2022年2022年解三角形知识点总结及典型例题 .pdf

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1、精选资料，欢迎下载课前复习 tan2 2ta n 1 tan2默写上述公式，检查上次的作业课本上的! sin2 2sin cos .1 si n2 2 2 sin cos 2sin cos (sin cos )22 cos2 cos ? 2 sin 2cos21 1 2si n2升幕公式1 cos 2 cos2,1 2 cos 2sin22 降幕公式cos2cos2 1 . 2 ,sin 1 cos2 22简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 两角和与差的正弦公式si n( si n( 2 两角和与差的余弦公式cos( cos( 3 两角和、差的

2、正切公式o+ B=sin ocos B+cos osin B o B=sin ocos Bcos osin Bc+ B=cos ocos Bsin osin B o B=cos ocos+sin osin Btan( o+B=邑91 tan tan (tan tan tan 1 tan tan ); tan( o B)= 一. (tan tan 1 tan tan tan tan tan ). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - -

3、 - - - 精选资料，欢迎下载解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精选资料，欢迎下载1 正弦定理及其变形二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在ABC中，若sin A: sin B : sinC 3:5:7，则角C的度数为a:b:c 3:5:7，, 令a、b、c依次为3、5、7，2 因为0 C ，所以C a b c sin A sin B sin C 2R （R为三角形外接

4、圆半径）(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式 )a b c (2)si nA ,si nB ,si nC (角化边公式 )2R 2R 2R a sin A a sin A b sin B （3）a:b: c sin A:sinB:sin C （4） - ， - ,- - b sin B c sin C c sin C 2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A, 求B时的解的情况 ：如果si nA si nB，则B有唯一解；如果si nA si nB 1，贝U B有两解 ;如果sin B

5、1, 贝U B有唯一解；如果si nB 1，则B无解.3、余弦定理及其推论2 2 2 a b c 2bccosA 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 cab 2abcosC cosC b22 c 2 a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 a b c 4、余弦定理适用情况: （1）已知两边及夹角；（2）已知三边 .5、常用的三角形面积公式1 亠（1）S ABC 底咼；2 1 （2）S ABCabsinC 2 6、三角形中常用结论1 1 bcsin A -casinB ( 两边夹一角 )2 2 (1)a b c,b c a, a c b(即两边之和大于第三边，两边

6、之差小于第三边) ；(2)在ABC中，A B a b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) .(3)在厶 ABC中, ABC ，所以sin(A B) sinC ；cos(A B) cosC ；tan(A B) .A B C A B . C tan C.【解析】由正弦定理可得b22ab c2= 32 52 72=2 3 5 cosAcosB2ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精选资料，欢迎下载3

7、若a、b、c是ABC 的三边，f(x) b2x2A、有两个交点B、有一个交点C 、没有交点D 、至少有一个交点【解析】由余弦定理得b2 c2 a2 2bccosA，所以2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f (x) b x 2bccos Agx c = (bx ccos A) c c cos A，因为cos A 1, 所以c c cos A 0，因止匕f (x) 0 恒成立，所以其图像与x轴没有交点。题型 2 三角形解的个数例 3在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A a 7, b 14, A 30 ; B、b 25, c 30, C 150 ;C b 4, c 5

8、, B 30 ; D a 6 , b 3 , B 60。题型 3 面积问题例 4ABC的一个内角为1200，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为【解析】设厶ABC的三边分别：x 4, x,x 4 ,/ C=120 ,A由余弦定理得：(x 2 2 2 4) (x 4) x 2x(x 4)cos120，解得 :x 10 ,? ABC三边分别为 6、10、14,1 . 1 SVABC ab si nC 6 10 15 3 2 2 2 题型 4 判断三角形形状例 5在ABC中，已知(a2b2)sin (A B) (a2b2) sin(A B), 判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为

9、角的等式或都化为边的等式。方法一：a2s in (A B) sin(A B) b2 sin (A B) sin(A B) 2 2 2a cos Asi nB 2b cos B si nA 由正弦定理，即知si n2AcosAs in B sin2 B cos B si nA sin Asin B(sin A cos A sin B cosB) 0 sin2A sin2B 由0 2A,2B 2 ，得2A 2B或2A 2B,即ABC为等腰三角形或直角三角形2 2 2 2 (b c a )x c , 则函数f(x)的图象与x轴()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

10、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精选资料，欢迎下载方法二：同上可得2a2cosAsin B 2b2cosBsin A 5 (1) 当p ,b 1时，求a,c的值; 4 (2) 若角B为锐角，求p的取值范围。所以62 三、课堂练习 : 1、满足A 45，c ，a 2的ABC的个数为m，则am为2、已知a 5,b 5 3，A 30，解三角形。由正、余弦定理，即得: a2b 2 2 c a 2bc 2 b2aa2ac 2 2 2 2 2 2 2 2 a (b c a ) b (a c b

11、 ) 2 2 2 2 2 即(a b )(c a b ) 0 a b 或c a b ,即ABC为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状; (角化边 ) 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系, 通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用( 边化角 ) 例 6在ABC中，a,b,c分别为角A.B,C的对边，且si nA si nC psin B( p R)且ac

12、 1 b24 【解析】 ( 1)由题设并由正弦定理，得a5 c -,ac 4 1 ，解得，a4 1 、1,c 或a 4 1 ,c 4 (2)由余弦定理，b2 a2c2 2ac cos B = (a 2 c) 2ac 2accosB 即p2 3cosB，因为0 2 cosB 1，所以p 2(3,2)，由题设知p 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精选资料，欢迎下载5 6、在ABC 中，D 为边BC上一点，BD 3

13、3，sin B ，cos ADC13 7、在ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a cOsB，试确定b cosA3、在ABC 中,已知a 4 cm , b 4、B、x cm , A 60，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ()D 4 X史3 C、4 x 833 ABC 中,1(a24 b2c2),则角C 5、设R是ABC外接圆的半径，且2R(si n2A si n2C) (.2a b) sin B，试求ABC面积的最大值。- ，求AD .5 ABC形状。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

14、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精选资料，欢迎下载1 若cosB 一,b 4 2,求ABC的面积。c a) 3bc, 且sin A 2sinBcosC，贝V ABC 是B、钝角三角形D等腰直角三角形2 c )则角C _ 3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为h m，则清源山的高度为m。cos A 2cosB C取得最大值，并求出这个最大值。25、在ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，且满足csinA acosC (1)求

15、角C的大小(2)求,3s in A cos(B 一)的最大值，并求取得最大值时角代B的大小。8、在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知cos A 2cos C cosB 2c a b (1 ) 求sin C sin A C、h sin cos sin( ) B、h cos sin sin( ) h sin sin sin( ) hcos cos sin( ) 四、课后作业1、在ABC 中，若(a b c)(b A、等边三角形C直角三角形2、ABC 中若面积S=1(a2b24 4、ABC的三个内角为A B、C，求当A为何值时 , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精选资料，欢迎下载Welcome ! 欢迎您的下载 , 资料仅供参考 ! 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -