2022年行列式的变换收集 .pdf

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1、课题n 阶行列式作者： 李朝霞院校： 济源职业术学院时间： 05 年 7 月授课方式讲授课 时2 学时教学目的与要求 1 理解 n 阶行列式的定义 2 掌握行列式的性质 3 掌握计算行列式的两种基本方法(上三角形法和降阶法）讲授重点理解行列式的性质；掌握计算行列式的方法讲授难点运用上三角形法和降阶法进行行列式的计算课题： n 阶行列式教学过程 ：n 阶行列式的概念：为了求解 n 阶线性方程组，需要将二、三阶行列式的概念推广到n 阶行列式上去 . 已知一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，即这个式子给出了以二阶行列式来定义三阶行列式的方法：三阶行列式等于它的第一行元素与相应的二阶行列式乘积的

2、代数和 . 类似的，可以用三阶行列式定义四阶行列式为111213222321232122212223111213323331333132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 仿照这种由低级行列式定义高一级行列式的方法，如果阶行列式已经定义，那么n 阶行列式就可以用个阶行列式来定义定义 1：行列式，叫做阶行列式， 设阶行列式已经定义，则阶行列式的值为其中称为阶

3、行列式的元素，称为主对角线上的元素 . 定义 2 在阶行列式中，元素的余子式是在中划去所在的行和列， 余下的元素按原来的顺序组成的阶行列式 . 元素的余子式的前面添加符号称为元素的代数余子式 . 记为即行列式的性质与计算（一） 、阶行列式的性质1112131422232421232421222421222321222324113233341231333413313234143132333132333442434441434441424441424341424344aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1nn1n11121

4、2122212nnnnnnaaaaaaDaaannn22232212322121212323333133331313131111212313111(1)nniinnniiniinnnnnnnnnnininnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaa21222131323111121( 1)nnnnnnnnaaaaaaaaaa( ,1, 2,)ijaijnn1122,nnaaanDijaijMDija1nijaijM(1)ijijaijA(1)ijijijAMn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

5、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 性质 1 （交换性质）行列依次互换，行列式的值不变. 性质 2 （倍乘性质）某行（列）所有元素同乘以数，所得行列式的值等于原行列式的倍. 性质 3 行列式中有一行（列）各元素全为零，则该行列式的值为零. 性质 4 对换行列式任意两行（列）式的位置，行列式反号. 性质 5 行列式中有两行（列）元素对应相同，则行列式的值为零. 性质 6 行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零. 性质 7 如果行列式中有一行（列）各元素都可以写成二项之和，则此行列式等于两个行列式之和，并且这两个

6、行列式除了这一行（列）外，其余元素与原行列式的对应元素相同. 性质 8 （倍加性质）把某一行（列）各元素的倍加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变. 例 1 计算行列式的数值（特例这三种行列式的值等于主对角线的乘积）（1）对角行列式；（2）左下三角行列式；kkk1122331122000000000000nnnnaaaaaaa1121223132331122123000000nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17

7、 页 - - - - - - - - - （3）右上三角行列式. （二）、阶行列式的计算定理行列式的值等于它的任一行（列）所有元素与其相对应的代数余子式作乘积之和. 即（按第 行展开）（按第列展开）（其中）推论行列式某一行（列）各元素与其另一行（列）对应的代数余子式作乘积，其和为零. 即，（其中且）如果把定理和推论合起来简记为：阶行列式的计算方法很多，现在介绍两种常用的方法：1上三角形法：具体步骤如下：利用行列式的性质，以所在行为准将其下方的元素化为零，直至化为一个上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求阶行列式的值 . 可以证明：任何一个行列式经过一系1112131222323331

8、122000000nnnnnnnaaaaaaaaaaaaanD1122iiiiininDa AaAA Ai1122jjjjnjnjaAaAAAj,1, 2,ijnD11220ijijinjnaAaAA A11220ijijninjaAaAAA,1, 2,ijnij11,1, 2,0,nnikjkkikjkkD ijaAaAijnijn112211,nnaaan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 列变换总可以化成上三

9、角形行列式. 注意：行列式的变换必须是“保值” （“等值” ）的变换。2降阶法 （利用性质 8 和定理 ）利用行列式性质（特别是性质8）将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元素，然后再利用定理按此行（列）展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去，直至降为一个三阶或二阶行列式。例 1：计算行列式：解：方法一： 上三角形法即 化为上三角行列式方法二： 降阶法1111112041205042D2131234111111111111141120021001204120032402345504205130153rrrrccDrr3234421111111120120012011(7)170074007

10、400730001rrrrrr2112311111111123211202032113114120301154250425042rrDrr按 第 二（）列 展 开名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 课堂练习 ：1. 用适当的方法计算下列行列式（1）（2）解：（ 1）（2）课程小结 ：通过本次课学习：理解n 阶行列式的定义；掌握行列式的性质；能灵活运用两种基本方法（上三角形法和降阶法）计算行列式. 作业 ：略矩阵的秩

11、与初等变换122332850285(1) 31111711621160rrrr按 第 三（）（）列 展 开2141312112325062DxyxyDyxyxxyxy312112312141214156256231215062113501350012323050256200050625062rrrrDrr按 第 二（）（）列 展 开12113221(22)22(22)1221xyxyxyyxyyxycccxyDyxyxxyxyxxyxyxccxyxyxyxyxy3121223211(22)0(22)0(22)2440002yxyyxyrrrrxyxyxyxyxyxyx yxyrryyxy名师资

12、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 教学目的与要求：1理解矩阵的秩的概念2掌握矩阵的初等变换的概念和性质3掌握用初等变换化矩阵为行阶梯矩阵的方法、求矩阵的秩、求逆矩阵、求解矩阵方程教学重点： 矩阵的秩的概念 ; 用矩阵的初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵. 教学难点： 用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵；灵活运用初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵. 教学方法： 讲授教学时间： 3 学时教学过程：矩阵的“秩”是矩阵理论中具有重要意义的概

13、念，它与线性方程组解的结构有着密切关系. 矩阵的初等变换，是矩阵的一种最基本的运算，有着广泛的应用，例如可以利用它来计算矩阵的秩和求可逆矩阵的逆矩阵，在研究线性方程组问题上它也起着重要作用。矩阵的秩定义 1 在矩阵中，位于任意选定的行，列交点处的个元素，按原来次序组成的阶矩阵的行列式，称为的一个阶子式，如果子式的值不为零，就称之为非零子式。例如：在第 1、3 行第 2、5 列交点处的 4 个元素按原来的次序组成的行列列式，称为的一个二阶子式，它是一个非零子式。Akk2kkAk12345012340012300012A2503A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

14、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 定义 2 一个矩阵，若至少有一个不为零的阶子式，而所有高于阶的子式都为零，则称 矩阵的秩为，记为。若没有不等于零的子式，就称的秩为零，即对于阶方阵，若，则称为降秩方阵 ；若, 则称为满秩方阵 。显然可逆方阵是满秩方阵。显然，一个矩阵的秩是唯一确定的。例 1：求矩阵：的秩。解: 矩阵第 1行与第 4 行对应元素成比例，因而任何4 阶子式都为零，但有一个3 阶子式, 于是. 例 2：求矩阵的秩。AkkAk()R AkAA()0R AnA()R AkA

15、()R AnA130540107370535260108AA13001050705()3R A22131238212124B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解: 有一个二阶子式，而的所有三阶子式 , 所以. 定义 3 如果一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行左起第一个非零元素） 出现在上一行首元素的右边，同时，元素全为零的行全在下面，这样的矩阵称为阶梯形矩阵 。阶梯形矩阵能直接看出矩阵的秩是多少. 例如：，容易

16、看出. ，也就是的不全为零的行数，因为它有不全为零的阶梯状的三行，所以一定有一个上三角三阶子式不为零，而大于三阶的子式一定都是零。同理，得出结论：阶梯阵的秩等于不全为零的行数。下面介绍一种方法能将一般的矩阵化为阶梯阵而不改变矩阵的秩，这就是矩阵的初等变换。矩阵的初等变换B220312B()2R A12534004120006700000A723460806300500B()3R AA()3R B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - -

17、- - - - 矩阵的初等变换在求矩阵的秩和逆矩阵以及解线性方程组等问题有着重要的作用. 在利用消元法解线性方程组时，经常反复使用这样的三种方法：（1） 互换两个方程的位置；（2） 用一个非零的乘某一方程；（3） 用一个数乘某一方程后，加到另一方程上去。现在称（ 1）为互换变换，（ 2）为倍法变换，（ 3）为消去变换，这三种变换中做线性方程组的初等变换。显然，线性方程组经过初等变换后其解不变。下面把初等变换的概念引入矩阵。定义 3 矩阵的初等行（列）变换是指对矩阵进行以下三种变换：（1）互换变换矩阵的两行（列）互换位置。用表示交换第行和第行；用表示交换第两行。（2）倍法变换用一个不等于零的数乘

18、矩阵某一行（列）的所有元素。用表示用乘第 行；用表示用ijrijijc, ijikrkiikc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 乘第行。（3）消去变换把矩阵某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）的对应元素上去。用表示乘第 行加到第行上去；用表示乘第 列加到第列上去。以上三种变换分别简称为 换法行（列） 变换，倍法行（列） 变换与消去行（列） 变换，统称为 矩阵的初等变换。(一). 利用矩阵的初等变换来求秩定义

19、 4： 矩阵经过有限初等变换成为矩阵，称矩阵与矩阵等价。记为：定理 ：若，则，即等价矩阵的秩相同。此定理说明矩阵经过初等变换后秩不变。因此，可以仅用初等行变换把矩阵变为阶梯形矩阵，其非零行的个数即是矩阵的秩。. 因为将换行变换、倍缩变换或消去变换施加于行列式，则行列式的值仅仅是改变符号、非零倍缩或保持不变，初等变换不改变行列式的非零性。kikjirkrkijjickckijABABABAB()()R AR B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 -

20、- - - - - - - - 例 3：设矩阵：，求的秩。解：故，即的秩为 2。任一个矩阵都可以经过一系列初等变换化为如下的最简形式，称为的标准形。其特点是左上角是一个阶单位阵，其他元素都是零 . 特别当为阶可逆方阵，的标准形为单位阵. ( 二). 利用矩阵的初等行变换求逆矩阵在给定矩阵右边补上一个和它同阶的单位矩阵，然后对该矩阵经过一系列的初等变换（只能进行行变换，不能进行列变换），把左边的给定的矩阵化为单位矩阵，右边的单位阵相应的就化为给定矩阵的逆矩阵，1210215311433096AA213132414223212101210121021530333033311430333000030

21、9606660000rrrrrrrrrrA()2R AAmnArEoooAr()R ArAnAEAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 并且还可以判别是否可逆。即：设可逆，作矩阵，当用左乘得根据矩阵理论， 这相当于对矩阵作初等行变换。 当矩阵的左半部分化为单位方阵时，右半部分就得到了。而当左半部分某一行或几行变为全是零时，说明矩阵不可逆，即不存在。例 4. 设矩阵：求. 解：AA2nnA E1AA E1111AA

22、 EAA AEEAA E2nnA EE1AA1A123221343A1A2112313223123 100123100102110221 010025210025210343 001026301001111rrrrrrrrA E12132233()25(1)13210013210035020365010322001111001111rrrrrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 所以. 已知方阵可逆的充分必要条件

23、为是非奇异的，即，因此，当方阵的秩时，所以方阵是不可逆的。 对于这样的方阵运初等行变换， 必会使得方阵的某些全变为零， 所以，用初等变换求一个方阵的逆矩阵时，不必先判别这个方阵是否可逆。如果在行变换过程中发现某一行的所有元素全变成零，就可知道这个方阵是不可逆的。如在例 3 中，对于方阵由于，因而方阵是不可逆的 . ( 三). 利用矩阵的初等变换求解矩阵方程所求的矩阵方程是指含有未知矩阵的方程两边，如, 其中为未知矩阵 . 这里只讨论都是阶方阵，且是可逆矩阵的情形 . 对于矩阵方程， 根据前面所掌握的知识， 只需要求出， 并且再左乘方程两边， 可得但如果方阵的阶数比较大时，计算量很大，这时我们可

24、以采取以下格式进行初等变换求解，比较方便. 为了求出，对下面形式的矩阵进行初等变换113235322111AAA0AA()R An0AAAAAA()24R AAAXBX,A XBnAA XB1A1XAB1AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 当化为单位矩阵时，便化为，可以证明就是所要求的例 5. 解矩阵方程，其中解：所以课堂练习 ：1.求矩阵的秩A EE D初 等 变 换AEBDD1ABAXB101101210

25、,210325103AB1XAB3221312231011011011011011012102100124120124123251030224000021224rrrrrrA B13132232101104100511012412010812001612001612rrrrr1511812612XAB1253301124301299A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解：故，即的秩为 3 2.设矩阵：求解：所以

26、. 3. 解矩阵方程，其中21314341322125312531253301106161006161024300076007612990014120000rrrrrrrrA()3R AA321315323A1A2112312322321 100321100309120315 010014110010112323 001002101002101rrrrrrrrAE113113223()9()2(1)7237923001006322201011201011200210100111022rrrrr172363211211022AAXB308112316,134205205AB名师资料总结 - -

27、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解：所以课程小结 ：本次课讲授了矩阵的秩与矩阵的初等变换的概念；介绍了用初等变换化矩阵为行阶梯矩阵的方法；要求熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵. 1XAB13212331242633081123081123003315150316134012242010100402052051421914219000033333333rrrrrrrrA B1231()3(1)3100 11550010 100400014219rrr111550100404219XAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -