2022年§.多元函数的极值 .pdf

《2022年§.多元函数的极值 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年§.多元函数的极值 .pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 6.6 多元函数的极值求具有二阶连续偏导数的二元函数的极值的步骤如下: 求出函数),(yxf的所有驻点由,0),(,0),(yxfyxfyx解得),(yxf的驻点),(00yx； 根据极值的充分条件判定驻点是否为极值点对每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数在该点的值000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC1当20BAC时，),(yxfz在点),(00yx取得极值),(00yxf，0A时为极大值，0A时为极小值；2当20ACB时，),(yxfz在点),(00yx不取极值；3当20BAC时，不能确定，需另作讨论。习题六（ A）22求下列函数的极值，并判断是极大

2、值还是极小值：（1）()zxy axy，(0)a；解： 求驻点22( , )()()2( , )()()2xxyyfx yxy axyy axyxyayxyyfx yxy axyx axyxyaxxyx由22( ,)20( , )20 xyfx yayxyyfx yaxxyx解得003003axxxxayyayay，或所以(0, 0), (0,)a, ( , 0)a, (,)33aa为()zxy axy的驻点；求二阶偏导数222( , )(2)2( ,)(2)22( ,)(2)2xxxxyyyyyfx yayxyyyfx yayxyyaxyfx yaxxyxx，名师资料总结 - - -精品资料

3、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 ),(00yxABC2BAC),(00yxf(0, 0)0ABa0C20a不取极值(0,)a2AaBa0C20a不取极值( , 0)a0ABa2Ca20a不取极值(,)3 3aa23aA3aB23aC203a3(,)3 327a aaf是极值，0a时为极大值，0a时为极小值（2）221zxyxyxy解： 求驻点2222( , )(1)12( , )(1)12xyyfx yxyxyxyxyfx yxyxyxyy

4、x由( ,)120( , )120 xyfx yxyfx yyx解得11xy，所以(1, 1)为221zxyxyxy的驻点；求二阶偏导数( , )(12)2( ,)(12)1( , )( 12)2xxxxyyyyyfx yxyfx yxyfx yyx，),(00yxABC2BAC),(00yxf(1, 1)20A1B2C30(1, 1)0f为极小值24某工厂生产甲、乙两种产品，产量各为x、y，其成本函数为22( , )23c x yxxyy。由市场调查得知， 甲、乙两种产品的单价与产量分别有如下关系：12363 ,405PxPy。 试名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

5、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 求甲、乙两种产品产量各为多少时总利润最大？并求出最大利润。解： 设 L 表示该工厂的利润，则12()( , )LPxP yc x y2222( , )(363 )(405 )(23)3644082LL x yx xy yxxyyxxyyxy。解方程组( , )36820( , )401620 xyLx yxyLx yyx，得唯一驻点（4, 2） 。根据问题的实际意义，L 必可取得最大值，因此这个最大值在（4, 2）处取得。于是该工厂的最

6、大利润为22max(4,2)36 44 440 28 22 4 2112LL( 元)。25某厂家生产某种产品的成本是每件2元，另外每月再花广告费A 元，则每月的销售量为0.00130(1)(22)AxeP，其中 P 为产品销售价格。求最合理的P 和 A 值，使得工厂的纯利润最大。解： 设 L 表示该工厂的利润，则L= x ( P - 2)- A0.00130(1)(22)(2)AePPA0.0012( ,)30(1)(2444)(00)ALL P AePPAAP，。解方程组0.0010.0012( ,)30(1)(224)0( ,)0.03(2444)10APAALP AePLP AePP，得

7、1201000ln 3PAA，或（舍去），得唯一驻点（12, 1000 ln3 ） 。根据问题的实际意义，L 必可取得最大值，因此这个最大值在（12, 1000 ln3 ）处取得。故当 P= 12,A=1000 ln3 时工厂的纯利润最大。求函数),(yxfz在条件0),(yx的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxL，其中为某一常数；(2) 由方程组0),(, 0),(),(,0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx解出, yx，其中驻点( , )x y就是所求条件极值的可能的极值点。注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要

8、条件，因此按照这种方法求出来的点是否为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 极值点，还需要加以讨论。不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点。习题六（ A）26某工厂生产A、B 两种产品， A 产品每件纯利6 元， B 产品每件纯利4 元，制造 x 件产品与 y 件产品的成本函数为2( , )10 0006000 xc x yxy，而该厂每日的制造预算是 20 000 元。问应如何分配

9、A、B 两种产品的生产，使利润最大？解一： 设该厂每日生产x 件 A 产品、 y 件 B 产品。设 L 表示该工厂的利润，则( , )64(0,00)LL x yxyxyxy且。因此问题就是在条件21000020 0006000 xxy，即21000006000 xxy下，求函数( , )64(0,00)LL x yxyxyxy且的最大值。作拉格朗日函数2( , , )64(10000)6000 xL x yxyxy，求 L 的驻点，即解方程组2( , ,)6(1)03000( , ,)40( , ,)1000006000 xyxLx yLx yxLx yxy150048125xy，得唯一驻点

10、（1500, 8125）所以这个驻点就是所求的解。即该厂每日生产1500 件 A 产品、 8125 件 B 产品时利润最大。最大利润为(1500 8125)6 15004812541500L，（元） 。解二： 设该厂每日生产x 件 A 产品、 y 件 B 产品。设 L 表示该工厂的利润，则( , )64(0,00)LL x yxyxyxy且。因此问题就是在条件21000020 0006000 xxy，即21000006000 xxy下，求函数( , )64(0,00)LL x yxyxyxy且的最大值。化为无条件极值求解。把2100006000 xyx代入( , )64L x yxy得2( ,

11、 )64(10000)6000 xLL x yxx，即2( )240 0001500 xLL xx令2( )201500 xxLL x，得唯一驻点1500 x。根据问题的实际意义，L 必可取得最大值，因此这个最大值在1500 x处取得，此时2150010000150081256000y。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 于是该厂每日生产1500 件 A 产品、 8125 件 B 产品时利润最大，最大利润为21500(1500)2 150040000415001500L（元）或(1500 8125)6 15004 812541500L，（元） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -