2022年第二讲函数的概念和性质 .pdf

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1、第二讲函数的概念和性质（ 1）-函数及其表示、解析式【基础回顾】一、基础知识：知识点一：函数的概念：1函数 的概念：一般地，设A、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f, 对于集合A中的 ,在集合B 中都有和它对应，这样的对应叫做从A到 B的一个函数，通常记为 ,Ax. 2其中所有的组成的集合A叫做函数 y=f(x)定义域 ；对于 A中的每一个x 值，都有一个输出值y 与之对应，将所有组成的集合称为函数的值域 定义一个函数BAf :，函数的值域C与 B的关系是3函数的三要素：4函数y=f(x)的图象：将函数( )fx自变量的作为横坐标，相应的作 为 纵 坐 标 ， 就 得 到 坐 标 平

2、面 上 的 一 个 点， 当 自 变 量时 ， 所 有 这 些 点 组 成 的 图 形 就 是 即 直 角 坐 标 系 中 点 集为函数 y=f(x),Ax的图象5映射： 一般地，设A、B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f, 对于集合A 中的 ,在集合 B中都有和它对应，这样的单值对应叫做从集合 A到集合 B的映射，记作f：BA6 从映射的观点理解函数，函数是的映射知识点二：函数的表示方法：1函数的表示方法：列表法（列出自变量与函数值的表，表达函数关系的方法如：三角函数表等）、解析法、图象法列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法图像法：

3、用图象表示两个变量之间函数关系的方法2分段函数：在定义域不同的范围内，用不同的解析式表示注意： 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 知识点三：求函数解析式的方法：1待定系数法：明确已知函数的类型，可用待定系数法（如二次函数、有理函数等可设)0(2acbxaxy） ，根据题设条件，列出方程组，解出cba,等即可2换元法

4、： 已知复合函数)(xhf的解析式，形如)()(xgxhf，求)(xf的问题，往往可设txh)(，从中解出, x代入)(xg进行换元来解3解方程组法：已知)(xf满足某个等式，这个等式除)(xf是未知量外，还出现其他未知量，如)1(),(xfxf等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出)(xf二、基础自测：1下列图象中，表示函数关系( )yf x的是2给定映射f:(x,y)(x+2y,2x y), 在映射 f 下， (3,1) 的原象为3已知函数21(1)( )(1)xxf xxx，则)1 ( ff= 4已知函数1,0( ),1,0 xf xx则不等式 (1) ( )xf

5、 xx 的解集是 . 5已知xxxf2) 1(，则 f(x)=_ _6已知 f(cosx)=cos5x，则 f(sinx)= 【典型例题】例题 1： 判断下列对应是否为函数：（1）2,0,xxxRx； （2）2,xy yx xN yR；（3）xyx，| 06xxx，|03yyy；（4）16xyx，| 06xxx，|03yyy【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：OyxAOyxBOyxOyxDC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2

6、 页，共 7 页 - - - - - - - - - “非空”、 “每一个”、 “惟一”，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A中的x即可解： （1）是； （2）不是；（ 3）不是；（4）是例题 2： 作出下列函数的图象.（1）f(x)x2 2|x| 1； （2）y=)21(|x|； （3）y=|log21（1-x ）| ； （4）y=112xx解： 图略例题 3: （ 1）f(x+1)=x+2x，求 f(x) （2）已知331)1(xxxxf，求 f(x) (3)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2，试求出f(x)的解析式 .（4

7、）已知函数( )f x满足12 ( )()3f xfxx，求( )f x解： （1）令 t=x+1, t 1，x=（t-1 ）2.f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即 f(x)=x2-1,x 1，+).（2）)1(3)1(1)1(333xxxxxxxxf，xxxf3)(3)22(xx或（ 3）设 f(x)=ax2+bx+c (a 0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.22444baa11ba，又 f(0)=3c=3, f(x)=x2-x+3.（4）12( )()3f xfxx，把中的x换成1x，得132 ()

8、( )ffxxx，2得33 ( )6f xxx，1( )2f xxx例题 4： 如图，在坐标平面内ABC的顶点 A（0，2） ，B（ 1，0） ，C（1，0） ，有一个随t变化的带形区域，其边界为直线y=t 和 y=t+1 ，设这个带形区域覆盖ABC的面积为S，试求以 t 为自变量的函数S的解析式，并画出这个函数的图象解： 根据 t 的取值范围分情况讨论：（1）当 0t 1 时，带形区域覆盖ABC的图形为梯形DEGF ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7

9、页 - - - - - - - - - 由题可知这个梯形的高为1，根据题中的条件解出：直线 AC的解析式为y=-2x+2 则下底为DE=2NE=2-t，上底为FG=2MG=1-t 根据梯形的面积公式得：2231)1()2(21tttS，0t 1 ；(2）当 1 t 2 时，带形区域覆盖ABC的图形为三角形ADE的面积， 则三角形的高为2-t ，底为 DE=2-t，根据三角形的面积公式得：22)2(21)2(21ttS，1t 2；（3）当 -1 t 0 时，带形区域覆盖ABC的图形为梯形BCGF ，高为 t+1，上底为FG=1-t ，下底为2，根据梯形的面积公式得：)32(21)1(2)1(21

10、2ttttS，-1 t022)2(21232321ttttS)21() 10()01(ttt, 根据求出的解析式可以画出相应的函数的草图（略） 【巩固练习】1设 f:A B是集合 A到 B的映射，下列命题中：A中不同元素必有不同的象；B中每一个元素在A中必有原象；A中每一个元素在B中必有象； B中每一个元素在A中的原象唯一真命题是2下列四组函数，表示同一函数的是f(x)=logaax,g(x)=xaalog(a0,a 1) ；f(x)=332)(,xxgx；f(x)=2x1 (xR),g(x)=2x+1 (xZ)；24)(,24)(22tttgxxxf3若f(1 x)=x2，则f(x)= ,

11、若f(ax)=x(a0 ，且a 1) ，则f(x)= 若 f(x 221)1xxx, 则 f(x)= _ 4 （ 2010 年高考湖北卷文科3）已知函数3log,0( )2 ,0 xx xf xx，则1( )9ff5. 已知 f(x)=ax2+bx+c，若 f(0)=0 ，且 f(x+1)=f(x)+x+1，则 f(x)= 6设 f （x）满足关系式12 ( )()3f xfxx，求 f(x)= 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - -

12、- - - - 7已知 f(1 cosx)=sin2x，则 f(x)= 8已知函数)4()4() 1(2)(xxxfxfx, 则(5)f= _. 9 （2009 四川卷文） 已知函数)(xf是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1 ()1(xfxxxf，则)25(f的值是 . 10. 已知函数fx满足12,f且对任意,x yR都有fxfxyfy，记121niniaa aa，则1016ifi.11若 f （x）满足31212fxfxx，求函数 f （x）的解析式12渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼

13、群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围13已知baaxbxxf、,21)(为常数，且ab2. （1）若 f(x)f()1x=k，求常数 k 的值 . ；（2）在（ 1）的条件下，若ff(1)=2k，求 a、b 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5

14、 页，共 7 页 - - - - - - - - - 14 （2010 年高考广东卷文科20）已知函数( )f x对任意实数x均有( )(2)f xkf x，其中常数k为负数，且( )f x在区间0,2上有表达式( )(2)f xx x. （1）求( 1)f，(2.5)f的值；（2）写出( )f x在3,3上的表达式【拓展提高】1已知奇函数( )f x的图像关于直线2x对称，当0,2x时，( )2f xx，则( 9 )f2已知定义域为R的函数)(xf满足xxxfxxxff22)()(（1）若3)2(f，求)1 (f；又若af)0(，求)(af；（2）设有且仅有一个实数0 x，使得00)(xxf，求函数)(xf的解析式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 【总结反思】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -