2022年洛伦兹变换的推导 .pdf

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1、设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S 系，S系的 原点 O 相对 S系的原点O以速率 v 沿 x 轴正方 向运动。 任意一事 件在 S系、S系中 的时空坐标分别为（ x，y， z， t ）、（ x ，y ，z ， t ）。两 惯性系重合时，分别开始计时若 x=0，则 x+vt=0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从 S 系到 S系的变换为x= (x+vt) (1) 式中引入 了常数 ，命名为洛伦兹因子（由于这 个变换是猜测的，显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性）在此猜测 上，引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到 S系的 变换为

2、x= (x-vt) (2) y 与 y 、 z 与 z 的变换可以直接得出，即y=y (3) z=z (4) 把（ 2）代入（ 1），解 t 得t= t+(1-2)x/ v (5) 在上面推 导的基础上，引入光速不变原理，以寻求 的取值设想由重 合的原点O （O）发出 一束沿 x 轴正方向的光，设该光束的波前坐标为（ X， Y，Z， T)、 (X ，Y， Z ， T) 。根据光速不变，有X=cT (6) X=cT (7) （ 1）（ 2）相乘得xx= 2( xx-xvt+xvt-v2*tt) (8) 以波前这 一事件作为对象，则（8）写成XX= 2(XX-XVT+XVT-V2*TT) (9)

3、（ 6）（ 7）代入（ 9）， 化简得洛伦兹因子 =1-(v/c) 2(-1/2) (10) （ 10）代 入（ 5），化简 得t= (t-vx/c2) (11) 把（ 2）、（ 3）、（ 4）、（ 11）放在一起，即S系到 S 系的洛伦兹变换x= (x-vt)，y=y ，z=z ，t= (t-vx/c2) (12) 根据相对 性原理，由（12）得 S 系到 S系的洛伦兹变换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - x=

4、(x+vt)，y=y ，z=z ，t= (t+vx/c2) (13) 下面求洛 伦兹变换下的速度变换关系考虑分别 从 S系和 S系观测一质 点 P的运动速度。设在 S系 和 S 系中分别测得的速度为 u(j ，n， m)和 u(j， n ，m) 由（ 12） 对 t 求导即得S系到 S 系的洛伦兹速度变换j=(j-v)/(1-vj/c2)，n=n/ (1-vj/c2)-1，m=m/ (1-vj/c2)-1 (14) 根据相对 性原理，由（14）得 S 系到 S系的洛伦兹速度变换j=(j+v)/(1+vj/c2)，n=n/ (1+vj/c2)-1，m=m/ (1+vj/c2)-1 (15) 洛伦

5、兹变 换结合动量定理和质量守恒定律，可以得出狭义相对论的所有定量结论。这些结论得到实验验证后，也就说明了狭义相对论的正确性编辑本段经典的洛伦兹变换经典的洛 伦兹变换指出：我们将求出相对论的变换公式，这些公式恰好是根据那个事件间的间隔不变的要求的。如果我们为了便于以后的叙述利用量 = ict，那么，正如在1-2 里所看到的二事件间的间隔可以认为是在四度空间内的相对应的两个世界点间的距离。因此我们可以说，所要求的变换，必须是使所有在四度空间x，y，z， 内的距离不变的变换。但是这些变换仅仅包括坐标系统的平移与旋转。其中，我们对于坐标轴对自己作平行移动并无兴趣，因为这不过是将空间坐标的原点移动一下、

6、并将时间的参考点改变一下而已。所以，所要求的变换，在数学上应当表示为四度坐标系统 x， y， z， 的旋转。四度空间内的一切旋转，可以分解为六个分别在六个平面xy， yz， zx，x，y， z 内的旋转（正如在三度空间内的一切旋转可以分解为xy，yz， zx 三个平面内的旋转一样）。其中，前三个旋转仅仅变换空间坐标，它们和通常的空间旋转相当。我们研究在 x 平面 内的旋转， 这时 y 与 z 坐标是不变的。令 为旋转角， 那么 ，新旧坐标的关系就由以下二式决定：x = x cos sin ， = xsin + cos （1）参见上图 ：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

7、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 我们现在 要找出由一个惯性参考系统K到另一个惯性参考系统 K的变换公式， K以速度V沿 X轴对 K作相对 运动。在这种情况下，显然只有空间坐标 x 与时 间坐标 发生 变化。所以这个变换必须有(1）式的形式。现在只剩下确定旋转角 的问 题，而 又仅与 相对速度V有关。我们来研究参考系 统 K的坐标 原点在 K内的运动。这时，x = 0，而公式 (1) 可写成：x = sin ； = cos。 (2 ）相除可得x/ = - tan (3 ）

8、但 = ict，而x/t显 然是 K 对 K的速度 V。因此，tan = iV/c (4) 由之得sin = (iV/c)/(1-V2/c2)1/2， cos=1/(1-V2/c2)1/2 (5）代入 (2) ，得：x = (x - iV )/(1-V2/c2)1/2，y = y ，z = z ， = ( + iVx /c)/(1-V2/c2)1/2 (6）再 将 = ict， = ict代入，最后得x = (x + Vt )/(1 -V2/c2)1/2，y = y ，z = z ，t = (t + Vx/c2)/(1-V2/c2)1/2 (7) 这就是所 要求的变换公式。它们被称为洛伦兹变换式，是今后讨论的基础。（参见场论， . . 朗道、 . . 栗弗席兹著，任朗、袁炳南译，人民教育出版社 1958 年 8 月第一版，第14 15 页）正如 所知， 这一组 关系式就 是著名 的“洛 伦兹变 换公式 ”，也 是爱因斯 坦狭义 相对论 的数学 基础。的 确，按 照这一 组关系 式，只 能得出 ：运动系上的时间坐标（r）和空间坐标（t ），在运动中会产生“钟慢尺缩”效应名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -