2022年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第五节二次函数的图象及性质试题 .pdf

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1、1 第五节二次函数的图象及性质, 怀化七年中考命题规律) 年份题型题号考查点考查内容分值总分2016选择7 二次函数的性质根据二次函数的表达式判断顶点和开口方向4 解答22 二次函数的综合题二次函数与三角形的综合应用8 12 2015填空11 二次函数的性质根据二次函数的表达式求它的顶点坐标和对称轴4 4 2014解答24 二次函数的图象和性质(1) 以射线扫过的面积为背景，经过平移确定二次函数的关系式；(2) 二次函数与三角形综合求符合条件的点的坐标10 10 2013选择3 二次函数的概念以选择题形式判断二次函数3 解答24 二次函数的图象和性质二次函数与方程的关系，二次函数与反比例函数的

2、综合应用10 13 2012解答24 二次函数的图象和性质二次函数与圆的综合应用，二次函数的表达式和性质10 10 2011解答24 二次函数的图象和性质二次函数、反比例函数、相似形、勾股定理的综合应用8 8 2010解答26 二次函数的图象和性质(1) 求二次函数与 x 轴的交点坐标； (2) 求符合条件点的坐标；10 10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 (3) 二次函数与一次函数的综合应用命题规律纵观

3、怀化七年中考，每年都涉及到此考点，在选择题、填空题、解答题中均有所呈现，但主要以解答题形式呈现，且与圆、相似形、一元二次方程，解直角三角形等综合一起，难度较高，往往是最后的压轴题命题预测预计 2017年怀化中考中，仍然会考查此考点， 以解答题呈现的可能性较大，基础题目也可能出现，应强化二次函数的图象和性质的综合训练. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 , 怀化七年中考真题及模拟) 二次函数的图象及性质(3 次

4、) 1( 2016 怀化中考 ) 二次函数 yx22x3 的开口方向、顶点坐标分别是( A) A开口向上，顶点坐标为( 1，4) B开口向下，顶点坐标为(1 ，4) C开口向上，顶点坐标为(1 ，4) D开口向下，顶点坐标为( 1，4) 2( 2013 怀化中考 ) 下列函数是二次函数的是( C) Ay2x1 By 2x1 Cyx22 Dy12x2 3( 2015 怀化中考 ) 二次函数 yx22x 的顶点坐标为 _( 1， 1)_ ，对称轴是直线_x 1_二次函数的图象及性质的综合应用(3 次) 4( 2016 怀化二模 ) 在同一坐标系中，一次函数yax1 与二次函数yx2a 的图象可能是

5、 ( C) ,A) ,B) ,C) ,D) 5( 2014 怀化中考 ) 如图 1，在平面直角坐标系中，AB OB 8， ABO 90， yOC 45，射线 OC以每秒2 个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点 B 时停止运动，设平行移动x s后，射线OC扫过RtABO的面积为y. (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 当 x 3 s时，射线OC平行移动到O C，与OA相交于 G ，如图 2，求经过G ，O，B三点的抛物线的表达式；(3) 现有一动点P在(2) 中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积 S8 的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请

6、说明理由解：(1) AB OB ， ABO 90， ABO 是等腰直角三角形，AOB 45， yOC 45， AOC (90 45) 45 90， AO CO ， CO是 CO平移得到，AO CO， OO G 是等腰直角三角形，射线OC的速度是每秒2 个单位长度，OO 2x，y122 2x2 xx2；(2) 当 x3 s时， OO 2336，123 63，点 G的坐标为 (3 ，3) ，设抛物线表达式为yax2bx，则9a3b3，64a8b0，解 得a15，b85，抛物线的表达式为y15x285x；(3) 设点 P 到 x 轴的距离为h，则 SPOB123 8h8，解得h2. 当点 P 在 x

7、 轴上方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 时，15x285x2，整理得， x28x100，解得x146，x246，此时，点P 的坐标为 (4 6，2) 或(4 6，2) ；当点P 在 x 轴下方时，15x285x 2，整理得， x28x10 0，解得x1426，x2 426，此时，点P 的坐标为 (4 26， 2) 或(4 26， 2) ，综上所述，存在点P 的坐标为 (4 6，2) 或(46，2) 或(4

8、26， 2) 或(4 26， 2) ，使POB的面积 S8. 6( 2013 怀化中考 ) 已知函数 ykx22x32(k 是常数 ) (1) 若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求k 的值；(2) 若点 M(1，k) 在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数ykx22x32都是 y 随 x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；(3) 设抛物线ykx22x32与 x 轴交于 A(x1，0) ，B(x2，0) 两点，且x1x2，x21x221，在 y 轴上，是否存在点 P，使ABP是直角三角形？若存在，求出点P及ABP的面积；若不存在，请说明理由解：(1) 当 k0 时

9、，函数y 2x32的图象与 x 轴只有一个交点；当k0 时，若函数ykx22x32的图象与x 轴只有一个交点，则方程kx22x320 有两个相等的实数根，( 2)24k3320，即k23. 综上所述，若函数的图象与x 轴只有一个交点，则k 的值为 0 或23；(2) 设反比例函数为ymx，则 km1，即 m k. 所以，反比例函数为ykx，要使该反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大，则k0，二次函数ykx22x32k(x 1k)21k32的对称轴为x1k，要使二次函数ykx22x32是 y 随着 x 的增大而增大，在k0 的情况下， x必须在对称轴的左边，即x1k时，才能使得y

10、随着 x 的增大而增大，综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，k0 且 x0，即 k23，又x1x22k，x1x232k，x21x221.k23k40， k 4 或 k1. 又k23， k 4，在y 轴上，设P(0，b)是满足条件的点，则(b2x21) (b2x22) (x2x1)2，b2 x1x2， |b|64， b64，(x2x1)22b2x21x222338174， x2x172， SRtABP12(x2x1)3|b| 123723644216，在 y 轴上，存在点P1(0 ，64) ，P2(0 ，64)，使ABP是直角三角形，ABP的面积为4216. 7

11、( 2010 怀化中考 ) 下图是二次函数y(x m)2k 的图象，其顶点坐标为M(1， 4) (1) 求出图象与x 轴的交点 A，B的坐标；(2) 在二次函数的图象上是否存在点P，使S PAB54S MAB，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线yxb(b1) 与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

12、第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 解：(1) M(1， 4) 是二次函数y(x m)2k 的顶点坐标，y(x 1)24x22x3，令x22x30，解得 x1 1，x23， A 、B 两点的坐标为A(1，0)，B(3，0)；(2) 在二次函数的图象上存在点P，使 SPAB54SMAB，设 P(x，y) ，则 SPAB12|AB| 3 |y| 2|y| ，又 SMAB12|AB| 3| 4| 8，2|y| 543 8，即 y5，二次函数的最小值为4， y5，当 y5 时 x 2 或 x4，故点 P 的坐标为 ( 2，5) 或(4，5) ；(3) 当直线 yxb(b1

13、) 经过 A 点时可得 b1，当直线 yxb(b1) 经过 B点时，可得b 3，由图象可知符合题意的b 的取值范围为 3b1. , 中考考点清单 ) 二次函数的概念及表达式1定义：一般地，如果两个变量x 和 y 之间的函数关系可以表示成yax2bx c(a ，b，c 是常数，且a0)，那么称y 是 x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项2三种表示方法：(1) 一般式： yax2bxc(a 0)；(2) 顶点式： ya(x h)2k(a 0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k) ；(3) 两点式： ya(x x1)(x x2)(a 0)，其中x1，x2为抛

14、物线与x 轴交点的横坐标3三种表达式之间的关系顶点式 确定一般式分解因式两点式4二次函数表达式的确定(1) 求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；A当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式yax2bxc 形式；B当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式ya(x h)2k 形式；C当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式ya(x x1)(x x2) (2) 步骤：设二次函数的表达式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

15、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 二次函数的图象及其性质5图象性质函数二次函数 yax2bxc(a ，b，c 为常数，a0)图象对称轴直线 x _b2a_ 直线 xb2a顶点坐标( b2a，4acb24a) ( b2a，4acb24a) 续表函数二次函数 yax2bxc(a ，b，c 为常数， a0) 增减性在对称轴的左侧，即xb2a时， y 随 x 的增大而增大，简记为左减右增在对称轴的左侧，即当xb2a时，y 随 x 的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，

16、当_xb2a_时， y 有最小值， y最小值4acb24a抛物线有最高点，当xb2a时，y 有最大值， y最大值 _4acb24a_ 6. 系数 a，b，c 与二次函数的图象关系项目字母字母的符号图象的特征a a0 开口向上a0(b 与 a 同号 ) 对称轴在 y 轴左侧ab0 与 y 轴正半轴相交c0，即 x1 时， y0 若 abc0，即 x 1 时， y0 二次函数图象的平移7平移步骤：(1) 将抛物线表达式转化为顶点式ya(x h)2k，确定其顶点坐标；(2) 保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h ，k) 即可8平移规律：移动方向平移前的表达式平移后的表达式规律向左平ya(x h)2

17、k ya(x hm)2k 左加名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 移 m个单位向右平移 m个单位ya(x h)2k ya(x hm)2k 右减向上平移 m个单位ya(x h)2k ya(x h)2km 上加向下平移 m个单位ya(x h)2k ya(x h)2km 下减口诀：上加下减常数项、左加右减自变量 . 二次函数与一元二次方程的关系9当抛物线与x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个

18、不相等的实数根10当抛物线与x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根11当抛物线与x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根12yax2bx c，ax2bxc0 与 b24ac 的关系：yax2bxc 与 x 轴的交点个数ax2bxc0根的情况b24a 的值的情况2 有两个不相等实数根b24ac0 1 有两个相等实数根b24ac0 无交点没有实数根b24ac0 有交点有实数根b24ac0, 中考重难点突破) 二次函数的图象及性质【例 1】二次函数yax2bxc(a0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( ) A函数有最小值B对称轴是直线x12

19、C当 x12，y 随 x 的增大而减小D当 1x0 【解析】A. 由抛物线的开口向上，可知a0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B. 由图象可知，对称轴为x12，正确，故B选项不符合题意；C. 因为 a0，当 x12时，y 随 x 的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D. 由图象可知，当1x2 时，y0 B该抛物线的对称轴是直线x1 C当 x 3 与 x5 时，y 值相等D若 y0，则 1x0；abc2.其中，正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【解析】本题考查二次函数图象的性质以及与系数a、b、c 的关系由图可知三个结论都正确，下面对三个结论一一证明：序号正误逐项分析

20、二次函数y ax2bxc 的图象与 x 轴有两个不同的交点，b24ac0 抛物线的开口向下，a0，b0，抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴， c0，abc2 时，抛 物线与 x 轴没有交点一元二次方程ax2bxcm 0 没有实数根二次函数yax2bxcm中，m2 【学生解答】D2( 2016 枣庄中考 ) 已知二次函数yax2bxc(a 0)的图象如图所示，给出以下四个结论：abc0，abc0， ab， 4acb20；其中正确的结论有( C) A1 个B2 个C3 个D4 个二次函数表达式的确定【例3】( 2015 宁波中考 ) 如图，已知二次函数yax2bxc 的图象过A(2，0) ，B(0

21、， 1) 和 C(4，5) 三点(1) 求二次函数的表达式；(2) 设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D，求点 D的坐标；(3) 在同一坐标系中画出直线yx1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 【解析】 (1) 根据二次函数yax2bxc 的图象过A(2，0)，B(0，1) 和 C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c 的三元一次方程组，求得a，b，

22、c，从而得出二次函数的表达式；(2) 令 y0，解一元二次方程，求得x 的值，从而得出与x 轴的另一个交点坐标；(3) 画出图象，再根据图象直接得出答案【学生解答】解： (1) 二次函数yax2bx c 的图象过A(2 ，0) ， B(0 ， 1) 和 C(4 ，5) 三点，4a2bc0，c 1，16a4bc5.， a12，b12，c 1，二次函数的表达式为y12x212x1；(2) 当 y0 时，得12x212x10，解得x12，x2 1，点A 的坐标为 (2 ，0) ，点 D 的坐标为 ( 1，0) ；(3)y x1，图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是1x0) 个

23、单位得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在ABC内，求 n 的取值范围；(3) 设点 P在 y 轴上，且满足 OPA OCA CBA ，求CP的长解： (1)y 13x223x5；(2) y13x223x513(x 1)2513，依题意得平移后的抛物线表达式为y13(x 1n)21，平移后抛物线的顶点为(1 n，1) ，易求得直线BC 的表达式为yx5，令 y1，则 x51， x4， 1n0， 0n3；(3) 当 P在 y 轴负半轴上求得CP 17. 当 P在 y 轴正半轴上求得CP 7，CP17 或 7. 4( 2016 保定模拟 ) 如图，已知抛物线yx2bxc 与一直线相交于A(1，0) ，

24、C(2，3) 两点，与 y 轴相交于点 N，其顶点为D. (1) 求此抛物线的表达式及顶点的坐标；(2) 求直线 AC的表达式；(3) 设点 M(3，m)，求使 MN MD的值最小时m的值；(4) 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点 B，直接写出抛物线左右平移多少个单位时过点B ；上下平移多少个单位时过点B. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 解： (1) 抛物线的表达式为 y x22x3，顶点D(1，4)

25、 ；(2)y x1；(3)m 185；(4) 抛物线向左或向右平移2个单位，经过点B，抛物线向下平移2 个单位，经过点B. 5( 2016 永州模拟 ) 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，1) 三点. (1) 求该抛物线的表达式；(2) 点 Q在 y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P的坐标解： (1)y 13x223x1；(2) 当 AB为边时，只要PQ AB ，且 PQ AB 4 即可，又知点Q在 y 轴上，点P的横坐标为4 或4. 当 x4 时，y53，当 x 4 时， y7. P1(4 ，53)，P2( 4，7)；当 AB为对角线时，只要线段 PQ与线段 AB互相平分即可，又知点Q在 y 轴上，且线段AB中点的横坐标为1，点 P 的横坐标为2，这时符合条件的点P只有一个，当x2时， y 1， P3(2， 1) 综上： P1(4 ，53) ，P2(4，7) ，P3(2， 1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -