2022年线性代数模拟题 .pdf

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1、. . 线性代数模拟题A 一单选题 . 1.下列（A ）是 4 级偶排列（A） 4321；(B) 4123；(C) 1324；(D) 23412. 如果1333231232221131211aaaaaaaaaD，3332313123222121131211111324324324aaaaaaaaaaaaD，那么1D（B ） （A） 8；(B) 12；(C) 24；(D) 243. 设A与B均为nn矩阵，满足OAB，则必有（C ） （A）OA或OB；（B）OBA；（C）0A或0B；（D）0BA4. 设A为n阶方阵)3(n， 而*A是A的伴随矩阵， 又k为常数，且1,0k，则必有*kA等于（B ）

2、 （A）*kA；（B）*1Akn；（ C）*Akn；（D）*1Ak5.向量组s,.,21线性相关的充要条件是（C ）（A）s,.,21中有一零向量(B) s,.,21中任意两个向量的分量成比例(C) s,.,21中有一个向量是其余向量的线性组合(D) s,.,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知21,是非齐次方程组bAx的两个不同解，21,是0Ax的基础解系，21,kk为任意常数，则bAx的通解为（B ）(A) 2)(2121211kk; (B) 2)(2121211kk(C) 2)(2121211kk; (D) 2)(2121211kk7. 2 是 A 的特征值，则（A2/3）

3、1的一个特征值是（B ）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4 8. 若四阶矩阵A与 B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式 |B-1-I|=( B ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . (a)0 (b)24 (c)60 (d)120 9. 若A是（A ） ，则A必有AA（A）对角矩阵；(B) 三角矩阵；(C) 可逆矩阵；(D) 正交矩阵10. 若A为可逆矩阵，下

4、列（A ）恒正确（A）AA22；(B) 1122AA；(C) 111)()(AA；(D) 111)()(AA二计算题或证明题1. 设矩阵3241223kkA(1) 当 k 为何值时，存在可逆矩阵P，使得 P1AP为对角矩阵？(2) 求出 P及相应的对角矩阵。参考答案：2. 设 n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为，A*是 A 的伴随矩阵，设|A|=d，证明： d/是A*的一个特征值。参考答案：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - -

5、 - - . . 3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解23213213211aaxxxaxaxxxxax参考答案：. 当1, 2a时有唯一解：212311(1),222aaxxxaaa当1a时，有无穷多解：11221321xkkxkxk当2a时，无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示0211,6512,14703,2130,421154321参考答案：极大无关组为：124,a aa，且3123aaa，5124aaaa5. 若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：BAAB是对称矩阵参考答案：名师资料总结 - - -精品资料

6、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 线性代数模拟题B 一单选题 . 1. 若)541() 1(lkN55443211aaaaalk是五阶行列式ija的一项，则k、l的值及该项符号为（A ） （A）2k，3l，符号为负；(B) 2k，3l符号为正；(C) 3k，2l，符号为负；(D) 1k，2l，符号为正2. 下列行列式（A ）的值必为零(A) n阶行列式中，零元素个数多于nn2个；(B) n阶行列式中，零元素个数小于nn2个；(C) n阶

7、行列式中，零元素个数多于n个；(D)n阶行列式中，零元素的个数小于n个3. 设A，B均为n阶方阵，若22BABABA，则必有（D ） （A）IA；(B)OB；(C)BA；(D)BAAB4. 设A与B均为nn矩阵，则必有（C ） （A）BABA；（B）BAAB；（C）BAAB；（D）111BABA5. 如果向量可由向量组s,.,21线性表出，则（D ）(A) 存在一组不全为零的数skkk,.,21，使等式sskkk.2211成立(B) 存在一组全为零的数skkk,.,21，使等式sskkk.2211成立(C) 对的线性表示式不唯一(D) 向量组s,.,21线性相关6. 齐次线性方程组0Ax有非零

8、解的充要条件是（C ）(A) 系数矩阵A的任意两个列向量线性相关(B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关(C )必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设 n 阶矩阵 A 的一个特征值为，则 (A1)2I 必有特征值（C ）(a)2+1 (b)2-1 (c)2 (d)-28. 已知00000123aA与对角矩阵相似，则a（A ）(a) 0 ; (b) 1 ; (c) 1 ; (d) 29. 设A，B，C均为n阶方阵，下面（D ）不是运算律名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

9、心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . （A）ABCCBA)(；（B）BCACCBA)(；（C）)()(BCACAB；（D）BACCAB)()(10. 下列矩阵（B ）不是初等矩阵(A)001010100； （B）010000001； （ C）100020001； （D）100210001二计算题或证明题（1. 已知矩阵 A，求 A10。其中2101A参考答案：10101010122A2. 设 A为可逆矩阵， 是它的一个特征值，证明：0 且-1是 A-1的一个特征值。参考答案：3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有

10、无穷多解？有解时，求其解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 223321321321axxxxaxxaxxax参考答案：当1, 2a时有唯一解：123133,222axxxaaa当1a时，有无穷多解：11221322xkkxkxk当2a时，无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示2001,1211,1111,43214321参考答案：极大无关组为：234,aaa，且1234

11、aaaa5. 若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明ATT1是对称矩阵参考答案：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 线性代数模拟题C 一单选题 . 1. 设五阶行列式ijam，依下列次序对ija进行变换后，其结果是（C ） 交换第一行与第五行，再转置，用2 乘所有的元素，再用-3 乘以第二列加于第三列，最后用 4 除第二行各元素（A）m8；(B)m3；(C)m8；(D)m412. 如果方程组050403zykx

12、zyzkyx有非零解，则（D ） （A）0k或1k； （B）1k或2k； （C）1k或1k； （D）1k或3k3. 设A，B，C，I为同阶矩阵， 若IABC，则下列各式中总是成立的有（A ） （A）IBCA；(B) IA C B；(C) IBAC；(D) IC B A4. 设A，B，C为同阶矩阵，且A可逆，下式（A ）必成立（A）若ACAB，则CB；(B) 若CBAB，则CA；(C) 若BCAC，则BA；(D) 若OBC，则OB5. 若向量组s,.,21的秩为r，则（D ）（A）必定 rs (B) 向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关(C )向量组中任意r个向量线性无关(D)向量组中任意个

13、1r向量必定线性相关6. 设向量组321,线性无关，则下列向量组线性相关的是（C ）(A) 133221,; (B) 123211,; (C) 133221,; (D) 1332213,2,. 7. 设 A、B为 n 阶矩阵，且A与 B相似， I 为 n 阶单位矩阵，则（ B ） (a)I-A I-B (b)A与 B有相同的特征值和特征向量 (c)A与 B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与 kI-B 相似（ k 是常数）8. 当（ C ）时， A为正交矩阵，其中cbaA0(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0

14、. 9. 已知向量组4321,线性无关，则向量组（C ）(A) 14433221,线性无关 ; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . (B) 14433221,线性无关 ; (C) 14433221,线性无关 ; (D) 14433221,线性无关 . 10. 当A（B ）时，有A321321332211321321321333cccbbbcacacacccbbbaaa（A）103010001； （B）100

15、010301； （C）101010300； （D）130010001二计算题或证明题1. 设 AB,试证明(1)Am Bm(m为正整数 )（2）如 A可逆，则B也可逆，且A1B1 参考答案：2. 如 n 阶矩阵 A满足 A2=A，证明： A的特征值只能为0 或-1 。参考答案：3. 当a、b 取何值时， 下列线性方程组无解、有唯一解、 有无穷多解？有解时，求其解bxxxxaxxxxxxxxxxx4321432143243215311222参考答案：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

16、- - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 当 a=0, b = 2 时有解12212314211xkxkkxkxk4. 判断向量能否被321,线性表出，若能写出它的一种表示法10738，1365,2053,3172321参考答案 ：不能被123,线性表示。5. 若方阵A可逆，则A的伴随矩阵*A也可逆，并求出*A的逆矩阵参考答案：证明，11(*)|AAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - -

17、- - . . 离散数学试卷（参考答案）一、选择题1、设8,7,6,5, 4,3 ,2 , 1A，下列选项正确的是： （ 3）（ 1）A1（2）A 3 ,2, 1（3）A5 ,4（4）A2、对任意集合CBA,，下述论断正确的是： （1）（ 1）若CBBA,，则CA（2）若CBBA,，则CA（ 3）若CBBA,，则CA（4）若CBBA,，则CA3、假设,cbaA上的关系如下，具有传递性的关系是：（4）（ 1）,abbaaaacca（ 2）,aaacca（ 3）,acca（ 4）,ca4、非空集合A上的空关系R不具备下列哪个性质： （1）（ 1）自反性（ 2）反自反性（3） 对称性（4）传递性5、

18、假设,cbaA，2, 1B，令：BAf :，则不同的函数个数为：（2）（ 1）2+3 个（2）32个（3）32个（4）23个6、假设,cbaA，2, 1B，下列哪个关系是A到B的函数：（3）（ 1）2,1 ,2,1 ,2,1 ,ccbbaaf（ 2）,ccacbbabbaaaf（ 3）1 ,2,1 ,cbaf（ 4）, 1,2, 1cbaf7、一个无向简单图G有m条边，n个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）（ 1）2m（2）2n（3）m2（4）n28、一个图是欧拉图是指：（1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

19、精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . （ 1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（ 2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（ 3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（ 4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。9、下面哪一种图不一定是树：（3）（ 1）无回路的连通图（2）有n个顶点1n条边的连通图（ 3）每一对顶点之间都有通路（4）连通但删去一条边则不连通的图.10、完全m叉树中有l片叶，i个分支点，则有它们之间的关系表达式是：（2）（ 1）1li（2）lim1)1(（3）lim) 1(

20、（4）1)1(ilm二、填空题1、假设,30|2整数xxxA，20|xxxB是素数， 5, 3, 1C（ 1）CBA)(1 ，2，3，5；（ 2）CAB)(1，3，5，7，11， 13，17，19 ；（ 3）)()(ABAC7 ，11，13，19；（ 4）ACB)(；2、假设4,3 ,2, 1A上的关系2, 1R，则：（ 1）)(Rr,；（ 2）)(Rs, ；（ 3）)(Rt ；3、设无向图G有 12 条边，有 3 个 3 度的顶点，其余顶点度数均小于3，则G中至少有11 个顶点。4、一棵树有2 个 2 度顶点， 1 个 3 度顶点， 3 个 4 度顶点，则有9 片叶。5、假设P：我有时间，Q

21、：我去图书馆。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . （ 1）命题“如果我有时间，我就去图书馆”符号化为QP；三、假设 A、 B 是任意两个集合，证明：)()()(BABA。证明：对)()(BpApX则)(ApX或者)(BpX由幂集定义可知：AX或者BX所以BAX因此)(BApX故)()()(BABA四、假设 N 是自然数集合，定义0N上的二元关系 R,0,|,是偶数yxNyxyxR。证明： R是一个等价关系

22、，并求出关系R所确定的等价类。证明： （1）对 0Nx，则xx是偶数，所以R是自反的；对 0,Nyx，假设Ryx,，则yx是偶数，而xy也是偶数所以Rxy,，故R是对称的；对0,Nzyx，假设Ryx,，Rzy,则有yx，zy是偶数；若x是偶数，由于zy是偶数 ，所以z也是偶数，则zx是偶数若x是奇数，由于yx是偶数 ，所以y是奇数，又因为zy是偶数，所以z是奇数 ，因此zx是偶数所以R是传递的。综上R是等价关系。（2）当x是偶数时，y0y|是偶数并且NyxR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

23、 - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 当x是奇数时，y0y|是奇数并且NyxR五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse图，并写出最大元，最小元，极大元，极小元。（1）36,24,12,6 ,3 ,21A（2）45,15,9,5 ,3, 12A（3）16,8,4,23A解： （1）没有最大元和最小元；极大元是24,36。（2）最大元和极大元是45，最小元和极小元是1。（3）最大元和极大元时16，最小元和极小元是2。1 68 4 2 4 51 59 5 3 1 3 3 62 41 26 2 （1）（2）（3）六、令 V = a, b

24、, c, d, e, E = aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de ，A = , , , 做出图 G = 和 D = 的图示。解：e c a b d e b a c d （2）（1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 离散数学模拟卷2 参考答案一、选择题1、请指出下列选项中哪一个是错误的：（2）（1）（2）（3）（4）2、对任意集合CBA,，下述论断正确的是： （1）（1）若CBB

25、A,，则CA（2）若CBBA,，则CA（3）若CBBA,，则CA（4）若CBBA,，则CA3、假设,cbaA上的关系,accabaaaR，那么，R是： （4）（1）反自反的（2）反对称的（3） 可传递的（4）不可传递的4、非空集合A上的空关系R不具备下列哪个性质： （1）（1）自反性（2）反自反性（3） 对称性（4）传递性5、若CBgBAf:,:是满射函数，则复合函数fg必是：（3）（1）双射函数（2）单射函数（3）满射函数（4）不单射也不满射6、假设,cbaA，2, 1B，下列哪个关系是A到B的函数：（3）（1）2,1 ,2,1 ,2,1 ,ccbbaaf（2）,ccacbbabbaaaf（

26、3）1 ,2,1 ,cbaf（4）, 1, 2,1cbaf7、一个无向简单图G有m条边，n个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）（1）2m（2）2n（ 3）m2（4）n28、一个图是哈密顿图是指：（3）（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - -

27、- - - - - . . 9、一棵树有2 个 2 度顶点， 1 个 3 度顶点， 3 个 4 度顶点，则其1 度的顶点数为： （2）（1）5 （2） 7 （3）8 （4）9 10、完全m叉树中有l片叶，i个分支点，则有关系式是：（2）（1）1li（2）lim1)1(（3）lim)1(（4）1)1(ilm二、填空题1、假设,cbaA，,cbaB试求出：A的幂集)(A,a,b,c,a,b,c；2、假设,30|2正整数xxxA，20|xxxB是正奇数，5,3 , 1C（ 1）)()(ABAC7,9,11,13,15,17,19 ；（ 2）ACB)(；3、假设4,3 ,2, 1A上的关系3,2R，则

28、：（ 1）)(Rr,；（ 2）)(Rs, ；（ 3）)(Rt ；4、假设 3 ,2, 1A，hgf,是A到A的函数，其中： （a）1)3()2() 1(fff； （b）1)1(g，3)2(g，2)3(g； （c）3)1 (h，1)3()2(hh；则：（ 1）g 是满射；（2）g 是双射；5、设无向图G有 36 条边，有6 个 3 度的顶点，其余顶点度数均小于3，则G中至少有33个顶点。6、假设P：今天天气好，Q：我就去锻炼身体。（ 1）命题“如果今天天气好，我就去锻炼身体”符号化为PQ ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

29、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 三、假设 A、 B 是任意两个集合，证明：)()()(BABA。证明：对)()(BpApX，则)(ApX且)(BpX所以AX并且BX由交集的定义，则BAX所以)(BApX因此)()()(BApBpAp反之，假设)(BApX则BAX所以AX并且BX所以)(ApX且)(BpX由交集定义，则)()(BpApX故)()()(BpApBAp综上)()()(BABA四、 证明定义在实数集合R上的关系3,|,是整数yxRyxyxS是一个等价关系。证明：对Rx，则3xx是整数，所以S是自反

30、的；对Ryx,，并且设Syx,，则qyx3是整数而qxy3也是整数，所以Sxy,，S是对称的；对Rzyx,，并且设Syx,，Szy,则qyx3，rzy3，rq,是整数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 而rqzyyxzyyxzx3333也是整数所以Szx,因此S是传递的综上，S是等价关系。五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse图，并写出最大元，最小元，极大元，极小元。（1）36,24,1

31、2,6 ,3 ,21A（2）30,15,10, 6, 5 ,3 , 2, 12A（3）9 ,6,3 , 13A解： （1）无最大元，极大元为：24，36；无最小元，极小元为：2，3；（2）最大元和极大元为： 30；最小元和极小元为：1 （3）无最大元，极大元为：6，9；最小元和极小元为： 1 5 9 6 3 1 30 15 6 3 2 1 3 36 24 12 6 2 （1）（2）（3）10 六、设无向图 G 中有 9 个顶点，每个顶点的度数不是5 就是 6，试证明 G 中至少有 5 个 6 度顶点或至少有 6 个 5 度顶点。解：假设图 G 中最多有 4 个 6 度顶点，并且最多有有5 个

32、5 度顶点则度为奇数的顶点只能为偶数个，所以5 度顶点应该为 4 个，而 6 度顶点最多也为 4 个，所以与命题条件有9 个顶点产生矛盾；因此 G 中至少有 5 个 6 度顶点或至少有 6 个 5 度顶点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 离散数学模拟3 参考答案一、选择题1、假设 ,aaA，下列选项错误的是： （2）（1）)(Aa（ 2）)(Aa（3）)(Aa（4）)(Aa2、对任意集合CBA,，下述

33、论断正确的是： （1）（1）若CBBA,，则CA（2）若CBBA,，则CA（3）若CBBA,，则CA（4）若CBBA,，则CA3、假设,cbaA上的关系如下，具有传递性的关系是：（4）（1）,abbaaaacca（2）,aaacca（3）,acca（4）,ca4、假设R和S是集合A上的任意关系，则下列命题为真的是：（1）（1）若R和S是自反的，则SR也是自反的；（2）若R和S是反自反的，则SR也是反自反的；（3）若R和S是对称的，则SR也是对称的；（4）若R和S是传递的，则SR也是传递的。5、若CBgBAf:,:是满射函数，则复合函数fg必是：（3）（1）双射函数（2）单射函数（3）满射函数（

34、4）不单射也不满射6、假设,cbaA，2, 1B，令：BAf :，则不同的函数个数为：（2）（1）2+3 个（2）32个（3）32个4）23个7、一个无向简单图G有m条边，n个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . （1）2m（2）2n（ 3）m2（4）n28、一个图是半欧拉图是指：（2）（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次

35、且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。9、下面哪一种图不一定是树：（3）（1）无回路的连通图（2）有n个顶点1n条边的连通图（3）每一对顶点之间都有通路（4）连通但删去一条边则不连通的图. 10、完全m叉树中有l片叶，i个分支点，则它们之间的关系表达式是：（2）（1）1li（2）lim1)1(（3）lim)1(（4）1)1(ilm二、填空题1、假设,10|2正整数xxxA，10|xxxB是素数， 5,3, 1C（ 1）)()(ABAC5 ，7；（ 2）ACB)(5 ；2、假设,dcbaA上的关系,dacaR，则：（ 1）

36、,)(ddccbbdacaaaRr，；（ 2）,)(addaaccaRs，；（ 3）,)(dacaRt，；3、假设3,2,1A，hgf,是A到A的函数，其中： （ a）1 ,3,1 ,2,1 , 1f；（b）2,3,3,2,1 , 1g； （c）1 ,3,1 ,2,3, 1h。则：（ 1）_g_是满射；（2）_g_是双射；4、设无向图G有 24 条边，有4 个 3 度的顶点，其余顶点度数均小于3，则G中至少有22个顶点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 2

37、1 页 - - - - - - - - - . . 5、一棵树有2 个 2 度顶点， 1 个 3 度顶点， 3 个 4 度顶点，则有7 片叶。6、假设P：我有时间，Q：我去体育馆。（ 1）命题“如果我有时间，我就去体育馆”符号化为QP；三、假设A、B是非空集合，并且)()(BA。证明：BA。证明：对任意的Ax，有Ax，所以)(Ax因为)()(BA，所以)(Bx所以Bx，因此Bx故BA同理可证AB综上BA。四、假设 R,S是集合 A 上的等价关系，证明RS也是集合 A 上的等价关系。证明：对任意的Ax，因为 R,S 是集合 A上的等价关系，所以是自反、对称、传递的。故有SxxRxx),(),(且

38、，所以SRxx),(，SR是自反的；对任意的Ax y,，并且假设SRx)y,(，有SxRx)y,()y,(且所以SR)x,y()x, y(且，因此SRx), y(，SR是对称的；对任意的Axzy,，并且假设SRx)y,(，SR)z,y(有SxRx)y,()y,(且，并且SR)z, y()z,y(且所以有SxRx)z,() z,(且因此SR)z, x(，SR是传递的。综上SR是集合 A上的等价关系。五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse图，并写出最大元，最小元，极大元，极小元。（1）36,24,12,6 ,3 ,21A（2）70,42,30,14,10,6,22A名师资料总结 -

39、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . （3）18,9,6, 33A解：42 14 9 18 6 3 70 30 10 6 2 3 36 24 12 6 2 （ 1）（2）（3）（1）无最大元，有极大元是24、36，无最小元，有极小元2，3；（2）无最大元，有极大元30，42， 70，有最小元和极小元2；（3）有最大元和极大元18，有最小元和极小元3 六、假设图 G 是n个顶点m条边的简单无向图，则) 1(21nnm。证明：若图G是连通图，由于图G是简单图，所以边数不会超过完全图的边数，因此) 1(21nnm；若图G是非连通图，则至少存在两个连通分支1G和2G假设1G和2G的顶点数和边数分别为，11,mn和22,mn则有) 1(21111nnm和) 1(21222nnm而) 1(21) 1(21221121nnnnmmm) 1(21)(21)(212222121nnnnnnnn命题得证。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -