2022年2022年解决排列组合的十七种方法 .pdf

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1、1 / 8解决排列组合的十七种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有 _13C_ 然后排首位共有_14C_最后排其它位置共有_34A_由分步计数原理得13C14C34A=288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件1，7 种不同的花种在排成

2、一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？25451440A A二.相邻元素捆绑策略例 2.7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522A A A=480 解析：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 某人射击 8 枪， 命中 4 枪，4 枪命中恰好有3 枪连在一起的

3、情形的不同种数为（2630A）三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有55A种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有不同的方法46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共

4、 8 页 - - - - - - - - - 2 / 8练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（30 ）四.定序问题倍缩滞后空位 插入策略例 4. 7 人排队 ,其中甲乙丙3 人顺序一定共有多少不同的排法(倍缩法 )对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA（滞后空位法）设想有7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1 种坐法，则共有47

5、A种 方法五.重复排列问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有 7 种分法，依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法解析： 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置， 一般地 n 个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm种练习题1. 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（42 ）2. 某 8 层大楼一楼电梯上来8

6、 名乘客人 ,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（87）六.环排问题线排策略例 6. 5 人围桌而坐 ,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A 并从此位置把圆形展成直线其余4 人共有 _ 44A_ 种排法即（5-1)！名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 / 8解析：一般地 ,n 个不同元素作圆形排列,共有 (n-1)!种排法 .如果从 n 个不同元素中取出m

7、个元素作圆形排列共有练习题6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丁在后排 ,共有多少排法解:8 人排前后两排 ,相当于 8 人坐 8 把椅子 ,可以把椅子排成一排.先在前 4 个位置排甲乙两个特殊元素有_24A_种 ,再排后 4 个位置上的特殊元素有_14A_种,其余的 5 人在 5个位置上任意排列有_55A_种,则共有 _24A14A55A_种. 解析：一般地 ,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究 . 练习题： 有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座规定前排中间的3个座位

8、不能坐， 并且这 2 人不左右相邻， 那么不同排法的种数是_2220217346AA_ 八.排列组合混合问题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 ,装入 4 个不同的盒内 ,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解: 第一步从 5 个球中选出2 个组成复合元素共有_25C_种方法 .再把 5 个元素 (包含一个复合元素 )装入 4 个不同的盒内有_44A_种方法 .根据分步计数原理装球的方法共有_25C44A解析：解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题 ：一个班有6 名战士 ,其中正副班长各1 人，现从中选4 人完成四种不同的任务,每人

9、完成一种任务 ,且正副班长有且只有1 人参加 ,则不同的选法有_134244192C C A_ 种九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,这两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把 , ,当作一个小集团与排队共有_22A_种排法，再排小集团内部共有_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 / 82222A A_种排法， 由分步计数原理共有_22A2

10、222A A_种排法 .小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。练习题 ： .计划展出 10 幅不同的画 ,其中 1 幅水彩画 ,幅油画 ,幅国画 , 排成一行陈列 ,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_254254A A A_ 2. 5 男生和女生站成一排照像,男生相邻 ,女生也相邻的排法有_255255A A A_种十.元素相同问题隔板策略例 10. 有 10 个运动员名额，在分给7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，

11、对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 _69C_种分法。解析：将 n 个相同的元素分成m 份（ n，m 为正整数） ,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有分法数为11mnC练习题 : 1，10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法49C2，x+y+z+w=100 求这个方程组的自然数解的组数3103C十一.正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数 ,不同的取法有多少种？这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难 ,可用总体淘汰法。这

12、十个数字中有5 个偶数 5个奇数 ,所取的三个数含有3 个偶数的取法有_35C_,只含有 1 个偶数的取法有_1255C C_,和为偶数的取法共有_1255C C_+35C_ 再淘汰和小于10 的偶数共 _9_符合条件的取法共有 _1255C C+35C-9_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 / 8解析： 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面 ,再从整体中淘汰.

13、练习题：我们班里有43 位同学 ,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ? 十二.平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C种方法 ,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF 若第一步取AB,第二步取 CD, 第三步取 EF 该分法记为 (AB,CD,EF), 则222642C C C中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A种取法,而这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法

14、 ,故共有222642C C C/33A种分法。解析：平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n 为均分的组数 )避免重复计数。练习题： 1 将 13 个球队分成3 组,一组 5 个队 ,其它两组4 个队 , 有多少分法？544138422C C CA2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_22442622C C AA_ 十三. 合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共10 名演员 ,其中 8 人能唱歌 ,5 人会跳舞 ,现要演出一个2 人唱歌 2 人伴舞的节目 ,有多少选派

15、方法? 解：10 演员中有5 人只会唱歌， 2人只会跳舞， 3 人为全能演员。以只会唱歌的5 人是否选上唱歌人员为标准进行研究，只会唱歌的5 人中没有人选上唱歌人员共有_2233C C_种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员_112534C C C_种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 _2255C C_种，由分类计数原理共有_2233C C112534C C C_2255C C_种。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - -

16、- - - - - - 6 / 8本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果解析： 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题： 1.从 4 名男生和3 名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_34_ 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘3 人, 2 号船最多乘2 人,3 号船只能乘1 人,他

17、们任选2 只船或 3 只船 ,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. 27 十四.构造模型策略例 14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯 ,现要关掉其中的3 盏,但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解： 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的 5个空隙中插入3 个不亮的灯有 _35C_ 种解析：一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有10 个座位，若4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120 十五

18、.实际操作穷举策略例 15. 设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子 ,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法解：从 5 个球中取出2 个与盒子对号有_25C_种，还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法， 如果剩下3,4,5 号球 , 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时， 则 4,5 号球有只有1 种装法同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 ,由分步计数原理有225C种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

19、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 / 8解析： 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1、同一寝室4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？9 2. A、B、C 三人传球，A 先传，传 5 次回到 A 处的不同传法有多少种？十六. 分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030 分解成质因数的乘积形式30030=235 7 111

20、3 依题意可知偶因数必先取2,再从其余 5 个 因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：012345555555CCCCCC例 17.正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解： 我们先从 8 个顶点中任取4 个顶点构成四面 体共有体共 _481258C_每个四面体有 _3_对异面直线 ,正方体中的8 个顶点可连成 _358=174 _对异面直线解析：分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略例 18. 2

21、5 人排成 55 方队 ,现从中选 3 人,要 求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解： 将这个问题退化成9 人排成 33 方队 ,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法 .这样每行必有1 人从其中的一行中选取1 人后 ,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去 .从 33方队中选 3 人的方法有 _111321C C C_种。再从 5 5 方队选出33 方队便可解决问题从 55 方队中选取3 行 3 列有 _3355C C_选法所以从 55 方队选不在同一行也不在同一列的3 人有 _3311155321600C C C C C_选法。解析：处理复杂的排

22、列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 / 8练习题： 某城市的街区由12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到 B的最短路径有多少种？37C2、圆上有 10 个点问由这10 个点能构成的弦在圆内有交点数有几个？小结本节课， 我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学

23、习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件 ,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三， 触类旁通， 进而为后续学习打下坚实的基础。1 将 13 个球队分成3 组,一组 5 个队 ,其它两组 4 个队 , 有多少分法？5441 38422CC CA2.10 名学生分成3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_2224262290C C AA_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -