2022年求函数值域的常用方法 .pdf

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1、因思特文化有限公司1 求函数值域的常用方法1.直接观察法 ：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数1yx的值域。解：0 x10 x显然函数的值域是：,00,例求函数3yx的值域。解：0 x0 x，33x故函数的值域是：,32.配方法 ：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。例求函数242(1,1)yxxx的值域。解：2242(2)6yxxx1,1x，23,1x，2(2)1, 9x2(2)63, 5x，3, 5y函数242(1,1)yxxx的值域为3, 5。3.反函数法 ：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例求函数3456xy

2、x值域。解：由原函数式可得：4653yxy故所求函数的值域为：3(,)5y3(,)54.函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例求函数1212xxy的值域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 因思特文化有限公司2 解：由1212xxy解得121xyy，20 x，101yy，11y函数1212xxy的值域为(1,1)y。5. 判别式法 ：把函数转化成关于x 的二次方

3、程； 通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xca xb xc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，xR，2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，1113y函数2231xxyxx的值域为11|13yy6. 分离常数法 ：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法。此类问题一般也可以利用反函数法。例求函数125xyx的值域。解：177(25)112222525225xxyxxx，72025x，12

4、y，函数125xyx的值域为1|2yy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 因思特文化有限公司3 7.函数单调性法：确定函数在定义域 （或某个定义域的子集）上的单调性， 求出函数的值域。例求函数532log1(210)xyxx的值域。解：令51232,log1xyyx，则1y，2y在2，10上都是增函数所以12yyy在 2，10上是增函数当 x=2 时，3m in312log218y当 x=10 时，5max32lo

5、g10133y故所求函数的值域为：1,338. 8.换元法： 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。例求函数212yxx的值域。解：令12tx（0t） ，则212tx，22151()24yttt当12t，即38x时，max54y，无最小值。函数212yxx的值域为5(,4。例求函数221(1)yxx的值域。解：因21(1)0 x，即2(1 )1x故可令1cos,0,x2cos11cossincos12 sin()14y0,，50,442sin(),1422 sin()10,124故所求函数的值域为0,12 . 名师资料总结 - - -精品资料欢

6、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 因思特文化有限公司4 例求函数(sin1)(cos1)yxx，,122x的值域。解：(sin1)(cos1)sincossincos1yxxxxxx令sincosxxt，则21sincos(1)2xxt2211(1)1(1)22yttt由sincos2 sin()4txxx，且,1 22x可得：2,2 2t当2t时，max322y，当22t时，min3242y故所求函数的值域为323,2 422. 例求函数245y

7、xx的值域。解：由250 x，可得5x故可令5 c o s, 0 ,x4)4sin(10sin54cos5y0,5,4442sin(),142故所求函数的值域为：45 ,410 9.数型结合法： 函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域， 是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、 截距等） 或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例求函数|3 |5 |yxx的值域。解：22|3 |5|822xyxxx(3)(35)(5)xxx，85-3oyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

8、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 因思特文化有限公司5 |3 |5 |yxx的图像如图所示，由图像知：函数|3 |5 |yxx的值域为8,)例求函数2261345yxxxx的值域解：原函数可变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx上式可看成x 轴上的点 P（x，0）到两定点A（3，2） ，B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P 为线段与 x 轴的交点时，22min|(32)(21)43yAB，故所求函数的值域为43，+） 。例求函数 y= 1362x

9、x-542xx的值域解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx上式可看成定点A（3， 2）到点 P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点 P（x，0）的距离之差。即：y=AP- BP由图可知：（1）当点 P在 x 轴上且不是直线AB 与 x 轴的交点时，如点P1 ，则构成 ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP1 - BP1 AB= )12()23(22= 26即： -26y26名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - -

10、- - - - - - - 因思特文化有限公司6 （2）当点P 恰好为直线AB 与 x 轴的交点时，有 AP-BP = AB= 26。综上所述，可知函数的值域为：(26 ,26 。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A， B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A， B 在 x 轴的同侧。10.数型结合法： 利用基本不等式abba222和)0,(2baabba是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时 , 利用此法时应注意取成立的条件 . 例 求函数12xxy的值域 . 解211112xx

11、xxy, 当且 仅当1x时成 立 . 故函 数的 值 域 为),2y. 例 求函数1222xxxy的值域 . 解 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题. 原函数1111)1)(1()1(xxxxxy; )当1x时, 01x, 011x, 此时2y, 等号成立 , 当且仅当0 x. )当1x时, 0)1( x, 011x, 此时有211)1(11)1(11)1)(1(xxxxxxxy, 等号成立 , 当且仅当2x. 综上 , 原函数的值域为:),22,(y. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -