2022年机械振动习题解答复习进程 .pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流第十五章机械振动一 选择题1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。答案选 C。2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（）A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动；B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动；C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动；D. 浮在水

2、里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。解：A 中小球没有受到回复力的作用。答案选 A。3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（）A. lgB. lgC. glD. gl解由 kl=mg 可得 k=mg/l，系统作简谐振动时振动的固有角频率为lgmk。故本题答案为B。4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作 t=0，则振动初相为（）A. 2B. 0 C. 2D. 解由)cos(tAx可得振动速度为)sin(ddtAtxv。速度正最大时有0)cos(t，1)sin

3、(t，若 t=0，则2。故本题答案为A。5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k1和 k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流A. mkk212B. mkk212C. 212121.kmkkkD. )km(k.kk212121解：设当 m 离开平衡位置的位移为x，时，劲度系数为k1和 k2

4、的两个轻弹簧的伸长量分别为 x1和 x2，显然有关系xxx21此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有2211xkxk1122ddxktxm由前面二式解出2121kkxkx，将 x1代入第三式，得到xkkkktxm212122dd将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令)km(k.kk21212，即得振动频率)km(k.kk212121。所以答案选D。6. 如题图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k1和 k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为( ) )km(k.kkv.kmkkkvmkkvmkkv21212121212121D.21C.21B.2A

5、.解：设质点离开平衡位置的位移是x，假设 x0，则第一个弹簧被拉长x，而第二个弹簧被压缩x，作用在质点上的回复力为( k1x+ k2x)。因此简谐振动的动力学方程k1k2m 选择题 5 图选择题 6 图m k1k2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流xkktxm)(dd2122令mkk212，即mkkv2121所以答案选B 。7. 弹簧振子在光滑水平面上作简

6、谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为( ) A. kA2 B. (1/2 )kA2C. (1/4)kA2 D. 0 解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D。8. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增加为原来的2 倍，振子的质量增加为原来的4 倍，则它的总能量为( )A. 2EB. 4EC. ED. 16E解：因为221kAE，所以答案选B。9. 已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为cm)25.010cos(6cm)75. 010cos(521txtx；则合振动的振幅为( ) A. 61cmB. 11cmC. 11cm D. 61cm 解)co

7、s(212212221AAAAA61)75.025.0cos(6526522所以答案选A。10. 一振子的两个分振动方程为x1 = 4 cos 3 t ，x2 = 2 cos (3 t +) ，则其合振动方程应为：（）A. x = 4 cos (3 t +) B. x = 4 cos (3 t) C. x = 2 cos (3 t) D. x = 2 cos 3 t 解：x =x1+ x2= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t +)= 4 cos 3 t 2 cos 3 t = 2 cos 3 t所以答案选D。11. 为测定某音叉C 的频率，可选定两个频率已知的音叉A 和 B； 先使

8、频率为800Hz的音叉 A 和音叉 C 同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz 音叉 B 和 C 同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C 的频率应为：（）A. 800 H z B. 799 H z C. 798 H z D. 797 H z 解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A 和音叉 C 同时振动时，拍的频率是2 H z，音叉 B 和音叉 C 同时振动时，拍的频率是1H z，显然音叉C 的频率应为 798 H z。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

9、- 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流所以答案选C。二填空题1. 一质量为m 的质点在力F = 2 x 作用下沿x 轴运动，其运动的周期为。解：mmkmT2222。2. 如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的点，振子处在位移的绝对值为 A、 速度为零、加速度为2A 和弹性力为kA 的状态，则对于曲线上的点。解：b ； a、e 。3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为x =_ m。解：)2cos(04.0t

10、。4. 一物体作简谐振动，其振动方程为x = 0.04 cos (5 t / 3 / 2 ) m。(1) 此简谐振动的周期T = 。(2) 当 t = 0.6 s 时，物体的速度v = 。解： （1）由 5/ 3 =2/ T，得到 T= 1.2s； （2）v= 0.04 5/3 sin (5t / 3 / 2 )，当 t = 0.6 s 时，v = 0.209 m . s 1。5. 一质点沿 x 轴做简谐振动， 振动中心点为x 轴的原点。 已知周期为T，振幅为 A，(1)若 t =0 时刻质点过x= 0处且向 x 轴正方向运动， 则振动方程为 _；(2)若 t =0 时质点位于 x=A/2 处

11、且向 x 轴负方向运动，则振动方程为_。解： （1）)2/2cos(TtAx； （2）)32cos(TtA6. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m，旋转角速度= 4rad/s，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x= 。解：t=0 时 x=0，v0，所以振动的初相位是/2。故 xO x t = 0 填空题 6 图填空题 2 图xtO1AAabcde填空题 3 图)m(x)s( tO104.004.02名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，

12、共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流=)24cos(04.0t。7. 质量为 m 的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅为 A 的简谐振动时，此系统的振动能量E = 。解：因为2224Tmmk，所以2222221TAmkAE。8. 将质量为0.2 kg 的物体，系于劲度系数k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为 _，振幅为 _。解： 1.55 Hz；22002=0 103vAx.m 9. 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定：

13、（1） 在s 时速度为零；（2） 在s 时动能最大；（3） 在s时加速度取正的最大值。解： （1）0.5(2n+1)， n=0,1,2,3；（2）n，n=0,1,2,3；（3）0.5(4n+1)，n=0,1,2,3。10. 一质点作简谐振动，振幅为A，当它离开平衡位置的位移为2Ax时，其动能Ek和势能 Ep的比值pkEE=_。解势能812122pkAkxE， 总机械能为221kAE， 动能832kkAE。 故3pkEE。11. 两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为)42cos(100.621tTx (SI)，)42cos(100.422tTx (SI)，则其合振动的表达式为_(SI) 。解本

14、题为个同方向同频率简谐振动的合成。(1) 解析法合振动为21xxx，)42cos(100.62tTx)42cos(100.42tT)2sin()2cos(51022tTtT)2cos(102.72tT填空题 9 图x(m) t(s) 1 2 3 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流其中11.3(2) 旋转矢量法如图所示，用旋转矢量A1和 A2分别表示两个

15、简谐振动x1和 x2，合振动为 A1和 A2的合矢量 A，按矢量合成的平行四边形法则2222102.74610Am，51coscossinsintan22112211AAAA,3.11故合振动的表达式为)3.112cos(102.72tTx三计算题1. 已知一个简谐振动的振幅A = 2 cm ，圆频率= 4s1，以余弦函数表达运动规律时的初相位=/ 2。试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线）。解：圆频率= 4s1，故周期 T=2/= 2/4=0.5s ，又知初相位=/ 2，故位移和时间的关系为x = 0.02cos（4t +/ 2）m，振动曲线如下图所示。2. 一质量为 0.02kg 的质点作

16、简谐振动，其运动方程为x = 0.60 cos(5 t/2) m。求： （1）质点的初速度； （2）质点在正向最大位移一半处所受的力。解： （1）)25sin(0.3ddttxv0.3)2sin(0.30vm/s （2）2xmmaFx=A/2=0.3 m 时，15.03.0502.02FN。3. 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为a 。今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的高度为b ，然后放手让其运动。试证明：若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。证明：选如图坐标系:，静止时 : (1)mggaS任意位置时的动力学方程为：22ddxmggxSmt-(

17、2) 将(1)代入 (2)得22d()dxgS xamt令yxa，则2222ddddxytt，上式化为：22ddygSymt0.02 0.02 x(m) t(s) 0.25 0.50 O AA2A1xo x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流令2gSm得: 222d0dyyt-(3) 上式是简谐振动的微分方程,它的通解为 :0cos()yAt所以木块的运动

18、是简谐振动. 振动周期 : 222maTgSg0t时，0 xb，0yba，00v振幅 :22002Aybav4. 在一轻弹簧下悬挂m0= 100g 的物体时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂m=250g 的物体，构成弹簧振子。 将物体从平衡位置向下拉动4cm， 并给以向上的21cm/s的初速度（令这时t=0）. 选 x 轴向下，求振动方程解：在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。弹簧的劲度系数lgmk/0。当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：cos tAx角频率为mk /代入数据后求得7rad s1以平衡位置为原点建立坐标，有：00.04xm,0

19、0.21vm s1据2200Ax(/)v得：0.05Am据Ax01cos得0.64rad, 由于00v, 应取0 64.rad于是，所求方程为：005(70 64)x.cost.m据Ax01cos得/ 2, 由于00v, 应取/ 2于是，其振动方程为：20.06cos(10/2)xtm5. 已知某质点作简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求（1）振动名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络

20、，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流表达式，（2）与 P 点状态对应的相位， （ 3）与 P 点状态相应的时刻。解（1）设振动表达式为x = A cos ( t+)由 题 图 可 见 ， A=0.1m ， 当t= 0时 ， 有05.0cos1.00 xm，这样得到3。由振动曲线可以看到，在t = 0 时刻曲线的斜率大于零，故 t =0 时刻的速度大于零，由振动表达式可得v0 = 2 sin 0即 sin 0，由此得到初相位3。类似地，从振动曲线可以看到，当t=4s 时有0)34cos(1.04x0)34sin(1.04v联立以上两式解得234，则245rad s1，因此得到振动表达式)324

21、5cos(10.0txm （2）在 P 点，1.0)3245cos(10.0tx，因此相位0)3245(t。（3）由0)3245(t，解出与 P 点状态相应的时刻t = 1.6 s。6. 两个质点在同方向作同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中， 每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并画出相遇处的旋转矢量图。解：因为)cos()cos(221tAtAA，所以3,321tt，故320或，取32。旋转矢量图如左。7. 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24N/m ，重物的质量m = 6kg ，重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于

22、物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。x A2 oA1 m F O x 计算题 7 图0.10 0.05 x(m) t(s) 4.0 P O 计算题 5 图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流解：设物体振动方程为：x = A c o s (t + )，恒外力所做的功即为弹簧振

23、子的能量E：E = F 0.05 = 0.5 J 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能即为弹簧振子的能量E：kA2 / 2= 0.5 由此球出振幅A = 0.204 m 。根据2 = k / m = 24/6 = 4 ( r a d / s )2，求出= 2 r a d / s 。按题中所述时刻计时，初相位为=。所以物体运动方程为x = 0.204 c o s (2 t +) m 8. 一水平放置的弹簧系一小球在光滑的水平面作简谐振动。已知球经平衡位置向右运动时， v = 100 cm s1，周期 T = 1.0s，求再经过 1/3 秒时间，小球的动能是原来的多少倍？弹簧的质量不计。

24、解：设小球的速度方程为：v = vm c o s (2t/ T + ) 以经过平衡位置的时刻为t = 0，根据题意t = 0 时v = v0 = 100 cm s-1，且v0。所以vm = v0，= 0 此时小球的动能Ek0 = m v02 / 2。经过 1 / 3 秒后，速度为v = v0 c o s 2/（3T） = v0 /2 。其动能Ek = m v2 / 2 = m v02/ 8 所以 Ek / E0 = 1/ 4，即动能是原来的1/ 4 倍。9. 一质点作简谐振动，其振动方程为：x = 6.010-2 cos (t / 3 / 4) m。（1）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量

25、的一半？（2）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？解： （1）势能 Ep= kx2/ 2 ，总能量 E = kA2/2。根据题意， kx2/ 2 = kA2/ 4，得到21024.42/Axm，此时系统的势能为总能量的一半。(2) 简谐振动的周期T = 2/= 6 s，根据简谐振动的旋转矢量图，易知从平衡位置运动到2/Ax的最短时间t 为 T / 8 ，所以t = 6 / 8 = 0.75 s 10. 如图所示，劲度系数为k，质量为 m0的弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为 m的子弹以水平速度v1射入 m0中，与之一起运动。选 m、m0开始共同运动的时刻为t = 0，求振动

26、的固有角频率、振幅和初相位。解：碰后振子的质量为m+ m0，故角频率mmk0。km0v1mx 计算题 10 图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流设碰撞后系统的速度为v0，碰撞过程中动量守恒，故得到mmm010vv。系统的初始动能为200)(21vmm，在最大位移处全部转换为弹性势能221kA ，即振幅)()(0110200mmkmmmkmkmmAvvv令振

27、动方程为)cos(tAx，则速度)sin(ddtAtxv。当 t=0 时，0sin, 0cos00vvAxA，可解出初相位2。11. 一个劲度系数为k 的弹簧所系物体质量为m0，物体在光滑的水平面上作振幅为A 的简谐振动时，一质量为m 的粘土从高度h 处自由下落，正好在（a）物体通过平衡位置时，（b）物体在最大位移处时，落在物体m0上。分别求：（1）振动的周期有何变化？（ 2）振幅有何变化？解 ： （ 1） 物 体 的 原 有 周 期 为kmT/200， 粘 土 附 上 后 ， 振 动 周 期 变 为kmmT/)(20，显然周期增大。不管粘土是在何时落在物体上的，这一结论都正确。（2） 设物体

28、通过平衡位置时落下粘土，此时物体的速度从v0变为 v，根据动量守恒定律，得到000vvmmm又设粘土附上前后物体的振幅由A0变为 A，则有202002121kAm v22021)(21kAmmv由以上三式解出000AmmmA，即振幅减小。物体在最大位移处时落下粘土，2202121kAkA，此时振幅不变。12. 如题图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为 m1的物体，放在光滑的水平面上。将一质量为m2的物体跨过一质量为m，半径为 R的定滑轮与m1相连，求其系统的振动圆频率。计算题 12图m1m2R m k 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

29、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流解方法一 ：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标S。对 m1和m2应用牛顿第二定律、对m 应用刚体定轴转动定律，得到22111ddtSmamkST222222ddtSmamTgm21221)(mRJRTT加速度和角加速度之间具有关系22dd1tSRRa解上面的方程组得0)(dd)21(22221kgmSktSmmm令kgmSx2，上式简化为标准的振动方程02/dd2

30、122xmmmktx系统的振动圆频率2/21mmmk方法二 ：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的机械能守恒。0212121212222212gSmmJmkSvv代入和将221mRJRv，得到0)dd(21212212gSmtSmkSm)(m2将上式对时间求一阶导数，得到0)(dd)21(22221kgmSktSmmm上式和解法一的结果一样。同样，圆频率为+2/21mmmk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - -

31、 - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流13. 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x1= 0.04 cos (2t +/2) m；x2 = 0.03 cos (2t +) m 。求此物体的振动方程。解：这是两个同方向同频率的简谐振动的合成，合成后的振动仍为同频率的简谐振动。设合成运动的振动方程为：x = A cos (t +) 则A 2 = A 12+A22 +2 A1A2 cos(21) 式中21 = / 2 =/ 2。代入上式得53422Acm 又34coscossinsin=tan22112211AAAA根据两个分振动的初相位，可知合振动的初相位

32、是21. 213.53180rad 故此物体的振动方程)21.22cos(05.0txm 14. 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为2m ，位相与第一振动的位相差为6，已知第一振动的振幅为1.73m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。解：由题意可做出旋转矢量图由图知12/3273. 12)2()73. 1(30cos222122122AAAAA所以m12A设角为OAA1，则cos22122212AAAAA即0173.1221)73.1(2cos2222122221AAAAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

33、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流即2，这说明，1A与2A间夹角为2，即二振动的位相差为2。15. 一质量为2.5kg 的物体与一劲度系数为1250N m1的弹簧相连作阻尼振动，阻力系数为 50.0kg s1，求阻尼振动的角频率。解：准周期振动的角频率为20)5.22/(50(5.2/1250)2/(/22220mmkrad/s 16. 一质量为 1.0kg 的物体与一劲度系数为900N m1的弹簧相连作阻尼振动，阻尼因子为 10.0 s1。 为

34、了使振动持续， 现给振动系统加上一个周期性的外力F = 100 cos 30t(N) 。求：（1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率；（2）若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？（3）共振的振幅多大？解： （1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率就是驱动力的频率 = 30 rad/s。（2）动频率等于5 .261020.1/9002/222220mkrrad/s。（3）共振的振幅177.0100.1/9001020.1/1002/22200mFArm 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -