2022年2022年解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的 .pdf

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1、一、 知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（ ）(角化边公式）3:sin:sin:sina b cABC（ ）sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbB cCcC2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知 a，b 和 A，求 B 时的解的情况 :如果 sinAsinB，则 B 有唯一解；如果 sinAsinB1，则 B 无解.3、余弦定理及其推论

2、2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。5、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,(abc bca acb 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3） 在 ABC中 ，A+B+C= ， 所 以 sin(A+B)=sinC ； cos(A

3、+B)= cosC； tan(A+B)= tanC。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2sin2cos,2cos2sinCBACBA二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角 C 的度数为【解析】由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7，,令 a、b、c 依次为 3、5、 7，则 cosC=2222abcab=22235723 5=12因为 0Cpp，所以 C=2

4、3例 2 若a、b、c是ABC 的三边，222222)()(cxacbxbxf，则函数)(xf的图象与x轴【】A、有两个交点 B、有一个交点 C 、没有交点 D、至少有一个交点【解析】由余弦定理得2222cosbcabcA，所以222( )2cosf xb xbcA xcg=2222(cos)cosbxcAccA，因为2cos A p1, 所以222cosccA f0，因此( )f x f0 恒成立，所以其图像与X轴没有交点。题型 2 三角形解的个数 例 3 在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B

5、；D、6a，3b，60B。题型 3 面积问题 例 4 ABC 的一个内角为 120，并且三边构成公差为4 的等差数列，则ABC 的面积为【解析】设 ABC 的三边分别： x4、x、x4，C=120 ，由余弦定理得： x42 =x42 x2 2 x4 x cos120 ，解得： x=10 ABC三边分别为 6、10、14。113sin6 1015 3222ABCSabCV题型 4 判断三角形形状例 5 在ABC 中，已知2222() sin()() sin()abABabAB, 判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一：22sin()sin()sin()sin

6、()aABABbABAB222cossin2cossinaABbBA由正弦定理，即知22sincossinsincossinAABBBAsinsin(sincossincos)0ABAABBsin2sin2AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 由02 ,22ABpp，得 22AB或 22AB即ABC 为等腰三角形或直角三角形方法二： 同上可得222cossin2cossinaABbBA由正、余弦定理，即得：2222

7、222222bcaacba bb abcac22222222()()abcabacb即22222()()0abcabab或222cab即ABC 为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用 例 6 在ABC 中，, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，且s

8、insinsin()ACpB pR且214acb（1）当5,14pb时，求,a c的值；（2）若角 B为锐角，求 p 的取值范围。【解析】 （1）由题设并由正弦定理，得51,44acac，解得，11,4ac或1,14ac（2）由余弦定理，2222cosbacacB=2222211()22coscos22acacacBp bbbB即231cos22pB，因为 0cos1Bpp，所以23(,2)2p，由题设知0p f，所以622ppp题型 6、解三角形的实际应用如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105o方向的1B处，

9、此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120o方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角 . 本题应先利用 Svt求出边长 , 再进行进一步分析 . 解析如图，连结11A B，由已知2210 2A B，122030 210260A A，北1B2B1A2A120o105o甲乙名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

10、- 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 1221A AA B，又12218012060A A Booo，122A A B是等边三角形，121210 2ABA A，由已知，1120A B，1121056045B A Booo，在121A B B中，由余弦定理，22212111212122cos45B BA BA BA BA Bogg22220(10 2)220 10222001210 2B B因此，乙船的速度的大小为10 26030220（海里 /小时）答：乙船每小时航行30 2海里【点拨】解三角形时，通常会遇到两种情况：已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利

11、用正弦定理或余弦定理 ; 已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 三、课堂练习：1、满足45A，c=6，a=2的ABC 的个数为 m ，则ma为2、已知 a=5，b=35，30A，解三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3、在ABC 中，已知4acm，xbcm，60A，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是【】A、4xB、x0 4

12、C、 4x338D 、3384x4、在ABC 中，若),(41222cbaS则角 C= 5、设 R是ABC外接圆的半径，且BbaCARsin)2()sin(sin222，试求ABC面积的最大值。6、在ABC 中，D为边 BC上一点， BD=33 ，135sin B，53cosADC，求 AD 。7、在ABC 中，已知, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，若coscosaBbA，试确定ABC 形状。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - -

13、 - - - - - 8、在ABC 中，, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，已知cos2cos2cosACcaBb（1）求sinsinCA；（2）若1cos,2,4Bb求ABC 的面积。四、课后作业1、在ABC 中，若bcacbcba3)(，且CBAcossin2sin，则ABC 是A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、ABC 中若面积 S=)(41222cba则角 C= 3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB ，在塔顶 A处测得山下水平面上一点C 的俯角为，在塔底 B 处测得点 C 的俯角为，若铁塔的高为 hm，则清源山的高度为m。A、)sin(co

14、ssinhB、)sin(sincoshC 、)sin(sinsinhD、)sin(coscosh4、ABC的三个内角为 ABC、 、，求当 A 为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 值。5、在ABC 中，, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，且满足sincoscAaC（1）求角 C的大小（2）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -