2022年人教九年级数学初二数学二次根式经典题型 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第二十一章二次根式知识与技能1理解二次根式的概念2 理解a（a0） 是一个非负数，（a）2=a （a0） ，2a=a（a0） 3 掌握abab（a0， b0） ，ab=ab；ab=ab（a0，b0） ，ab=ab（a0，b0） 4 了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减211 二次根式例当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？分析 ：要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的0 和11x中的 x+10解：依题意，得23010 xx由得： x-32由得： x-1 当 x-32且 x-1 时，23x+11x在实数范围内有意义大练兵(1)

2、已知 y=2x+2x+5，求xy的值(2)若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值同步练习一、选择题1下列式子中，是二次根式的是（）A-7B37CxDx 2下列式子中，不是二次根式的是（）A4B16C8D1x3已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A5 B5C15D以上皆不对二、填空题1形如 _的式子叫做二次根式2面积为 a的正方形的边长为_3负数 _平方根三、综合提高题1某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要， ?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2当 x 是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？3若3x+3x有意义，则2x=_4.使式子

3、2(5)x有意义的未知数x 有（）个A0 B1 C2 D无数5.已知 a、b 为实数，且5a+2102a=b+4，求 a、b 的值21.1 二次根式 (2) 应用拓展例计算1 （1x）2（x0）2 （2a）23 （221aa）24 （241 29xx）2分析 ： （1）因为x0，所以x+10； （2）a20； （3）a2+2a+1=（a+1） 0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20所以上面的4 题都可以运用（a）2=a（a0）的重要结论解题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

4、心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解： （1）因为 x0，所以 x+10 （1x）2=x+1 （2）a20，（2a）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，221aa=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 又（ 2x-3）20 4x2-12x+90，（24129xx）2=4x2-12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 一、选择题1下列各式中15、3a、21b、22ab

5、、220m、144，二次根式的个数是（） A4 B3 C2 D1 2数 a没有算术平方根，则a的取值范围是（） Aa0 Ba0 Ca0 Da=0 二、填空题1 （-3）2=_2已知1x有意义，那么是一个_数三、综合提高题1计算（1） （9）2（2）-（3）2（3） （126）2（4） （- 323）2 (5) (233 2)(233 2)2把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x0）3已知1xy+3x=0，求 xy的值4在实数范围内分解下列因式: （1）x2- 2 （2）x4-9 3x2-521.1 二次根式 (3) 应用拓展例 2 填空： 当 a0

6、时，2a=_； 当 aa，则 a 可以是什么数？分析：2a=a （a0） ，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“ （）2”中的数是正数，因为，当a0时，2a=2()a，那么 -a0（1）根据结论求条件； （2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（ 1） 、 （2）可知2a=a，而 a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使 aa 所以 a不存在；当 aa，即使-aa ，a0 综上，a2，化简2(2)x-2(1 2 )x一、选择题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

7、 - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12211(2)( 2)33的值是（） A0 B23C423D以上都不对 2a0时，2a、2()a、-2a，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（） A2a=2()a-2aB2a2()a-2a C2a2()a2a=2()a二、填空题 1-0.0004=_2若20m是一个正整数，则正整数m 的最小值是 _三、综合提高题1先化简再求值：当a=9 时，求 a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）

8、=2a-1=17两 种 解 答 中 ， _的 解 答 是 错 误 的 ， 错 误 的 原 因 是_2若 1995-a+2000a=a，求 a-19952的值（提示：先由a-20000，判断 1995-a? 的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3x2时，试化简x-2+2(3)x+21025xx。212 二次根式的乘除四、应用拓展例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）( 4)( 9)49（ 2）1242525=4 122525=4122525=412=83解： （1）不正确改正：( 4)( 9)=4 949=23=6 （2）不正确改正：1242525=1122525=1122

9、525=112=16747一、选择题1若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm 和12cm，?那么此直角三角形斜边长是（） A32cm B33cm C9cm D27cm 2化简 a1a的结果是（） Aa Ba C-a D-a3等式2111xxx成立的条件是（） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1 或 x-1 4下列各等式成立的是（） A4525=8 5 B5342=205C4332=75 D5342=206二、填空题11014=_2 自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为 10m/s2） ，若物体下落的高度为720m，则下落的时间是 _三、综合提高题1一个底面为 30cm

10、30cm 长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2探究过程：观察下列各式及其验证过程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（1）223=223验证：223=2223=2223=332(22)233=3222222222(21)221212121=223（2）338=338验证： 338=23

11、38=338=3233331=222223(31)33(31)3313131=338同理可得： 4444151555552424，通过上述探究你能猜测出：a21aa=_（a0）,并验证你的结论212 二次根式的乘除四、应用拓展例 3已知9966xxxx，且x 为偶数，求（1+x）22541xxx的值分析： 式子ab=ab，只有 a0，b0 时才能成立因此得到9-x 0 且 x-60，即 6x9，又因为x 为偶数，所以x=8解：由题意得9060 xx，即96xx60 ，n0）（ 2） -3222332mna（232mna）2amn（a0）21.2 二次根式的乘除(3) 四、应用拓展例 3观察下列

12、各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1 ( 21)2121( 21)( 21)=2-1，132=1 ( 32)3232( 32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+12 0 0 22 0 0 1） （2002+1）的值分析： 由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解 ： 原 式 = （2-1+3-2+4-3+ +2002-2001）（2002+1） =（2002-1 ） （2002+1） =2002-1=2001 一、选择题 1 如果xy（y0

13、） 是二次根式，那么，化为最简二次根式是 （） Axy（y0） Bxy（y0） Cxyy（y0）D以上都不对 2把（a-1 ）11a中根号外的 （a-1）移入根号内得（） A1aB1aC -1aD-1a3在下列各式中，化简正确的是（）A53=315B12=122C4a b=a2bD32xx=x1x4化简3 227的结果是（）A-23B-23C-63D-2二、填空题 1化简422xx y=_ （x0） 2a21aa化简二次根式号后的结果是_三、综合提高题 1已知 a 为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解答过程：解：3a-a1a=aa-a 1a

14、a= （a-1）a 2若x 、y 为实数，且y=224412xxx，求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载xyxy的值21.3 二次根式的加减(1) 应用拓展例 3已知4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值分析： 本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1 ）2+（y-3 ）2=0，即 x=12，y=3其次，根据二次根式的加减运

15、算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值解： 4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1 ）2+（y-3 ）2=0 x=12，y=3 原式=293xx+y23xy-x21x+5xyx =2xx+xy-xx+5xy =xx+6xy当 x=12，y=3 时，原式=1212+632=24+36一、选择题 1以下二次根式： 12；22；23；27中，与3是同类二次根式的是（） A和 B和 C和 D和 2 下 列 各 式 ： 33+3=63； 177=1 ； 2+6=8=22；243=22，其中错误的有 （） A3 个 B2 个 C1 个

16、 D0 个二、填空题 1在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是_三、综合提高题 1 已知52.236 ， 求 （80-415） - （135+4455）的值 （结果精确到0.01 ） 2先化简，再求值（6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy） ，其中 x=32，y=2721.3 二次根式的加减 (2) 应用拓展例3若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b 的值 （?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最

17、简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成 |b| 26ab，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式：23226abbb=2(216)ba=|b|26ab由题意得432632ababab24632ababa=1，b=1 一、选择题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎

18、下载 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5 和 5，那么斜边的长应为（） （?结果用最简二次根式） A52 B50 C25 D以上都不对 2 小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和 20cm的长方形的木框，?为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米 （结果同最简二次根式表示） A 13100B1300C 1013D513二、填空题 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2 倍，它的面积是1600m2，?鱼塘的宽是 _m （结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，?那么这个等腰直角三角形的周长是_ （结果用最简二次根式）三、综合提高题

19、1若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m 、n 的值 2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（2-1 ）2=（2）2-2 12+12=2-22+1=3-22反之， 3-22=2-22+1=（2-1 ）2 3-22=（2-1 ）2 32 2=2-1 求： （1）32 2；（2）42 3；（3）你会算412吗？（4）若2ab=mn，则 m 、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由

20、21.3 二次根式的加减 (3) 应用拓展例 3已知xba=2-xab，其中 a、b 是实数，且 a+b0，化简11xxxx+11xxxx，并求值分析：由于（1x+x） （1x-x）=1，因此对代数式的化简， 可先将分母有理化， 再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结果即可解：原式=2(1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx=2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx=（x+1）+x-2(1)x x+x+2(1)x x=4x+2 xba=2-xabb（x-b ）=2ab-a（x-a ）bx-b2=2ab-ax+a2（a+b）x=a2+2ab+

21、b2（a+b）x=（a+b）2a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2 一、选择题 1 （24-315+2223）2的值是（） A2033-330 B330-233 C230-233 D2033-30 2计算（x+1x） （x-1x）的值是（） A2 B3 C4 D1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二、填空题 1 （-12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是_2 （1-23）

22、（1+23）-（23-1 ）2的计算结果（用最简二次根式表示）是 _ 3若 x=2-1 ，则 x2+2x+1=_ 4已知 a=3+22，b=3-22，则 a2b-ab2=_三、综合提高题 1化简5710141521 2当x=121时，求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值 （结果用最简二次根式表示）课外知识 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同， ?这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习 ：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（） A2x与2y B3489a b与5892a bCmn与n Dmn与mn 2互为有理化因

23、式： ?互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b） （a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式： 如 x+1-22xx与 x+1+22xx就是互为有理化因式；x与1x也是互为有理化因式练习 ：2+3的有理化因式是 _； x-y的有理化因式是 _ -1x-1x的有理化因式是 _ 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的练习： 把下列各式的分母有理化（1）151；（2）112 3；（3）262；（4）3 34 23 34 2 4 其 它 材 料 ： 如 果n是 任 意 正 整 数 ， 那 么21nnn=n21nn理由：21nnn=332211nnnnnn=n21nn练 习 ：填 空223=_ ；338=_ ；4415=_二次根式复习课名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -