2022年指数函数知识点总结教案 .pdf

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1、名师整理精华知识点班级：一对一所授年级 +科目：高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：教学目标教学重难点指数函数知识点总结（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）； （2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和

2、性质a1 0a1 定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R上单调递增在 R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数图象都过定点（0,1 ）图象都过定点（0,1 ）axnxannnN00nnaannn)0()0(|aaaaaann)1, 0(*nNnmaaanmnm)1,0(11*nNnmaaaanmnmnmrasrraa),0(Rsrarssraa )(),0(Rsrasrraaab)(),0(Rsra) 1,0(aaayx且654321-1-4-224601654321-1-4-224601名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

3、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（ 1）在a ，b 上，值域是或；（ 2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（ 3）对于指数函数，总有；1比较大小例 1 已知函数2( )f xxbxc满足(1)(1)fxfx ，且(0)3f，则()xf b与()xf c的大小关系是_分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内解：(1)(1)fxfx ，函数( )f x 的对称轴是1x故2b，又(0)3f，3c函数( )f x 在1

4、，上递减，在1 ， 上递增若0 x，则 321xx，(3 )(2 )xxff；若0 x，则 321xx，(3 )(2 )xxff综上可得(3 )(2 )xxff，即()()xxf cf b评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2 已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是_分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：2225(1)441aaa，函数2(25)xyaa在 ()， 上是增函数， 31xx ，解得14xx的取值范围是14， 评注：利用指数函数的单调性解不

5、等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3 求函数216xy的定义域和值域解：由题意可得2160 x，即261x，20 x，故2x, 函数( )f x 的定义域是2，令26xt，则1yt，又2x，20 x 2061x，即 01t 011t，即 01y, 函数的值域是01 ，)1a0a(a)x(fx且)b(f),a(f )a(f),b(f 0 x1)x(f)x(fRx) 1a0a(a)x(fx且a)1 (f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

6、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例 4 函数221(01)xxyaaaa且在区间 11， 上有最大值14，则a的值是 _分析：令xta 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围解：令xta ，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t当1a时，11x，1xaaa，即1taa 当ta时，2max(1)214ya, 解得3a或5a（舍去）；当 01a时，11x，1xaaa，即1ata ，1ta时

7、，2max11214ya，解得13a或15a（舍去）；a的值是 3 或13评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例 5 解方程223380 xx解：原方程可化为29(3 )80390 xx，令3 (0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t或19t（舍去）， 39x，2x，经检验原方程的解是2x评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例 6 为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象（） A 向左平移9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B 向右平移9 个单位长度，再向下平移5 个

8、单位长度C 向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度D 向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断解：293535xxy，把函数3xy的图象向左平移2 个单位长度， 再向上平移5 个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（C） 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

9、- - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点综合练习1 比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（ 2）若，比较与；（3）若，且，比较a与b；（4）若，且，比较a与b解：（1）由，故又，故从而（2）由，因，故又，故从而（3）应有因若，则又，故，这样又因，故从而，这与已知矛盾（4） 应有 因若，则 又， 故，这样有 又因，且，故从而，这与已知矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线分别是指数函数 ,和的图象, 则与 1 的大小关系是 ( ). (分析 : 首先可以根据指数函数单调性, 确定 , 在轴右侧令 ,对

10、应的函数值由小到大依次为 , 故应选 . 小结 : 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目, 第(1) 题是由数到形的转化, 第(2) 题则是由图到数的翻译 , 它的主要目的是提高学生识图, 用图的意识 . 3 已知 -1 x2, 求函数 f(x)=3+2 3x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x, 因为 -1 x2，所以931t，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12；当 t=9 即 x=2 时 f(x) 取最小值 -24 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

11、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点4 已知函数（且）（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围解：（ 1），当即时，有最小值为（2），解得当时，；当时，5（1）已知mxfx132)(是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3k无解？有一解？有两解？解：（1）常数m=1 （2）当k0时，直线y=k与函数|13|xy的图象无交点 , 即方程无解 ; 当k=0或k1时, 直线y=k与函数|13|xy的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当 0k1)

12、的图像是 ( ) x2 x(-1,0)41( ) 0 x-1,0,12 x(0,1)41xxxf x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想 . 解法 1：( 分类讨论 ) ：去绝对值，可得y).0()1(),0(xaxaxx又 a1，由指数函数图像易知，应选B. 解法 2：因为 yax是偶函数，又a1，所以当

13、x0 时， yax是增函数； x0 时， ya-x是减函数. 一、选择题1函数 f （x）=(a2-1)x在 R上是减函数，则a 的取值范围是（）A、 B、 C、a D、12. 下列函数式中，满足f(x+1)=f(x)的是 ( ) A、(x+1) B、x+ C 、2x D、2-x 3. 下列 f(x)=(1+ax)2是（）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数4函数 y=是（）A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数5函数 y=的值域是（）A、 （-） B、 （-0）（0，+） C 、 （-1，+） D、 （-，-1 ）（0，+）6下列函数中，值域为R+的

14、是（）1a2a22a212141xa1212xx121x1 ,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点A、y=5 B、y=()1-x C、y= D、y=7已知 0a1,b0) 与函数 y=()x,y=()x,y=2x,y=10 x的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是11函数 y=3的单调递减区间是12若 f(52x-1)=x-2, 则 f(125)= 答案 1 、D；2、D；

15、3、B ；4、A；5、D；6、B；7、A 8.(-,0)(0,1) (1,+ ) 9 （）9，39 10 D、C、B、A 11 （0，+） 12 0 三、解答题13、已知关于x 的方程 2a7a+3=0 有一个根是2, 求 a 的值和方程其余的根. 解: 2a7a+3=0, a=或 a=3. a=时, 方程为 : 8 ()14()+3=0 x=2 或 x=1log3 a=2 时, 方程为 : 22+3=0 x=2 或 x=1log2 14、设 a 是实数，, 试证明对于任意a,为增函数 . 证明：设R,且则x21311)21(xx211151xx311822xx1x3121232x3122x1

16、x2212121x221x221x227x3)(122)(Rxaxfx)(xf21,xx21xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点由于指数函数 y=在 R上是增函数 , 且, 所以即0 得+10, +10, 所以0 且 a1) 在( , +)上是增函数 , 求实数 a 的取值范围 . 解: 由于 f(x) 递增，若设 x x, 则f(x) f(x)=(aa) (aa) =(aa)(1+aa)0,

17、 故 (a9)( (aa)3; (2) , 解得 0a0 且 y1. (2)y 4x+2x+1+1 的定义域为R.2x0, y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21, y4x+2x+1+1 的值域为 yy1. 17 已知 9x-10.3x+90，求函数 y=（41）x-1-4 （21）x+2 的最大值和最小值. 解：由已知得（3x）2-10 3x+90 得（ 3x-9 ） （3x-1 ） 0 13x9 故 0 x2 ) 12)(12()22(222122) 122()122()()(2121122121xxxxxxxxaaxfxfx221xx2122xx2122xxx212x

18、22x)()(21xfxf)()(21xfxf)(xf9|1|2aaxx12129|1|2aa1x1x2x2x9|1|2aa1x2x1x2x21x2x0912aa09102aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师整理精华知识点而 y=(41)x-1-4(21)x+2= 4 （21）2x-4 （21）x+2 令 t= （21）x（141t） ，则 y=f （t ）=4t2-4t+2=4 （t-21）2+1 当 t

19、=21即 x=1 时，ymin=1 ； 当 t=1 即 x=0 时， ymax=2. 18 已知函数f(x) 11xxaa (a0 且 a1). (1) 求 f(x) 的定义域和值域；(2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调性 . 解： (1) 易得 f(x)的定义域为 xxR. 设 y11xxaa, 解得 ax-11yyax0当且仅当 -11yy0 时，方程有解. 解-11yy0 得-1y1 时， ax+1 为增函数，且ax+10. 12xa为减函数，从而f(x) 1-12xa11xxaa为增函数 . 2当 0a1 时，类似地可得f(x) 11xxaa为减函数 . 教案审核：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -