2022年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题 .pdf

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1、新知：等腰三角形1.等腰三角形的定义：2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴7.等腰三角形的判定：1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义 ) 2.在同一三角形中，等角对等边8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形9.等边三角形的性质：等边三角形是锐角三角形 ，等边三角

2、形的内角都相等，且均为60 。等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一 ）等边三角形是轴对称图形 ，它有三条对称轴，对称轴 是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。等边三角形 重心 、内心 、外心、垂心 重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高 ) 10.等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形（定义）三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(4) 两个内角为 60度的三角形是等边三角形(5) 说明 :可首先考虑 判断 三角形是 等腰三角形 。(6) 等

3、边三角形的性质与判定理解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 11、三角形中的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：等腰三角形的性质应用及判定例 1 如图， ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2

4、：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。例一：AC、 AB 上的点，BD 与 CE交于点 O.出下列三个条件： EBO=DCO; BEO= CDO;BE=CD. 1.上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）2.选择第（ 1）小题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形例 2 如图， ABC为等边三角形，延长BC到 D,又延长 BA到 E，使 AE=BD, 连接 CE,DE, 求证：CDE为等腰三角形A E B C O D E 例题解析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

5、- - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例 3 如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 DE=a, 则下列说法正确的个数有 （ ）DC平分 BDE BC长为(22)a BCD是等腰三角形 CED的周长等于BC的长A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个例 4 如图， ABC是边长为1 的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的 MDN，点 M,N 分别在 AB,AC上，则 AMN 的周长是A M N D B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

6、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 追加练习：1.如图所示 ABC是边长为 1 的正三角形，BDC是顶角 BDC=120 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60角，角的两边分别交AB，AC于 M，N，连接 MN，求 AMN 的周长2.如图， ABC是正三角形，BDC是顶角 BDC=120的等腰三角形，以D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交AB、AC 边于 M、N 两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。例 5 已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A.2

7、0B.120C.20或 120D.36例 6 等腰三角形两边长分别为4 和 9，则第三边长为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 等边三角形的性质应用及判定例 7 如图，在等边ABC中，点 D,E分别在边 BC,AB上， BD=AE,AD与 CE交于点 F.(1)求证：AD=CE;(2) 求 DFC的度数。例 8 如图，分别以 RtABC的直角边 AC,BC为边，在 RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF ，连接

8、BE,AF 。求证： BE=AF 例 9 如图， DAC和 EBC均是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE交于点 M、N,有如下结论： ACDDCB; CM=CN; AC=DN. 其中正确结论的个数是A.3 个B.2 个C.1个D.0 个AFBCEDNMDACBEBAFCE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例 10 如图，点C在线段 AB上，在 AB的同侧作等边三角形ACM 和 BCN，连三角形ACM 和BC

9、N，连接 AN，BN，若 MBN=38，则 ANB 的大小等于。例 11 已知，如图，延长ABC 的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB, 顺次连接D,E,F ，得到 DEF为等边三角形，求证：（1） AEF CDE;(2) ABC为等边 三角形等腰直角三角形的性质应用及判定例 12 如图，在RtABC中， B=90， ACB=60 ， D 是 BC延长线上一点，且AC=CD, 则BC:CD= NMACBFEDACBBADC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共

10、 9 页 - - - - - - - - - 例 13 已知，如图， AB是等腰直角三角形ABC的斜边， AD 是 A 平分线， 求证： AC+CD=AB 例 14 两个全等的含30，60的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点一条直线上，连接BD,取 BD的中点 M,连接 ME,MC,试判断 EMC 的形状，并说明理由1.已知 AB=AC，D 是 AB 上一点，DEBC于 E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明 ADF是等腰三角形的理由ABCDDECBMA练习题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

11、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2、如图，在 ABC中， ABC 和 ACB的角平分线相交于点O，过点 O 作 EF BC，交 AB于 E，交 AC于 F，若 AB=18，AC=16，求 AEF的周长？3、已知 BO、CO分别是 ABC和 ACB的平分线， OEAB，OFAC，如果已知BC的长为 a，你能知道 OEF的周长吗？ . 4、如图，在ABC中， AB=AC ，点 D在 BC上，DE AC交 AB于 E，DFAB交 AC于 F. 求证： DE+DF=AB A B C F E O FEOABC名师资料总结 - -

12、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5、已知 :如图， BDE是等边三角形，A在 BE延长线上， C在 BD的延长线上，且AD=AC 。求证： DE+DC=AE。6、等边三角形ABC中，AD=CE, 求 BPC的度数。7. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为8.在 RtABC中， C=90， A=30， BC+AB=6cm ，则 AB= cm 5.已知：等边 ABC中，如图， E 为 AB 上任意一点，以CE为斜边作等边CDE, 连结 AD,则有 ADBC,上述结论还成立吗？答ADCBE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -