2022年《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解 2.pdf

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1、一元二次方程全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1. 了解一元二次方程及有关概念；2. 掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；3. 掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数( 一元 ) ，并且未知数的最高次数是2( 二次 ) 的整式方程，叫做一元二次方程2.一元二次方程的一般式：3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则

2、一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0要点二、一元二次方程的解法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 1基本思想一元二次方程降次一元一次方程2基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能

3、否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42.（1）当 0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根；（2）当 =0 时，一元二次方程有2 个相等的实数根；（3）当 0 时，一元二次方程没有实数根. 【高清 ID 号： 388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx ，那么abxx21，acxx21

4、. 注意它的使用条件为a0， 0. 要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2) 根据参系数的性质确定根的范围；(3) 解与根有关的证明题 2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1) 已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2) 已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3) 已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程要点四、列一元二次方程解应用题1. 列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 2. 利用方程解决

5、实际问题的关键是寻找等量关系.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3. 解决应用题的一般步骤：审 ( 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等) ；设 ( 设未知数，有时会用未知数表示相关的量) ；列 ( 根据题目中的等量关系，列出方程) ；解 ( 解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰) ；验 ( 检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 ( 写出答案，切忌答非所问). 4. 常见应用题型数字问题、平均变化率问

6、题、利息问题、利润( 销售 ) 问题、形积问题等. 要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1已知（ m 1）x|m|+1+3x20 是关于 x 的一元二次方程，求m的值 . 【答案与解析】依题意得 |m|+1 2，即 |m| 1，解得 m 1，又 m 10，m 1，故 m 1. 【总结升华】 依题意可知m 10 与|m|+1 2 必须同时成立， 因此求出满足上述两个条件的m的值即可 . 特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式 】若方程2(2)310mmxm

7、x是关于x的一元二次方程，求m的值【答案】根据题意得22,20,mm解得所以当方程2(2)310mmxmx是关于x的一元二次方程时，2m类型二、一元二次方程的解法2解下列一元二次方程 (1)224(3)25(2)0 xx； (2)225(3)9xx； (3)2(21)4(21)40 xx【答案与解析】 (1)原方程可化为：222(3)5(2)0 xx，即(2x-6)2-(5x-10)20，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - -

8、- - (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)0，即(7x-16)(-3x+4)0， 7x-160 或-3x+4 0，1167x，243x (2)25(3)(3)(3)xxx，25(3)(3)(3)0 xxx， (x-3)5(x-3)-(x+3)0，即(x-3)(4x-18)0， x-30 或 4x-18 0，13x，292x(3)2(21)4(21)40 xx，2(212)0 x即2(23)0 x，1232xx【总结升华】 (1) 方程左边可变形为222(3)5(2)xx，因此可用平方差公式分解因式；(2) 中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的 (x-3)2有公共的因

9、式，可移项后提取公因式(x-3) 后解题；(3) 的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)20 再求解举一反三：【变式 】解方程： (1)3x+15-2x2-10 x ； (2)x2-3x (2-x)(x-3)【答案】(1) 移项，得3x+15+(2x2+10 x) 0， 3(x+5)+2x(x+5)0，即(x+5)(3+2x)0， x+5 0 或 3+2x0，15x，232x (2)原方程可化为x(x-3) (2-x)(x-3)，移项， x(x-3)-(2-x)(x-3)0， (x-3)(2x-2)0， x-30 或 2x-2 0，13x，21x类型三、一元二次方程根的判别

10、式的应用3关于 x 的方程2(5)410axx有实数根则a 满足（）Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da5 【答案】 A；【解析】 当50a，即5a时，有410 x，14x，有实数根；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 当50a时，由 0 得2( 4)4(5)( 1)0a，解得1a且5a综上所述，使关于x 的方程2(5)410axx有实数根的a 的取值范围是1a答案： A 【总结升华】 注意“关于 x 的

11、方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0【高清 ID 号： 388528 关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的根的判别式】4k为何值时，关于x 的二次方程2690kxx（1）k满足时, 方程有两个不等的实数根；（2）k满足时, 方程有两个相等的实数根；（3）k满足时, 方程无实数根 . 【答案】（1）10kk，且； （ 2）1k； （3）1k. 【解析】 求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】 根据判别式acb42及 k0 求解 .类型四、一元二次方程的根与系数的关系5已知关于

12、x 的方程222(2)0 xmxm，试探求：是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案与解析】存在设方程两根为x1、x2，根据题意，得122(2)xxm，212xxm，221256xx，而222121212()2xxxxx x，于是有222(2)256mm，整理得28200mm，解这个方程得110m，22m，当10m时，2224 2(2)41440bacmm，当2m时，2224 2(2)4480bacmm，所以符合条件的m的值为 -2 【总结升华】 由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证 m值

13、是否符合题意，从而得出结论. 举一反三：【变式 】已知关于x 的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根1x、2x (1)求 k 的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 请说明理由【答案】 (1) 根据题意，得(2k-3)2-4(k-1)(k+1)224129412130kkkk，所以1312k由 k-1 0

14、，得 k1. 当1312k且 k1 时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在如果方程的两个实数根互为相反数，则122301kxxk，解得32k当32k时，判别式-5 0，方程没有实数根所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1 小时后，乙才出发，又经过4 小时两人在途中的 C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进. 乙在由 C地到达 A地的途中因故停了20 分钟，结果乙由 C地到达 A地时比甲由C地到达 B地还提前了40 分钟，已知乙比甲每小时多行驶4 千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为

15、x 千米/ 时，则乙的速度为（x+4）千米 / 时. 根据题意，得54(4)2040460 xxxx解之 , 得 x1=16，x2=2. 经检验： x1=16，x2=2 都是原方程的根，但x2=2 不合题意，舍去. 当 x=16 时， x+4=20. 答：甲每小时行驶16 千米，乙每小时行驶20 千米 .【总结升华】 注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式 】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2. 求： (1) 该工程队第一天拆迁的面积；(2) 若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数. 【答案】（1）1000m2； （2）20% .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -