2022年最新勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案 .pdf

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1、精品文档精品文档【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“ 弦图” ，后人称其为“ 赵爽弦图 ” （如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形 EFGH ，正方形 MNKT的面积分别为 S1,S2，S3若S1，S2，S310，则 S2的值是多少呢？【知识梳理】1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下

2、面关系： a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2、勾股数：满足 a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数： 3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档

3、（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90 的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c） ；（2）若 c2a2b2，则 ABC 是以 C 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4、注意： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的

4、角等于 30 。5、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【经典例题】【例 1】 （2016 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和 8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管

5、道，则 O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（）A.2m B.3m C.6m D.9m【例 2】 （2016 贵州贵阳）如图，ABC 中， C=90 ，AC=3， B=30 ，点 P 是 BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7 【例 3】 （2016 河北）如图，在ABC 中， C=90 ，BC=6,D,E 分别在 AB,AC 上，将 ABC 沿 DE 折叠，使点A 落在点 A 处，若 A 为 CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A0.5 B2 C3 D4 【例 4】 （2016 重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面

6、如图所示.正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角A30 ,B90 ,BC6米. 当正方形 DEFH 运动到什么位置,即当 AE米时 ,有 DC2AE2BC2. 【例 5】 （2016 广东肇庆）在直角三角形ABC 中， C 90 ，BC 12，AC 9，则 AB【例 6】 （2016贵州安顺）如图，在RtABC中， C=90 ，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点 C落在 AB边的 C点，那么 ADC 的面积是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

7、 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【例 7】 （2016四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长【例 8】 （2016 四川乐山）如图，在直角ABC 中， C=90， CAB 的平分线AD 交 BC 于 D，若 DE 垂直平分 AB，求 B 的度数。【例 9】 （2016 山东枣庄）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段 ADBC 且使 AD =BC，

8、连接 CD；（2）线段 AC 的长为，CD 的长为，AD 的长为；（ 3） ACD 为三角形，四边形ABCD 的面积为；【例 10】如图， AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高 AB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - -

9、 - - - - - - 精品文档精品文档【课堂练习】1、 （2016 湖北黄石）将一个有45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 度角，如图，则三角板的最大边的长A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm2、 （2016 江苏无锡）如图，在RtABC 中， ACB = 90 ，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，若 CD = 5cm，则 EF = _cm3、 （2016 山东枣庄）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. 4、王伟准备

10、用一段长30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2 倍多 2 米. （1）请用 a 表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7 米吗？为什么 ?请说明理由，并求出a 的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由. 5、一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4 ，AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【课后作业】1、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15 B.53,1,44C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为121 B.三边之比为125C.三边之比为325D. 三个内角比为123 3、 如图，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、 S2、 S3， 且 S1=4， S2=8， 则 AB 的长为 _.

12、 4、如图， E、F 分别是正方形ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且AB=4，CE=41BC，F 为 CD 的中点，连接AF、AE，问 AEF 是什么三角形？请说明理由. (5 题图 ) （6 题图）5、如图，如上图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6、一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求 CD 的长 . 7、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 8、如图，

13、 一架长 2.5 m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时， 梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？FEACBD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【经典例题】1、C 2、D 3、B 4、3145、15 6、6cm2 7、由题意可得，花圃的周长=8+8+8 2=16+8 28、解： AD 平分 CAD CAD= BAD DE 垂直平分 AB AD=BD, B=

14、BAD CAD= BAD= B 在 RtABC 中， C=90o CAD+ DAE+ B=90oB=30o9、解：（ 1）如图；（ 2）2 5，5，5；（3）直角， 10；（4）1210、设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得 x=2，10+x=12 【课堂练习】1、D 2、 5 3、4924、(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a (2)不可以是7，第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。132a5 (3)5,1

15、2,13,可以围成一个满足条件的直角三角形5、解：在 ABD 中， AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以 ABD 为直角三角形，A =90 . 在 BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2. 所以 BDC 是直角三角形，CDB =90 .因此这个零件符合要求. 【课后作业】1、C 2、C 3、32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档4、解：由勾

16、股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2= EF2 +AF2，AEF 是直角三角形5、8 6、解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222ABACBC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13. 7、根据勾股定理求得水平长为m1251322，地毯的总长为 12+5=17（m），地毯的面积为17 2=34（)2m，铺完这个楼道至少需要花为：34 18=612（元）8、0.8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -