2022年2022年空间距离 .pdf

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1、1 本周教学内容 理解空间的七种距离。1、空间两点间距离：平面上两点间距离；球面上两点间距离。2、点到直线的距离。3、点到平面的距离。4、平行直线间的距离。5、异面直线间的距离。6、直线和平面间的距离。7、平行平面间的距离。本周教学重点 掌握空间距离的转化1、找出或作出有关距离的图形。2、证明它们就是所求的距离。3、利用解三角形的知识计算求解距离。空间距离的计算中， 点到平面的距离最具有代表性，它往往需要先转化为线、面间的距离， 再转化为点到直线的距离，最后通过两点间距离求解。同时，利用体积法求解点到平面的距离，也是一种重要的方法。例题分析与解答 例 1、三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA、P

2、B、PC 两两垂直，底面 ABC 上一点 Q 到侧面 PAB、侧面 PBC、侧面 PAC的距离依次为 2，3，6。求：P、Q 两点间的距离。分析与解答：如图，作QE面 PAB，QM面 PBC，QH面 PAC，E、M、N 为垂足。由 PA、PB、PC两两垂直，所以PC面 PAB，PB面 PAC，PA面 PBC，可得三个侧面两两垂直。设平面 QEM 与 PB 交于 F，平面 QEH 与 PA交于 G，平面 MQH与 PC交于 N， 连接 EF、 MF、 GH、 GQ、 NH、 NM ， 可证明 QMNH-EFPG是长方体。PQ=222QHQMQE=222632=7。例 2、已知：二面角-EF- 的

3、平面角 120，二面角空间内一点 P 向 ， 引垂线 PA、PB，A、B 为垂足，且 PA=5，PB=4。求：点 P 到直线 EF 的距离。分析与解答：如图 , 方法一：由PAEFEFPAPBEFEFPBEF面 PAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 由设 EF 与平面 PAB 的交点为 O，连接 OA、OB、OP 则 OAEF，OBEF，POEF，所以 AOB 为-EF- 的平面角， AOB=120，OP 为

4、所求点 P到直线 EF 的距离。由 PA ，PB ， PAO=PBO=90，四边形 PAOB 是圆的内接四边形， APB=180-AOB=60。在PAB 中，PA=5，PB=4，由余弦定理得：AB=2160cos4524522由 PO 是PAB 外接圆的直径，根据正弦定理得：60sinAB=PO，PO=2321=27即点 P到直线 EF 的距离为 27。方法二：由方法一得EF平面 PAOB，延长 AO，PB 设它们交于点C。PA ， PAC=90，AOB=120， APB=60， C=30，PA=5，PC=10，PB=4，BC=6，PB ， OBC=OBP=90，OB=BCtg30=623=2

5、3在 RtPOB 中，PO=161222PBOB=27即点 P到直线 EF 的距离为 27。例 3、已知：如图， ABCD 是边长为 2 的正方形，PC面 ABCD，PC=2，E、F 是 AB、AD 中点。求：点 B 到平面 PEF的距离。分析与解答： 由 BDEF 可证 DB平面 PEF，则点 B 到平面 PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA 垂直平面 PEF，故 DB 与 AC 的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。方法一：连接 DB，AC 交于 O 点，设 AC 交 EF 于 G，连 PG，作 OHPG，H 为垂足。E、F 是 AB、AD 中点， EFDB，DB面

6、 PEF，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 ABCD 是正方形， ACBD，EFAC，PC面 ABCD，EFPC，EF面 PCG，EF 面 PEF，面 PEF面 PCG，OHPG，OH面 PEF，即 OH 为所求点 B 到平面 PEF的距离。由 ABCD 边长为 2，AC=22，GO=22，GC=223，PC面 ABCD，PCAC，OHGPCG，PGOGPCOH, 由 PC=2，PG=234217)223(22

7、2OH=234222=17172即点 B 到平面 PEF的距离为17172。方法二：如图，连接BF、PB，设点 B 到平面 PEF的距离为 d，由 VP-BEF=31SBEFPC =3121BEAFPC =61112=31连 AC 交 EF 于 G,连 PG ,由方法一知PG=234,EF=2,SPEF=212234=217VB-PEF=31SPEFd=VP-BEF=31, 217d=1 d=17172即点 B 到平面 PEF的距离为17172。本周练习 1、空间四点 A、B、C、D 每两点的连线长都等于a，动点 P 在线段AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则点 P与点 Q 的最短距离是（

8、）（A）a （B）23a （C）22a （D）21a 2、在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，如果 AB=BC=a，AA1=2a，那么点 A 到直线 A1C 的距离等于（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 （A）362a （B）263a （C）332a （D）36a 3、已知 ABC，AB=9，AC=15，BAC=120，ABC 所在平面外有一点 P 到此三角形三个顶点的距离都是14，那么点 P 到平面的距

9、离是（）（A）13 （B）11 （C）9 （D）7 4、已知 OA、OB 是圆锥底面互相垂直的两条半径，C 是母线 SB 的中点，SA=3，OA=2，则 A、C 两点在圆锥侧面上的最短距离是（）（A）23（B）233（C）33（D）3325、在地球北纬 60圈上 A、B 两点，它们的经度相差180，则 A、B 两点在北纬圈上所夹弧长与A、B 两点的球面距离之比为（）（A）3：2 （B）2：3 （C）1：3 （D）3：5 6、已知：棱长为 a的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、 F是 BB1和 DD1的中点， 求： 点 D1到平面 AEC1F的距离。本周练习参考答案 1、C 2、C 3、

10、D 4、B 5、A 6、连 A1C1，D1B1交于 O 点，连 AC1，EF，作 OHAC1，H 为垂足，E、F 是 BB1，DD1中点，D1B1EF，D1B1面 AEC1F，D1B1A1C1，D1B1A1A，D1B1面 A1AC1，EF面 A1AC1，EF 面 AEC1F，面 A1AC1面 AEC1F，OHAC1，OH面 AEC1F，即 OH 为所求点 D1到平面 AEC1F 的距离。由OHC1AA1C1，111ACOCAAOHOH=aaa322=66a 故点 D1到平面 AEC1F 的距离为66a。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -