2022年2022年集合的概念 2.pdf

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1、第二讲集合的概念（ 2012-7-9）例 1 设集合 A 的元素都是正整数，满足如下条件：（1） A 的元素个数不小于3；（2）若Aa，则a的所有因数都属于A；（3）若Aa，Ab，ba1，则Aab1请解答下面的问题：（1）证明： 1,2,3,4,5 都是集合 A 的元素；（2）问： 2005,2012 是否是集合A 的元素例 2 设 T 是由10060得所有正因数组成的我集合，S 是 T 的一个子集，其中没有一个数是另一个数的倍数，求Card(S)的最大值（ Card(S)表示有限集合M 所含元素的个数） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

2、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例3 对于集合M ，定义函数1,( )1,.MxMfxxM对于两个集合M ， N，定义集合( )( )1MNMNx fxfx. 已知2,4,6,8,10A=，1,2,4,8,16B =. （）写出(1)Af和(1)Bf的值，并用列举法写出集合A B；（）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card XACardXB的最小值；（）有多少个集合对（P，Q） ，满足,P QAB，且() ()P AQ BA B？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

3、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例 4 若集合A具有以下性质：A0，A1；若Ayx,，则Ayx，且0 x时，Ax1. 则称集合A是“好集” . （）分别判断集合1,0,1B =-，有理数集Q是否是“好集” ，并说明理由；（）设集合A是“好集”，求证：若Ayx,，则Ayx；（）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p：若Ayx,，则必有Axy；命题q：若Ayx,，且0 x，则必有Axy；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

4、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例3 对于集合M ，定义函数1,( )1,.MxMfxxM对于两个集合M， N，定义集合( )( )1MNMNx fxfx. 已知2,4,6,8,10A=，1,2,4,8,16B =. （）写出(1)Af和(1)Bf的值，并用列举法写出集合A B；（）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card XACardXB的最小值；（）有多少个集合对（P，Q） ，满足,P QAB，且() ()P AQ B

5、A B？解： （）(1)=1Af，(1)= 1Bf-，1,6,10,16A B. ,3 分（ ） 根 据 题 意 可 知 ： 对 于 集 合,C X， 若aC?且aX?， 则( )()C a r dCXaC a r dCX；若aC?且aX?，则()CardCXaCardCX. 所以要使()()Card XACard XB的值最小， 2，4，8 一定属于集合X；1， 6，10，16 是否属于X不影响()()Card XACard XB的值；集合X不能含有AB之外的元素 .所以当X为集合 1,6,10,16 的子集与集合 2,4,8 的并集时，()()Card XACard XB取到最小值4. ,

6、8分（）因为( )( )1 ABA Bx fxfx，所以A BBA. 由定义可知：( )( )( )A BABfxfxfx. 所以对任意元素x，()( )( )( )( )( )( )A BCA BCABCfxfxfxfxfxfx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - ()( )( )( )( )( )( )AB CAB CABCfxfxfxfxfxfx. 所以()()( )( )A BCAB Cfxfx. 所以()

7、()A BCAB C. 由() ()P AQ BA B知：() ()PQA BA B. 所以()() ()()()P QA BA BA BA B. 所以P Q. 所以P Q，即PQ=. 因为,P QAB，所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为72128.,14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - （20） （本小题满分14 分）若集合A具有以下性质：A0，A1；若Ayx,，则Ayx，且0 x时，Ax1. 则称集合

8、A是“好集” . （）分别判断集合1,0,1B =-，有理数集Q是否是“好集” ，并说明理由；（）设集合A是“好集”，求证：若Ayx,，则Ayx；（）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p：若Ayx,，则必有Axy；命题q：若Ayx,，且0 x，则必有Axy；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

9、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 作业：1已知xA, 3 , 1，2, 1 xB，且xBA, 3 , 1，求x的值2 已 知X是 方 程02qpxx的 实 数 解 集 ，10,7, 4, 1,9 ,7 ,5 , 3, 1BA， 且AX,XBX，求qp,的值3已知集合2),(axyyxA，1),(xyyxB，且BA是一个单元素集，求实数a的取值范围4在集合50,2 , 1的子集 S 中，任意两个元素的平方和不是7 的倍数，求Card(S)的最大值5 M 是正整数集的子集，满足：MMM2007,2006,1

10、，并且有如下性质：若Mba,，则Mba222，求 M 有多少非空子集？6设 S1，S2，S3,，是三个由整数组成的非空集，已知对于1,2,3 的任意的一个排列kji,，如果jiSySx,，则kSyx，证明： S1，S2，S3中必有两个集合相等7已知集合1),(yaxyxA，1),(ayxyxB，1),(22yxyxC，则（1）当a去何值时，CBA)(是一个 2 元素集；（2）当a去何值时，CBA)(是一个 3 元素集8设集合54321,aaaaaA，2524232221,aaaaaB，其中)51(iai都是正整数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

11、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 且54321aaaaa，1041aa，并且满足41,aaBA，BA中所有数之和为 224，求集合A9考虑集合2000,2 , 1满足下述条件的子集A，A 中没有一个数是另一个数的5 倍，求 Card(A)的最大值10已知一族集合nAAA,21具有性质：（1）每个iA含有 30 个元素；（2）对每一对ji,：nji1，jiAA都是单元素集；（3）nAAA21求使这样的集合族存在的最大的正整数n11已知2000,2 , 1A，且 A 中任意两个数之差的绝对值不等

12、于4 或 7，求 Card(A)的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 测试题1已知集合*2, 1NaaxxA，*2,106NbbbyyB，确定集合A和B之间的关系2已知RyxyxI,),(，23),(xyyxA，324),(xyyxB， 求BA及BACI3已知集合*,101NxxxS，对它的任一非空子集A，可以将 A 中的每一个元素k， 都 乘 以k)1(在 求 和 （ 例 如 ，8, 3 ,2A， 则 可

13、求 得 和 为78) 1(3)1(2)1(832） 对 S 的所有非空子集，求这些和的总和4设*22,NyxyxnnM，求证：M2006，并求 M 中，从小到大的第2006个正整数的大小5设*22,NyxyxnnM，求证：M1999，并且对任意正整数k，均有Mk19996设kAAA,21是集合10,2 , 1X的不同子集，它们两辆的交集都不是空集，而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - X的其他子集不能与kAAA,21中每一个的交集都是非空集合，求k的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -