2022年《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄§-,习题选讲与答案 .pdf

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1、翻函分析习题选讲（ 8）例 1 设 X=C a,b,t1, ,tn.,1Cban定义 X 上的线性泛函：若. )()(,1niiitxxfXx求证 f 是 X 上的有界性泛函，求f 。证明任意 xX,|f(x)|=| niiitx1)(|niiitx1| )(|)(|1niiitx. 所以 |f|nii1. |存在C，1|i，使|iii。存在， xX,使,2, 1,)(nitxii且|x|=1.这样 |f(x)|=| niiitx1)(|=|1nii，所以 . |f(x)|1nii由此，我们证明了 |f(x)|=|1nii。证毕。例题2 设 F 是),(0C上的线性泛函， （),(0C的定义参

2、见七章例题讲例5） 。若 F 满足条件： 若),(0C且任意,0)(),(tt则称 F 是正的线性泛函，求证：),(0C上的正的线性泛函的连续的。证明任意复值函数f),(0C， 都可以写成xfiy,其中 x,y 是),(0C中的 实 值 函 数 ， |x|f且 |y| f. 而 实 值 函 数 又 可 以x=x-x， 其 中 0,max,0,maxxxxx均是),(0C中的非负函数，且.,xxxx同理yyyy,和y是非负函数，且yyyy,。若存在M0，使任意非负函数，( ),FM则F必有界事实上，任意0_(,),(),( )()()()()()()()()4fCfxxi yyF fF xF x

3、iF yiF yF xF xF yF yMf若F在0(,)C中的非负函数上是无界的，则存在非负函数nx0(,)C，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - nx12n，()1nF x1,2,n由于1nnnx，因此第七章例题选讲例3，1nnixx收敛。对 任意n，1nnixx是非负函数 ，1()0nniF xx，因此1( )()nniF xFxn，这样( )F x，此与F是0(,)C上定义的线性泛函矛盾，因此F必为有界的，证

4、毕。例 3设F是,C a b上正的线性泛函。求证：任意,x y,C a b，222()()().F xyFxFy证明（1）若x是,C a b中实函数， 则xxx，其中x，x是,C a b中非负函数，则( )()().F xFxFx是实数。（ 2） 若zxi y是,Ca b中 复 函 数 ， 其 中, x y是 实函 数， 则()( )()( )( )( )F zF xiFyF xiFyF z。（3）若, x y是,C a b中函数，我们来证明222()()()F xyFxFy。对任意复数，2220()()()()()FxiyFxF xyF xyFy不妨设2()Fy0，令2()()F xyFy代

5、入上式得22()()0()F xyF xFy因()()F xyF xy，得22()()()()()F xyF xy FxFyF xy证毕习题解答1，举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间。解设0C是收敛到 0 的数列全体组成的空间。若1,2,nxx xx，则supnxxA是定义0C上的算子，1211,2nAxxxxn。易验证A是有界的，且A1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 设1,1,1, 1,0,0nnx0

6、111,0,0,2nAxCn111,0,0,()2nAxnn1 11,2 3x，则x不属于A的值域。因此A的值域不是闭的线性子空间。2求1,1C线性泛函0110( )( )( )f xx t dtx t dt的范数。解由01011010( )( )( )( )( )2fxx t dtxf t dtxf t dtxf t dtx2f。设11,111,1,1 1,ntnxtnnttn n则1,1nxC，且1,1,2,xn0110()( )( )nf xx t dtx t dt101012(1)nnnt dtnt dtn1112(1)22nnn12n。由此，1()2nff xn。令n。2,f这样2f

7、。3 设 无 穷 阵,1, 2 ,iji aj满 足1supijija。 作l到l中 算 子 如 下 ： 若12,x，12,y，Txy，则1,1,2,iijjjai证明：1supijiiTa证明：设M1supijiia则若12,x，12,yTx，11supsupsup supsupniijjjijjiiijjjiTxyaaMM x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 因此TM对 任 意0， 存 在0i， 使01ni

8、jjaM。 设12,xx x， 其 中jx0()i jsign a,1,2,j则xl，且1x若0001211,nnii jji jjjyTxa xaM，因此supiiTxM由于是任意的，故TM，这样我们就证明了TM1supijia。证毕4.设1supnna，在(1)plp中定义线性算子：yTx，iia，1,2,3,i，其中,iinx，12,ny，证明T是有界线性算子，并且1supnnTa。证 明 ： 设1su pnnaM。 由supnnTxaM x。 对 任 意0， 存 在0na， 使0naM。设, ,iinx，其中若0in，则0i；而0snign0na。我们可验证Tx0nMx aM。由于的

9、任意性，得TM。于是TM。证毕5X是n维向量空间， 在X中任取一组基12,ne ee，uvt是nn矩阵，作X到X中算 子 如 下 ： 当1nvvvxx e时 ， 其 中uy1nuvvvtx,1,2,u， 若 向 量 的 范 数 为1221nvvxx。证明上述算子的范数满足112222111maxnnnuvuvvuuvtTt。证明：若1nvvvxx e，则2222222111111111nnnnnnnnnuvvuvvuvvuvuvuvuvvuvTxt xtxtxtx。所以12211nnuvuvTt。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

10、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 对 任 意v，1nvuvuuTet e。 于 是1221nvu vuTet， 所 以T1221nuvut。 因 此1221ma xnuvvutT。证毕6设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子， 若T的零空间是闭集，T是否一定有界？解：令0,1XY，其中0,1是0,1上多项式函数全体，视为C0,1的子空间T是X到Y的微分算子。若0Tf，则f是常值函数。显然常值函数全体是闭子集，但T是非有界的。 （见教材底一节例九）7作(1)plp中算子T如下：当12,pxx xl时，12

11、,Txy y，其中1nmnmmytx ,1,2, 3,n1111,1pqqmnnmtpq证明：T是有界线性算子。证明：若111111ppppmnmmnmnmnmTxtxtx，由 Holder 不等式，有1111111ppppppmnmmnmmnmmmmtxtxtx，因此111ppqqmnnmTxt。证毕8按范数maxjjx，12,nx成赋范线性空间，问nR的共轭空间是什么？解 记nR按范数maxix组成赋范线性空间为nR，nR按范数x1nii组成赋范线性空间为Y，我们来证明XY。定 义X到Y的映 射 。任 意fX，1,nTff efe，其 中0,0,1,0,0iie1,2,in。名师资料总结

12、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 对任意1niiixe，11maxnniiiiiifxfef eTfx于是fTf反之，对任意1nyY。定义fX：对任意1niiixe，1niiifx，则Tfy。因此T是X到Y的映射若y0,0，则显然0f，则0Tff。若1ny0,0令1niiixsigne，则x1因此ffx1niiyTf。从而Tff。于是T是从X到Y的同构映射。在同构的意义下XY。证毕9 设0C表 示 极 限 为0 的 实 数 列

13、全 体 ， 按 通 常 的加 法 和 乘 法 ， 以及supiix，12nx， ，构成Banach空间，证明：10Cl证明：令0 001 00nne， ， ，则0neC，1 2 3n， ，。对任意0fC，定义1,nTffefe ，。以下先证1Tfl，且Tff记1nnnnniiifesignxe，则nxC，且1nx，1 2n，111nnnniiiiiiiifxfe由于nnfxfxf。因此1niif，令n，1niif。这就证明了1Tfl，且Tff再证对任意12,ny，定义0C上线性泛函f：若12nx， ，则1niiifx，因此112,nnTffefey，。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 又因为11supnniiiiiiifxfxy因此0fC，且fyTf，于是Tff由以上证明可知。T是0C到1l上的同构映射。而在同构意义下，10Cl。证毕).|(|)(| )(|222yFxFyxF证毕名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -