2022年正弦、余弦函数图像 .pdf

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1、1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（一）给定任意一个角，其正弦值、余弦值均存在，且满足唯一性，即角与正弦、余弦值之间可以建立一一对应关系，符合函数的要求。形如 y = Asin( x + ) （0 ）的函数称为正弦函数；形如 y = Acos( x + ) （0）的函数称为余弦函数；其中 y = sinx、 y = cosx是正弦函数与余弦函的基本形式： 所有的正弦函数、 余弦函数，通过“换元”思想，都可以转化为 y = sinx 与y=cosx的形式，故二者是研究正弦函数与余弦函数的基石。（二）在诱导公式的帮助下，我们可以将任意一个角的三角函数值转化为求某一个锐角的三角函数， 再以有序实数

2、对 （角，三角函数）的形式在坐标系内描点，从而得到三角函数的图象； 除了基础的描点法，我们也可以利用三角函数线，得到函数的图象。做法：等分单位圆O1：以单位圆O1与 x轴交点 A 为起点，将圆等分为12 份；作正弦线：过单位圆的各分点作x轴的垂线，得0，6，3，2， ，2 等角的正弦线；平移画图： 在 x 轴上等分0 到2 为12 份，将正弦线平移到相应的角上，连接正弦线的终点， 从而得到 0 到2 的正弦函数图象。（三）0到2 ，是任意角的冰山一角；0 到2 一段上的函数图象， 也仅仅是三角函数图象的一部分 .另一方面，当角的终边旋转一周后继续旋转， 角的大小在逐渐变化的同时，角的正弦线“玩

3、接力”样依次重复出现，可以预见， 2 到4 ，4 到6 ，6 到8 ， ，是0到2 一段上函数图象的“复制”与“粘贴”，每一段的首尾相接， 便是函数图象的 “真身”。（四）正弦函数、余弦函数的图象告诉我们：从自变量x的角度看， 函数图象可沿着x轴正、负方向无限延伸，即x 轴上任何一个数值都对应函数图象上一个点，故正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数R；从因变量y 的角度看，正弦函数、余弦函数的图象是在由y = 1与y = -1 两条互相平行的直线围成的条形带中，故正弦函数、余弦函数的值域为-1 ，1，好比正弦函数、余弦函数为一个“加工厂”，投入的角多大多小，产成品 - “函数值”只能在 -1

4、，1 ；正弦函数、余弦函数的图象可以看作某一部分（如图中的阴影部分）的重复拼接，故画函数图象时，可以以此为单元。（五）基于正弦函数、 余弦函数图象的特征，有了重复单元， 就有了整个正弦函数、余弦函数的图象；在画函数图象时，重复单元的绘名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 制 显 得 尤 为 重 要 。 我 们 往 往 选 择 区 间0， 2上的图象，作为正弦函数、余弦函数图象的重复单元。观察图象，发现函数y = sin

5、x或y = cosx在区间 0，2上的图，起关键作用的点有五个，为：（0，0），（2， 1）,（ ，0）， （32，1）， （2, 1）；（ 0,1），(2，0) ，( ， - 1) ， （32，0）（2, 1） ；这种由五个关键点画正弦、余弦函数图象的方法，称为“五点法”。五点法所涉及的五个点并不是一成不变的，其横、纵坐标均可能改变； 五点法的实质是选取了五个特殊角，即 0，2， ，32，2，由此衍生出x与 y 的值。考点一五 点 法 画 函 数 图 象典 例 剖 析【例 1】 利用 “五点法”画出函数 y = sin? (12x +6)在长度为一个周期的闭区间的简图. 解析五点法是以角为基

6、础确定的，区分角与自变量，列表描点连线得函数的图象。(1) 列表：角12x +6?0?2? ?32?2 自变量 x -32353?83113因变量 y 0 1 0 -1 0 (2)描点：在坐标系中描出点(-3， 0) ， (23，1) ，(53，0) ， (83， - 1) ，(113，0)(3)连线：y 1 -3235393113【类题突破1】用“五点法”作出函数y = 2sin? (2x -3) 的简图 . 规律总结：“五点法”是以角为基础的，即对于所有的正弦函数、余弦函数，其角依次取 0，2， ，32，2，并由此推出相应自变量 x 与因变量y 的值；“五点法”仅得到一个周期长度的函数图象

7、，即一个重复单元，不断重复该部分图象即可得一个完整图象. 考点二给 定 区 间 上 的 函 数 图 象典 例 剖 析【例 2】已知函数 f(x) = 2 sin (2x -4) + 1，画出函数在区间-2，2上的图象 . 解析根据自变量 x 的取值范围确定角的取值范围， 并选择特殊性质的角；注意必须包含左右端点对应的角。-2 x 2-542x -434其中的特殊性质的角依次为：-54， - -2，0，2，34(1) 列表：2x -4-54? ?-2?0?2?34 x -2-38-88382 y 2 1 1-2 1 1 + 2 2 (2) 描点：在坐标系中标注点(-54，2)(- ，1) ， (

8、-2，1 - 2)，(0 ，1)(2，1 + 2)， （34，2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - (3) 连线得函数图象：【类题突破2】函数 y = sin? (2x -3)在区间-2， 上 的 简 图 是 下 列 选 项 中 的( ) 1 y y 1 -3 O 6 -2-3 O6 A B y 1 y 1 -2-63 x -2-6 O 3 C D 规律总结：绘制给定区间上的正弦、余弦函数图象，仍以角为基础选点，即

9、根据自变量 x 的取值范围， 求出角的取值范围，并选出范围内的特殊角，进而选出绘图所需点；特殊角为两类，一类是坐标轴上的角，一类是端点对应的角；给定区间上的函数图象所需点的个数不局限于五个 . 考点三函 数 图 象 解 不 等 式典 例 剖 析【例 3】写出不等式 ?的解集 . 解析利用数形结合的思想，分别画出?=?与?=?的图象，通过图象写出不等式的解；注意，函数 ?= ?的图象具有重复性，画出一个重复单元即可. 在同一坐标系中，作函数?= ?，?，? 的图象及直线?=?O ?在区间 ?，? 上有： ?= ?=?满足 ?的 x 的取值为：?随着图象的无限延伸，?，? 上函数图象的重复拼接，满

10、足上述不等式的解有：?，?，?，?，符合 ?+ ?，?+ ?故不等式 ?的解集为：?+ ?，?+ ? ?【类题突破3】写出 ?的解集 . 规律总结：解三角函数不等式，可以利用三角函数的单调性；也可以根据函数的图象；三角函数图象具有重复性，画出一个重复单元即可 . 基础巩固练1 、 用 “ 五 点 法 ” 画 ?= ?，? ?，? 的图象时，下列哪个点不是关键点（）A.(?，?） B.(?，?) C. (?，?） D.(?，?）2、 在同一平面直角坐标系中，函数 ?= ?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

11、 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - ?，?与?= ?，?，? 的图象（）A.重合 B.形状相同，位置不同C.关于 y 轴对称 D. 形状不同，位置不同3、函数 ?= ?( -?)，?，? 的简图是（） y y O ? O ? x x A B y y O ? O ? x x C D 4、若?= ?+ ? 且? ，则?的取值范围是 _. 5、函数 ?= ?，?，? 的图象与直线?= -?的交点有 _个 . 提能抢分练6、函数 ?= ?+ |?|，?，? 的大致图象为（）y y O ? x O ? x A B y y O ? x O ?x C D

12、 7、在 (?，?) 内，使 ? ?成立的x的取值范围为（）A.(?，?）（?，?) B.(?，?）C.(?，?） D.(?，?)(?，?)8、 利用余弦函数图象， 写出满足 ? ? ，?，? 的 x 的区间为 _. 9 、 函 数 ?=?的 定 义 域 为_. 10、已知函数 ? (? ) = ?(? +?)(1) 画出函数在区间-?，? 上的图象；(2) 若方程 ? ( ? ) = ? + ? 在区间 -?，?上有两解，求a 的取值范围 . 11、已知函数 ? ( ? ) = ?(? +?). 画出函数?= ?(?) 在区间 ?，? 上的图象 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -