本动作：行列互换，第i 行第 j 列的元素换为第j 行第 i 列的元素， m*n 的矩阵转置后为n*m 矩阵，把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵 , 记作( 或). 即若则. 矩阵的转置满足以下

9、运算规律( 假设运算都是可行的): (1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2) (3) (4) 注：矩阵运算 不满足交换律和消去率四. 特殊矩阵的运算方法1. 单位矩阵从左上角到右下角的直线（即主对角线）上的元素都是1，其他元素都是0。易得， EmAmn=Amn , AmnEn=Amn 或简写成 EA=AE=A 2. 对角矩阵对角阵，就是对角线上的元素不为0，其他元素都是0 若主对角线上的元相等，则称为此对角

10、矩阵为数量矩阵。3. 三角形矩阵三角形矩阵分上三角形矩阵和下三角形矩阵，上三角形矩阵的特点是其主对角线左下方的元全为 0，类似的，主对角线右上方的元全为0 的矩阵称为下三角形矩阵。4 对称矩阵和反正矩阵设为阶方阵 , 如果即则称为对称矩阵 . 显然，对称矩阵的元素关于主对角线对称. 例如，均为对称矩阵 . 如果则称为反对称矩阵 . 五逆矩阵的运算1，用伴随矩阵求逆矩阵法：对于n 阶方阵 A，如果存在 n 阶方阵 C，使得 AC=CA=E（E 为n 阶单位矩阵） ，则把方阵C 称为 A 的逆矩阵 （简称 逆阵 ）记作 A-1，即 C=A-1 A-1=Adet1A=Adet1例：求矩阵A=5230

11、12101的逆矩阵。解因为 detA=02523012101, 所以 A 是可逆的。又因为5520111A10530212A7231213A2521021A2531122A2230123A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 1011031A2021132A1120133A所以 A-1=Adet1A=127221012521=21127115211252. 用初等变换求逆矩阵：用初等变换求一个可逆矩阵A 的逆矩阵， 其

12、具体方法为： 把方阵 A和同阶的单位矩阵E，写成一个长方矩阵EA，对该矩阵的行实施初等变换，当虚线左边的 A 变成单位矩阵E 时，虚线右边的E 变成了 A-1即EA1AE初等行变换从而可求A-1。例用初等变换求012411210A的逆矩阵。解因为EA=10001000101241121010001200121001041112rr120830001210010411312rr12320000121001120112323rrrr21123100001210011201321r21123100124010112001231322rrrr所以A-1=21123124112六方块矩阵的运算分块矩阵是

13、一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。然后把每个小矩阵看成一个元素。如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上，就称为对角分块矩阵。1 加法设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若其中与的行数相同、列数相同, 则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 数乘法设为数 , 则3乘法设为矩阵 , 为矩阵 , 分块成其中的列数分别等于的行数 , 则其中4. 分块矩阵的转置设则5. 分块对角矩阵设为阶矩阵

14、 , 若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即, 其中都是方阵 , 则称为分块对角矩阵. 七矩阵的秩的运算矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作 rA() 或秩 (A ) . 规定：零矩阵O的秩为零，即r O()= 0. 由此及行列式的性质可得到结论：1. 00AAR；2. 对于nmA，有),min(0nmAR；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3. 若

15、rAR，则A中至少有一个0ADr，而所有的01ADr. 设nnA，若nAR，则称A为满秩方阵；若nAR， 则称A为降秩方阵。推论：A为满秩方阵0A。由此可知，A可逆A为满秩方阵。例：求下列矩阵的秩331211010011A，3620130131120101B解：0110012AD，而A的所有三阶子式（4 个）0312101011，0312101011，0332111001，0331110001所以2AR3620130131120101B362014013312000113CC362140331036900140331132 rr4BR满秩。注：矩阵经过初等变换，其秩不改变。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -