2022年网络的稳定性、无源性和耗散性 .pdf

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1、电网络分析选论结课论文网络的稳定性、无源性和耗散性目录第 1 章概述. 1第 2 章网络的稳定性 . 22.1 系统平衡点稳定性定义. 22.1.1 自治系统平衡点稳定性. 22.1.2 时变系统平衡点稳定性. 32.2 平衡点稳定性判别方法. 42.2.1 自治系统平衡点稳定性判据. 42.2.2 时变系统平衡点稳定性判别. 62.3 Lyapunov 函数的构造方法. 62.4 pL稳定性 . 72.5 2L 增益 . 82.6 小增益定理 . 9第 3 章网络的无源性 . 10 3.1 无源性的概念. 10 3.2 无源性条件 . 11 第 4 章网络的耗散性 . 13 4.1 耗散性定

2、义 . 13 4.2 耗散性意义：. 14 第 5 章三者之间的关系. 16 5.1 无源性与稳定性关系. 16 5.2 无源性与耗散性的关系. 17 参考文献 . 18 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文1 网络的稳定性、无源性和耗散性第1章 概述稳定是系统能够正常运行的前提必要条件。论文介绍了非线性系统平衡点Lyapunov 稳定性分析理论， 包括各种稳定形式的严格数学定义、稳定性判别定

3、理。另外， 从映射或算子的角度给出了非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。无源性的概念是与实际系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。它把系统 Lyapunov 稳定性和2L 稳定性联系在一起，为分析非线性系统平衡点处Lyapunov 稳定性和系统输入 输出2L 稳定性提供了方便直观的工具。论文介绍了无源性定义和条件。将无源性的概念扩展，即可引入与系统2L 性能准则相关的系统耗散性的概念，这为分析非线性系统抗扰性能提供了有力工具。论文对耗散性概念、条件和意义进行了阐述。论文还表明了三者之间的关系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

4、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文2 第2章 网络的稳定性对于实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。对于非线性系统的稳定性分析， 存在许多不同类型的稳定性问题1。例如， Lyapunov 稳定性 无外部信号激励的情况下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。因此，也称为平衡点的 Lyapunov 稳定性。输入-输出稳定性和输入-状态稳定性 在有界的外部信号激励下，系统的输出和状态响应能够停留在有界的范围内的稳定特性，输入-输出稳定性也叫有界

5、输入有界输出 (BIBO) 稳定性。对于线性系统来讲，平衡点的Lyapunov 稳定性和输入-状态 (或输出 )稳定性实际上是等价的，但是对于一般的非线性系统则不然。下面 1-3 节讨论平衡点的Lyapunov 稳定性， 4-6 节讨论输入 -状态 (或输出 )稳定性。2.1 系统平衡点稳定性定义2.1.1自治系统平衡点稳定性考虑如下所描述的非线性自治系统：0( ),(0)xf xxx(2-1) 式中，nxDR 为状态变量；:nfDR是关于 x 局部 Lipschitz 的；0 x 是系统初始条件。假设 D 为包含0 x点的域，且0 x为式 (2-1)系统的一个平衡点，即(0)0f。根据微分方

6、程理论可知，在( )f是关于 x 局部 Lipschitz 的条件下，对于任意初始条件0 x ，式(2-1) 系统的解0( )(, )x txt在 0,)上有定义且是连续的。以后的讨论中， 除非特别声明，均假设系统满足上述解的存在性条件。需指出，这里只讨论平衡点在坐标原点的稳定性问题。这是不失一般性的。因为任何平衡点均可通过坐标变量变换而移到原点，如( ),()0,0eexf xf xx，则令eyxx ，那么，就有()( ),(0)0eyxf yxg yg，平衡点为0ey。为此，对于式(2-1)系统有如下的一些平衡点稳定性定义。定义 2.1（Lyapunov 稳定性） 如果对于任意给定的0，存

7、在一个常数( )0，使得对任意满足0|x的初始条件0 x ，式 (2-1)系统的解( )x t 满足| ( ) |,0 x tt(2-2) 则称式 (2-1)系统在平衡点0ex处是 Lyapunov 稳定的，简称稳定。定义 2.2（渐近稳定性）如果式 (2-1)系统的平衡点0ex是稳定的，且选取使得0|lim( )0txx t(2-3) 或等价地，存在0a和( )0TT a，使得0|,xatT ，则称式 (2-1)系统在平衡点0ex处是渐近稳定的。定义 2.3 （指数稳定性） 如果存在常数,0m，使得对任意满足0|x的初始条件0 x ，式(2-1) 系统的解( )x t 满足0| ( ) |,

8、0tx tmext(2-4) 则称式 (2-1)系统在平衡点0ex处是指数稳定的。定义 2.4 （不稳定）如果对于某一个0， 不管多么小，至少存在一个0 x ， 使得0|x时，式 (2-1)系统的解( )x t 有11| ( ) |,0 x tt(2-5) 则称式 (2-1)系统在平衡点0ex处是不稳定的。注 2.1 由上述定义可以知道，一个系统在平衡点处如果是指数稳定的，就一定是渐近名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - -

9、 - 电网络分析选论结课论文3 稳定的、 Lyapunov 稳定的，如果是渐近稳定的就一定是Lyapunov 稳定的；但反之，若是Lyapunov 稳定的，不一定是渐近稳定的，是渐近稳定的，不一定是指数稳定的。注 2.2 对于非线性系统，还要注意局部稳定性和全局稳定性的概念。局部稳定性是指对于(0)|nhexBxRxxh，性能成立。而全局稳定性是指(0)nxR，性能均成立。注 2.3 对于线性定常系统，渐近稳定性总是全局的和指数稳定的，不稳定总是隐含指数发散的。 只有非线性系统才区别渐近稳定性、指数稳定性、全局稳定和局部稳定。线性系统的局部稳定性和全局稳定性是一致的，因为线性系统只有一个平衡点

10、，平衡点的稳定性，即是系统的全局稳定性。2.1.2时变系统平衡点稳定性考虑非线性时变系统( , )xf t x(2-6) 式中， xD 为状态变量；tR为时间变量；:0,)nfDR是 t 的分段连续函数，且关于x在0,)D上局部 Lipschitz ，nDR 是包含原点0 x的域。( ,0)0,0f tt，即0 x是平衡点。同样，也只研究平衡点在原点的情况。如果平衡点不在原点，可以通过坐标变换将其移到原点。 例如，假设系统( , )dygyd的解为( ),ya ，通过坐标变换( ),xyyta，系统变换为( ,)( )(,()()(,()(,()( , )xgyyg ta xy tay tag

11、 ta xy tag ta y taf t x因此，原点0 x是系统( , )xf t x 在0t时的一个平衡点，可以通过判别被变换系统在原点的稳定性能，来确定原系统解( )y的稳定性能。对于任意初始条件0000(),(,)x txxtD，式(2-6)系统的解00( )( ,)x tt tx在0 ,)t上有定义且是连续的。 非自治系统平衡点处的稳定性概念与上面介绍的自治系统的稳定性概念基本相同，不同的是自治系统的解仅依赖于0tt ，而非自治系统的解既依赖于t ，又依赖于0t 。因此，对于非自治系统，各种稳定性的定义需要修改，而且需要更详细的划分。定义 2.5（Lyapunov 稳定性和一致Ly

12、apunov 稳定性） 如果对于任意给定的0及初始时刻00t，存在一个常数0( ,)0t，使得对任意满足0| ( ) |x t的初始条件0()x t，式(2-6) 系统的解00( ,)t tx满足000| ( ,) |,0t txtt(2-7) 则称平衡点0ex是 Lyapunov 稳定的。如果在上述定义中，( )0而与0t 无关，则称平衡点0ex是一致Lyapunov 稳定的。如果式 (2-7)对任意0()nx tR成立，则称平衡点0ex是全局稳定的。定义2.6（渐近稳定性和一致渐近稳定性）如果式 (2-6)系统的平衡点0ex是稳定的，且存在0( )0cc t使得000lim |( ,)|0

13、,| () |tt txx tc(2-8) 则称平衡点0ex是渐近稳定的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文4 如果平衡点0ex是渐近稳定的， 且存在的 c 与0t 无关，则称平衡点0ex是一致渐近稳定的。如果平衡点0ex是一致稳定的，且对于每对正数和 c ，存在( , )0TTc，使得00| ( ) |,( , ),| () |x tttTcx tc(2-9) 则称平衡点0ex是全局一致渐

14、近稳定的。定义 2.7（指数稳定性）若式 (2-6)系统在平衡点0ex是渐近稳定的，且存在正数0k和0，使得下式成立：0()000| ( ) |,| () |ttx tkxettx tc(2-10) 则称平衡点0ex是指数稳定的。 如果式 (2-10)对任意0()nx tR成立，则称平衡点0ex全局指数稳定。需指出，时变系统平衡点的指数稳定即为一致指数稳定。2.2 平衡点稳定性判别方法第 2.1 节给出了系统平衡点各种稳定性的定义，平衡点的稳定性是可以根据这些定义来判别的，但是直接由定义进行系统稳定性判别，有时候是很困难的，因此，控制理论发展了平衡点稳定性判别方法。2.2.1自治系统平衡点稳定

15、性判据1.Lyapunov 稳定性定理定理2.1 对于式 (2-1)系统，令0 x是平衡点，nDR 是包含0 x的域，:VDR 是连续可微函数。如果在D 内，有(1)( )0V x，且(0)0V，即( )V x 在 D 内是正定函数；(2)( )0V x,即( )V x是半负定函数。则系统在平衡点0 x处是 Lyapunov 稳定的。2.渐近稳定性定理定理2.2 对于式 (2-1)系统，令0 x是平衡点，nDR 是包含0 x的域，:VDR 是连续可微函数。如果在D 内，有(1)( )0V x，且(0)0V，即( )V x 在 D 内是正定函数；(2)( )0V x,且(0)0V即( )V x是

16、负定函数。则系统在平衡点0 x处是渐近稳定的。定理2.3 （全局渐近稳定）对于式 (2-1) 系统，令0 x是平衡点，:nVRR 是连续可微函数。如果(1)(0)0V，( )0,0,|( )V xxxV x；(2)( )0V x,0 x。则系统在平衡点0 x处是全局渐近稳定的。3.指数稳定性定理定理 2.4 对于式 (2-1)系统，令0 x是平衡点，nDR 是包含0 x的域。如果存在连续函数( )V x ，常数123,0，使得对任意的xD ，有(1)2212|( )|xV xx；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

17、师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文5 (2)23( )|V xx。则系统在平衡点0 x处是局部指数稳定的。如果对于任意的nxR，条件（ 1） 、 （2）都成立，则平衡点是全局指数稳定的。4.不稳定定理定理 2.5 对于式 (2-1)系统，令0 x是平衡点，nDR 是包含0 x的域。若存在连续可微函数:VDR ，有(0)0V，并且对于在原点的任意小邻域内（0|x很小）有0()0V x。同时，定义集合|( )0,|rrUxBV xBxDxr，在域 U 内( )0V x。则此时系统在平衡点是不稳定的。5.线性定

18、常系统稳定性判别现在考虑自治系统的特例线性定常系统的情况。线性定常系统描述为0, (0)xAx xx(2-11) 其中， A 是非奇异阵。式(2-11)系统有唯一的平衡点0ex。则平衡点的稳定性可由如下定理判别。定理2.6 对于式 (2-11)系统，平衡点0ex是渐近稳定的充要条件是矩阵A 的所有特征根满足Re0i，即矩阵 A 为 Hurwitz 矩阵。而矩阵A特征根均为负实部，当且仅当对任意给定的正定对称阵Q，存在满足如下Lyapunov 方程的对称正定阵P ，而且，如果A阵是稳定阵，那么，P 是方程的唯一解。TPAA PQ(2-12) 6.非线性系统的线性化考虑式 (2-1)非线性系统，其

19、中，:nfDR是连续可微的函数，0 x包含在 D 中，且是平衡点，(0)0f。由中值定理有( )(0)( ) ,1,2,.,iiiff xfz x inx(2-13) 其中， z是连接 x 与原点的线段上的一点。由于(0)0f，则( )( )(0)( )(0)iiiiifffff xz xxzxxxxx(2-14) 所以有( )xAxg x(2-15) 其中，(0)ifAx，( )( )(0)iiffg xzxxx。函数( )g x满足不等式( ) |( )(0) | |iiffg xzxxx，由于fx的连续性，有当|0 x时，|( ) |0|g xx。这意味着在原点的很小的邻域内，非线性系统

20、可以用它的关于原点的线性化xAx 来近似表示，则( )xf x 在原点的稳定性可以用其近似方程中矩阵A 来判别。进而有下面的 Lyapunov 间接定理。定理2.7 对于式 (2-1)系统，0 x是平衡点，:nfDR连续可微，D 是原点的一个邻域。令0( ) |xfAxx，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文6 (1)如果 A 的所有特征根均为负实部Re0i，原点是渐近稳定的。(2)如果 A

21、 的特征根有一个或多个Re0i，原点是不稳定的。注 2.4 定理 2.7 并未给出对于所有的特征根Re0i，对于一些特征根Re0i的情况的结论，在这种情况下，用线性化不能确定原点的稳定性。2.2.2时变系统平衡点稳定性判别本节将讨论式(2-6)时变系统的平衡点0ex是稳定或渐近稳定的条件。注意，与自治系统相比，时变系统的稳定性分析增加了一致性的概念。设nUR是原点0 x的一个邻域，00,),0Jtt是初始时刻。定理2.8 （ Lyapunov 稳定定理）对于式 (2-6)系统，若存在连续可微的正定函数( , )(:)V t x VJUR，并且 V 沿式 (2-6)系统的轨迹对t 的导数( ,

22、)( , )VVV t xf t xtx(2-16) 是连续半负定的， 则0 x是该系统稳定的平衡点。若( , )V t x是正定且渐小的，即存在正定函数11( ),( )W x W x ，使得12( )( , )( ),( , )WxV t xWxt xJU，则平衡点是一致Lyapunov 稳定的。定 理2.9 （ 渐 近 稳 定 定 理 ） 对 于 式 (2-6) 系 统 ， 若 存 在 连 续 可 微 函 数:0,)(|,|)nVUR Ux xRxr，和连续正定函数123( ),( ),( )Wx Wx Wx，使得( , )V t x和沿式 (2-6)系统的任意轨迹( , )V t x的

23、时间导数满足(1)12( )( , )( )W xV t xWx(2)3( , )( )VVf t xW xtx则0 x是该系统的一致渐近稳定的平衡点。如果nUR，1( )W x 是径向无界，则0 x是该系统的全局一致渐近稳定的平衡点。定理 2.10 对于式 (2-6)系统，若( , ):V t xJUR 是系统的Lyapunov 函数，且满足(1)2212|( , )| ,( , )rxV t xrxt xJU；(2)2( , )| ,( , )dV t xxt xJUdt。其中，120,0,0rr为给定常数，则零解0 x是指数稳定的。2.3 Lyapunov函数的构造方法以下是一些实际中常

24、采用的( )V x 函数构造方法。1.线性定常系统：xAx取QI，解TA PPAQ，求出 P ，由 P 的正定性判别系统稳定性。因此，( )V x 函数构造为( )TV xx Px。2.线性时变系统：( )xA t x取 QI ，解( )( )( )( )( )( )TP tAt P tP t A tQ t，求出( )P t ，由( )P t 连续、对称、正定判别系统稳定性。因此，( , )V t x函数构造为( , )( )TV t xx P t x。3.非线性自治系统：( )xf x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

25、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文7 (1)Jacobian 矩阵法先计算 Jacobian 矩阵111122221212.( ).nnnnnnfffxxxffffxxxJ xxfffxxx，选取( )TTV xfPfx Px， P 为对称正定阵，则( )V x 的时间导数为( ) ( )( )( )( )( )( )TTTTTTV xfPffPfJ x f xPffP J x f xfJx PPJ xf令( )( )TQJx PPJ x，则给定Q，求出 P ，由 P 的正定性判别系统稳定性。特例

26、， PI ，则( )( )( ),( )( )TTV xfx f xQJxJ x，是克拉索夫斯基法。(2)变量梯度法由11( )nnVxVV xVVx，其中1( )niijjjVPx x，若选取( )ijPx使得12312.nVVVVxxxxxx为负，同时满足旋度方程,( ,1,2,. )jijiVVi jnxx，则在此条件下求得121112122120000( )(,0,0,.,0)(,0,.,0).(,.,)nxxxxnnnV xVdxV xdxVx xdxVxxxdx2.4pL稳定性一般将非线性系统的动态过程描述为如下的状态空间表达式形式：( , , )( , , )xf t x uyh

27、 t x u(2-17) 式中，nxR 为该系统的内部状态；muR 为系统外部输入信号；qyR为系统输出信号。在考虑外部输入信号作用下系统的输出响应特性分析时，可以采用输入 输出法来建模非线性系统，就像可以采用传递函数这种外部描述法来建模线性系统一样。即非线性系统输入-输出之间关系被描述为如下形式：yHu(2-18) 其中， H 代表某种映射或算子，指定了输入y 和输出 u之间的关系。 下面研究工程系统的品质特性，即从映射或算子的角度给出非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。1.pL稳定性定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

28、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文8 定义 2.8 考虑式 (2-18)非线性系统，其中算子:mqpepeHLL。如果存在定义在0,)上的K 函数( ) 和一个非负常数，使得对任意0,)T，有|()|(|),ppmTLTLpeHuuuL(2-19) 成立，则称算子H 是pL稳定的。其中| |pL表示向量空间的pL范数。定义 2.9 考虑式 (2-18)非线性系统，其中算子:mqpepeHLL。如果存在非负常数和，使得对任意0,)T，有|()|,ppmTLTLpeHuuuL(2-20) 成

29、立，则称算子H 是有限增益pL稳定的。注 2.5 如果 p，pL是一致有界信号L的空间，则 L 稳定性即为有界输入有界输出稳定性。显然 BIBO 稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的。由于范数的等价性，表征 BIBO 稳定的定义不局限于L 空间或-范数。实际上， 只要输入信号在某种范数意义下有界时，输出信号也在同一范数意义下是有界的，则可称该系统是BIBO 稳定的。定义 2.10 考虑式 (2-18)非线性系统，其中算子:mqpepeHLL。如果存在正常数r ，使得对 所 有 具 有0| ( ) |suptu tr 的mpeuL， 有 不 等 式 (2-19) 或 不 等 式 (2-

30、20) 成 立 ， 则 称 算 子:mqpepeHLL是小信号pL稳定的或小信号有限增益pL稳定的。2.52L增益2L 稳定性在系统分析中起着特殊的作用，因为是平方可积信号，因此常可看成为有限的能量信号。 在许多抗干扰控制问题中，系统可以被看成是从一个干扰输入u 到一个被控制输出 y 的输入 输出映射， 希望输出信号y 很小。 如果使用2L 输入信号， 那么，控制设计的目的是保证输入 输出映射是有限增益2L 稳定的，并且使系统的2L 增益最小。定理 2.11 考虑线性定常系统xAxBuyCxDu(2-21) 其中， A为 Hurwitz 矩阵。设1( )()G sC sIABD，则系统的2L

31、增益是2maxmaxsup|()|() ()()TRG jGjG jG j(2-22) 即222|sup|() |LRLyG ju。定理 2.12 考虑非线性自治系统名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文9 0( )( ) , (0)( )xf xg x u xxyh x(2-23) 式中，,:nmqnnxRuRyRfRR是局部 Lipschiz 的，:,:nn mnqgRRhRR在nR 上连续

32、，且(0)0, (0)0fh。如果存在一个连续可微的半正定函数( )V x 和一个正数，使得如下不等式成立()TTVVxx：211( )( )( )( ) ( )0,22TTTnVVVf xg x gxhx h xxRxxx(2-24) 那么，对于所有的nxR ，系统是有限增益2L 稳定的，且它的2L 增益不大于。2.6 小增益定理图2-1中的系统是由两个子系统1:mqpepeHLL和2:qmpepeHLL反馈连接构成的。假设两1u1e1y1H2u2e2y2H图 2-1 反馈连接系统个系统都是有限增益pL稳定的，即有11111|,0.)ppmTLTLpeyeeLT(2-25) 22222|,0

33、.)ppqTLTLpeyeeLT(2-26) 进一步假设对每对输入1mpeuL和2qpeuL，都存在唯一的输出12,mpeeyL和21,qpeeyL，在此意义下反馈系统有明确的定义111222,uyeuyeuye下面的小增益定理给出了反馈连接系统有限增益pL稳定性的一个条件。定理 2.13（小增益定理） 对于图2-1 反馈连接系统，在前面的假设条件下，如果121，则反馈连接系统是有限增益pL稳定的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - -

34、 - - - - - 电网络分析选论结课论文10 第3章 网络的无源性无源性的概念来源于电网络和物理学的分支3，是与系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。因此，无源性很好地把系统Lyapunov 稳定性和2L 稳定性联系起来，为分析非线性系统提供了一个有力的工具。由于无源性理论利用了物理系统的结构特点，无源性方法和其它控制技巧结合使用时，可以简化相应的控制方法，用无源化方法设计的非线性观察器观测器可以减少观测器的参数，而且它也可以简化自适应控制，鲁棒控制， 滑模控制控制， 神经网络和模糊控制。近年来， 无源性理论广泛应用于控制系统设计，机器人控制，机械系统，电力系统和化工过程等方

35、面3,4。3.1 无源性的概念无源性的概念来源于电网络，所以用电路来阐述该定义。图 2-1图3-1所示是电压为u，电流为y 的单端口电阻元件，把该元件看成是以电压u 为输入，电流y 为输出的系统。( )yh uGu ，1/GR为电导。+-uyR图 3-1 无源电阻如果输入功率始终是非负，即如果在uy 特性的每个点( , )u y 都满足0uy，则该电阻元件是无源的。对于一个多端口的网络，puR和pyR是向量，流入网络的功率是内积11( )ppTiiiiiiu yu yu h u。如果对于所有u 都有0Tu y，则认为网络是无源的。0Tu y是无源性的极限情况。在这种情况下，认为系统是无损耗的。

36、首先把这一无源性概念推广到无记忆非线性函数( , )yh t u(3-1) 其中，:0,)pphRR。定义 3.1 考虑式 (3-1)系统，（1）如果0Tu y，( , )0,)pt uR，则系统是无源的；（2）如果0Tu y，则系统是无损的；（3）如果存在某一函数( )u，满足( )TTu yuu，则系统是输入前馈无源的；（4）如果满足( )TTu yuu，0u，且( )0Tuu，则系统是输入严格无源的；（5）如果存在某一函数( )y ，满足( )TTu yyy，则系统是输出反馈无源的；（6）如果满足( )TTu yyy，0y，且( )0Tuy，则系统是输出严格无源的。以下定义由状态空间表达

37、式描述的非线性系统名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文11 ( , )( , )xf x uyh x u(3-2) 的无源性，其中，状态向量xD ， D 为nR 空间中含原点的子集或者整个空间，puR和pyR分 别 为 p 维 的 输 入 信 号 和 输 出 信 号 。:pnfDRR是 局 部Lipschitz的 ，:pph DRR 是连续的，且(0,0)0f，(0,0)0h。定义 3.2

38、对于式 (3-2)系统，如果存在连续可微的半正定的函数:VDR ，使得0( ( )( (0)( ) ( ),0tTV x tV xys u s dst(3-3) 对任意的输入信号puR 都成立， 则称式 (3-2)系统是无源的。( )V x 则称为能量存储函数，简称存储函数，式(3-3) 称为耗散不等式。若式(3-3) 中只取不等号，或者存在正定函数( )Q x ，使得耗散不等式00( ( )( (0)( ) ( )( )0ttTV x tV xys u s dsQ x dt-，(3-4) 对任意的输入信号u都成立，则称该系统是严格无源的。如果 D 不是整个空间，即只考虑局部特性，那么耗散不等

39、式不要求对任意的输入u 都成立，而是对那些使得状态停留在D 内的输入信号u 成立即可。显然，由上述定义可知，无源性是与系统的外部输入、输出信号相关的概念。如果视( ( )V x t为系统 t 在时刻所具有的能量总和，那么耗散不等式(3-3)的左端就代表系统从初始时刻0t到 t 时刻的能量的总增量。如果进一步把Ty u解释为伴随着输入( )u t 由外部注入到系统的能量供给率，那么式(3-3)的右端就是在0t 时间从外部注入系统的能量总和。因此，耗散不等式的物理意义就在于，它表明系统的能量由初始时刻0t到目前时刻的增长量总是小于等于外部注入的能量总和。这就意味着无源系统的运动总是伴随着能量的损耗

40、。下面给出针对(3-2)系统给出一些无源性相关定义。定义 3.3 对于式 (3-2)系统，如果存在连续可微的半正定的函数( )V x ，使得( )( , )TTTpV xuuyx uDRy-u-y-(x) ，(3-5) 则称式 (3-2)系统是无源的，其中, ,是非负常数，( )x 是 x 的一个正定函数，且对于所有的解( )x t 和任意使解存在的( )u t ，有( )00 xx。更进一步，有（1）如果0，且有( )TV xu y，系统是无损的；（2）如果0,0，即( )TTV xu yu u，系统是输入严格无源的；（3）如果0,0，即( )TTV xu yy y，系统是输出严格无源的；（

41、4）如果0,0，即( )( )TV xu yx，系统是状态严格无源的；（5）如果, ,中多于一个为正，则可以合并命名，例如，0,0,0，则系统是输入输出严格无源的。3.2 无源性条件考虑非线性系统名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文12 ( )( )( )( )xf xg x uyh xd x u(3-6) 式中，nxR ，puR 和pyR分别为状态向量、输入信号和输出信号。( )f x 和

42、( )h x 分别为n 维和 p维的函数向量；( )g x为 np 维的函数矩阵；( )d x为 pp 维的函数矩阵。定义 3.4 对于式 (3-6)系统，若存在半正定函数( )V x 、函数矩阵( )l x 及( )w x ，使得( )( ) ( )( )( )2( )( )1( )( )( )( )2TTTTTVf xlx l xxVg xhxlx w xxdxd xwx w x(3-7) 成立，则称式 (3-6) 系统具有 KYP 特性。定理3.1 式(3-6)系统是无源的充分必要条件是存在光滑可微的半正定存储函数( )V x ，使得该系统具有KYP 特性。考虑线性系统xAxBuyCxD

43、u(3-8) 注意到式 (3-8)线性系统是式(3-6)非线性系统的特例。定理 3.2 线性时不变最小实现为式(3-8)系统，传递函数为1( )()TG sCsIABD（1）如果( )G s 是正实的，则系统是无源的；（2）如果( )G s 是严格正实的，则系统是严格无源的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文13 第4章 网络的耗散性第 3.1 节中所介绍的无源性概念，反映了系统在运动过程

44、中能量的耗损特性。对系统耗散不等式的这种物理解释实际上基于一种前提，即存储函数( )V x 表示系统在状态( )x t 所具有的能量综合。Ty u代表单位时间内随输入信号注入系统的能量供给率。如果考虑更一般的供给率，即单位时间内由外部注入的能量为输入-输出信号的更一般的函数( , )s u y ，那么耗散不等式为0( ( )( (0)( ( ),( ),0tV x tV xs uydt(4-1) 同样反映了所对应的能量耗损特性。耗散性和作为其特例的无源性概念广泛存在与物理学、应用数学及其力学等领域。它们在控制领域里的应用起源于Kalman、popov、Yakubocich 和 Willems

45、等在超稳定性，正实性等方面开创性的工作，后经众多控制工作者的共同努力形成了系统的耗散性和无源性理论。 耗散系统在任意时刻所具有的能量总是小于或等于系统初始时刻的能量和外部提供的能量之和，这种物理意义和无源性完全相同，只是在能量供给方式上更具有一般性5。关于线性系统的耗散性研究，线性定常系统的无源性或传递函数的正实性首先是人们关注的焦点。 传递函数的正实性是线性定常系统的一种重要性质，在绝对稳定性分析、超稳定性理论、无源性分析、二次优化控制及自适应控制理论等多个领域中应用广泛。近年来，受鲁棒稳定性分析中参数化方法的刺激，正实性综合受到了广泛的关注。关于非线性系统的耗散性研究，一般非线性系统的耗散

46、性研究主要集中在仿射系统的无源性及无源化上。Molan 将 KYP 引理推广到了仿射非线性系统的情形，并证明了对仿射非线性系统，在局部能控的假设下，输入输出无源性和基于状态空间的无源性定义是等价的。而Hill研究了无源性和稳定性之间的关系，揭示出零状态可观系统的储能函数是正定的，从而断定这样的无源系统是稳定的， 并进一步指出此时系统可通过无记忆输出反馈渐近镇定。这就是说， 对无源系统，只要零状态可观测。简单的单位负反馈就可使系统渐进稳定6。这些研究成果为控制系统的无源性设计方法奠定了理论基础。无源性理论是当今非线性系统分析和设计的重要工具，而使系统无源即系统的无源化成为基于无源分析的控制系统设

47、计的关键。本文从非线性系统出发，给出耗散性的定义和相关性质。4.1 耗散性定义定义 4.1 考虑式 (3-2)系统及能量供给率( , )s u y 。 若存在半正定的存储函数( )( (0)0)V x V使得耗散不等式(4-1)对于任意输入u成立，则称该系统对能量供给率( , )s u y 是耗散的。显然，无源性是耗散性的一种特例，即如果系统对于供给率( , )Ts u yy u是耗散的，那么就称该系统是无源的。在非线性控制理论中，还有一种重要的供给率就是所谓的供给率2221( , )2s u yuy(4-2) 其中，0为给定正数。表示对向量的欧几里得范数。如果式 (3-2)系统对于式 (4-

48、2)供给率是耗散的，则称该系统是耗散的。 如果式 (3-2)系统是耗 散 的 ， 那 么 ， 沿 任 意 零 初 始 状 态 所 对 应 的 轨 迹 ， 不 等 式222010( ( ),2tV x tuydt对于任意的输入u 都成立，注意到(0)0V，即对任意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 电网络分析选论结课论文14 0t，有22200( )( ),ttydudu。如果进一步假设系统对于任意2uL ，有2y

49、L ，那么，该系统作为输入信号空间到输出信号空间的算子yuT，其诱导范数yuT满足2202supyuuyTu(4-3) 式中，220uud为2L 范数，或者222200( )( ),0,TTyduduLT(4-4) 对于任意给定的0T成立。不等式(4-3)的左端为式 (3-2)系统的2L 范数的定义。若式(4-3)或式(4-4) 成立，则称式 (3-2)系统具有小于或等于的2L 增益。当存储函数( )V x 光滑可微时，耗散不等式(4-1) 就可以等价地表示为其微分形式(,),0,Vs uyt或者耗散不等式等价于2221,02Vuy。综合上述讨论。 ，有下面的引理。引理 4.1 对于给定的正数

50、0， 若式 (3-2)系统是耗散的，则该系统具有小于或等于的2L 增益。定理 4.1 考虑式 (3-6)非线性系统。对于给定的正数0， 存在光滑可微的存储函数( )V x使得系统是耗散的充分必要条件是2( )( )0,TIdx d xx(4-5) 成立，且存在适合的函数向量( )l x 和( )w x 满足21( )( ) ( )( ) ( )2( )( ) ( )2( )( )1( )( )( ) ( )2TTTTTTVf xhx h xlx l xxVg xhx d xlx w xxw xw xIdx d x(4-6) 推论 4.1 对于给定的0，式 (3-8)系统对于二次型正定存储函数1