最新动能定理幻灯片.ppt

《最新动能定理幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新动能定理幻灯片.ppt（74页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、动能定理动能定理213-213-113-3 动能定理动能定理13-4 势力场势力场势能势能机械能守恒定理机械能守恒定理动能动能力的功力的功9上式右端第一项上式右端第一项即，即，质点系在绝对运动中的动能质点系在绝对运动中的动能, ,等于它随质心一起平动时的动能等于它随质心一起平动时的动能, ,加上它加上它在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能。在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能。这就是这就是柯尼西定理。柯尼西定理。 r22TvmTCrrr22iiiiCiCCimmmTvvvvvv第三项等于第三项等于 mivir2/2 = Tr 是质点系在相对运动中所具有的动能。记为是质点系在相对运动

2、中所具有的动能。记为Tr2221)(212CCiimmmvvvvCC第二项第二项0)(21)(212rrrCCCiiiCimmmvvvvvv是质点系随质心一起平动时的动能是质点系随质心一起平动时的动能. .所以质点系的动能所以质点系的动能10匀质杆,m, L, 计算刚体的动量、动量矩、动能计算刚体的动量、动量矩、动能O（C）m ,R , ,匀质圆盘CM,R,匀质圆轮,纯滚动OCmRmvpccccmRvmRJL21212222432121cccmvJmvT11 系统如图所示，轮系统如图所示，轮的质量为的质量为m1，纯滚动，纯滚动，AO杆的质量为杆的质量为 m ，角速，角速度为度为 ，求系统的动能

3、。，求系统的动能。212122121AAJvmT21TTT212121122112)(21(21)(21rrrrmrrmT22112)(43rrmT1211rrr )(21rrvA 练习题C是轮是轮上的点，上的点，JC是绕是绕C点的转动惯量，点的转动惯量， 是否成立？是否成立？2112112112112321rmrmrmrmJJAC21221CJT 22211)(61rrmT12已知滑块已知滑块A的质量为的质量为 m1，质点，质点B的质量为的质量为m2 , AB杆的杆的长度为长度为 l、不计质量，以角速度、不计质量，以角速度AB绕绕 A点转动，滑块点转动，滑块的速度为的速度为vA。求系统的动能

4、。求系统的动能。滑块滑块A的动能的动能质点质点B的动能的动能22221BvmT ABBAlv cosBA xABvl sinBA yABvl2222221cos)(21ABABAAlmlvmvmmTBAABvvv21121AvmT 解：解：m1m2BlAB13 已知滑块已知滑块A的质量的质量为为 m1；匀质杆；匀质杆AB的长的长度为度为l、质量为、质量为m2，以，以角速度角速度AB绕绕 A点转动点转动。圆盘。圆盘B的质量为的质量为m3 , 半径为半径为r，与杆固连；，与杆固连；滑块的速度为滑块的速度为vA，求系，求系统的动能。统的动能。m1Oxxym2BlyABCr 思考题14坦克或拖拉机履带

5、单位长度质量为坦克或拖拉机履带单位长度质量为 ，轮的半径为，轮的半径为r，轮，轮轴之间的距离为轴之间的距离为d，履带前进的速度为，履带前进的速度为v0 。求：全部履带求：全部履带的总动能。的总动能。v0d 解：解：在在C1C2杆上建立杆上建立动系动系C1xy。 牵连运动为水平平牵连运动为水平平移，牵连速度为移，牵连速度为v0； 相对运动为绕在两相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速带的运动。圆轮的角速度为度为 v0/r ,履带上各履带上各点的相对速度均为点的相对速度均为v0 。v0 xy15 解：解：应用柯希尼定理，全部履带的总动能为应用柯希尼定理，全部履

6、带的总动能为reTTT2020)2(2d21)2(2d21vrvr)(d220rvv0dxyv01613-2 力 的 功功的概念几种常见力的功作用于质点系上的力系的功17一、功的概念一、功的概念在一无限小位移中力所做的功称为在一无限小位移中力所做的功称为元功元功力在一段路程中对物体力在一段路程中对物体作用的累积效果。作用的累积效果。cosWFdsddddxyzFF iFjF krx iyjzkdWFrdddxyzWFxFyF z221112dMMMMWWF r OA1AFxyzA2vr+drrdsdr1821)(d21zzGhzzGzGW重力在曲线路程重力在曲线路程 A1A2 上的功为上的功为

7、（2）重力的功与运动路径无关。（1）重力的功等于重力与重心高度降的乘积。（3）重心下降，重力作正功；否则，重力做负功。二、 几种常见力的功1 1 重力的功OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)对于质点系)(C2C112zzmgW19弹性力弹性力 F 在曲线路程在曲线路程 A1A2 中的功中的功 )(2222112kW(2)弹性力的功与运动路径无关。(1)弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。(3)弹簧的变形量减小弹性力作正功；否则，做负功。OA1drA2r1rr2FA2 2、 弹性力的功0:()Fk rlr r弹簧力2211120()

8、MMMMWdk r ldrrF rr20三、 作用于质点系上的力系的功1 1、 平动刚体上力的功平动刚体上力的功OdrxrFAvyzCdrC vC W = F v dt = = F v C dt W = = F dr = = F drC或或2 2、 定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功在刚体由角在刚体由角 1 转到角转到角 2 的过程中，力的过程中，力 F 的总功为的总功为特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为W = mz(F) (2 1) d)(21FmWz作用于定轴转动刚体上的力的功，等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分

9、。OkdrxrFAvdyz rdFdsFW 213 3、 平面运动刚体上力的功平面运动刚体上力的功 设一刚体在设一刚体在力力 F 作用下作平面运动，其质心在作用下作平面运动，其质心在 C 点，速度是点，速度是 vC ，刚体上点刚体上点 A 的速度是的速度是 vA , , 则力则力 F 的元功的元功2). 2). 总总 功功1). 1). 元元 功功 W = = F vA dt = = F （v C + vAC ）dt W = = F d dr C + mC ( F ) d rFACvCvCvACvAd = = F v C dt + F vAC dt = = F d dr C + F ( ( r

10、 ) ) dt = = F d dr C + mC ( F ) d作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心平动中的功与力对质心的矩在刚体转动中的功之和。22 半径为半径为2r 的圆轮在水平面上的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为绳，轮轴半径为r，绳上作用常值，绳上作用常值水平拉力水平拉力F，求轮心，求轮心C运动运动x 距离距离时，力时，力F 所作的功。所作的功。 rxFrFx2W = F x mC ( F )解：Fx21 思考题Ox2rrC23约束力元功之和等于零的约束称为。4 4、理想约束约束反力的功、理想约束约束反力的功（1 1）

11、光滑固定面）光滑固定面（2 2）光滑铰链或轴承约束）光滑铰链或轴承约束（3 3）刚性连接的约束）刚性连接的约束（4 4）联接两个刚体的铰链）联接两个刚体的铰链（5 5）柔性而不可伸长的绳索约束）柔性而不可伸长的绳索约束244). 圆轮沿支承面滚动时，摩擦力圆轮沿支承面滚动时，摩擦力(约束力约束力)的功。的功。 因为因为Cv 为速度瞬心，其速度为零。所以作用为速度瞬心，其速度为零。所以作用在在Cv点的静摩擦力点的静摩擦力F 所作元功为所作元功为tdvF frdFWCvNCvF0tdvFWCv（1）圆轮连滚带滑运动时，动摩擦力）圆轮连滚带滑运动时，动摩擦力F 所作元所作元功为功为（2）圆轮纯滚动时

12、，这时出现静摩擦力）圆轮纯滚动时，这时出现静摩擦力F 。25 这里这里 d(A1A2) 代表两质点间距离代表两质点间距离 A2A1 的变化量，它和参考系的选择无关，的变化量，它和参考系的选择无关，在一般质点系中，两质点间距离是可变的，在一般质点系中，两质点间距离是可变的，因而，因而，可变质点系内力所做功的总和不一定可变质点系内力所做功的总和不一定等于零。等于零。 但是但是, ,刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体刚体内力所做功的总和恒等于零。内力所做功的总和恒等于零。 W = F1d(A1A2)dr1dr2r1A1OA2F2F1r15 5、 质点

13、系和刚体内力的功质点系和刚体内力的功 设质点系内有两质点设质点系内有两质点 A1 和和 A2 ,相相 互间作用着内力互间作用着内力 F1 和和 F2 = F1 。两质。两质点的元位移分别是点的元位移分别是 dr1 和和 dr2 , 可得内力可得内力 F1 和和 F2 的元功之和的元功之和26 作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。间的内力；气体质点与气缸内

14、壁间的内力；这些内力都要作功。 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。 弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。27a）图中轮子在）图中轮子在FT作用下纯滚动作用下纯滚动S距离；距离；b）图中轮子由细绳缠绕下滑）图中轮子由细绳缠绕下滑S距离。距离。求：求： FT 做的功。做的功。方法方法1：根据元功的定义：根据元功的定义图图a）：图图b）：方法方法2：根据力系等效，将：根据力系等效，将FT平移至轮心，平移至轮心，附加一力偶附加一力偶图图a）：图图b）：基本概念基本概念功功dtvFWAT0A0TFWCAv2sFWTFT

15、2rsrFsFWTTFT0-rsrFsFWTTFT28基本概念基本概念功功圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量定理、动量矩定理可互换。定理、动量矩定理可互换。圆轮受力如图圆轮受力如图mgfFsrvCWTT0根据根据) (212122ssFFsmvJsCC两边对两边对t求导求导)(rvFFvamvJCsCCCC比较系数比较系数sCsCFFmarFJ2913-3 动 能 定 理质点系动能定理质点动能定理30 动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的数量关系。数

16、量关系。 设质量为设质量为 m 的质点的质点 A ，在力作用下在力作用下 F 沿曲沿曲线由线由 A1 运动到运动到 A2 ，它的速度由，它的速度由 v1 变为变为 v2 。两边点乘速度两边点乘速度 v , ,得得mv dv = F vdtFvatmmdd一、质点动能定理一、质点动能定理1. 1. 微分形式微分形式由牛顿第二定理由牛顿第二定理tmddFv 1. 1. 微分形式微分形式31即，即，质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功，这就是质点动能定理的这就是质点动能定理的微分形式微分形式。将上式沿路程将上式沿路程 A1A2 积分，得积分，得上式右端就是

17、作用力的元功，左端可改写成上式右端就是作用力的元功，左端可改写成 mv dv = md(v v)/2 = d(mv2/2)，从而得从而得W)mv21d(2mv dv = F dr式中式中 W 表示力表示力 F 在路程在路程 A1A2 中的功。中的功。可见，可见，质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质点的各力在该路程质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质点的各力在该路程中所做的功中所做的功。这就是质点动能定理的。这就是质点动能定理的积分形式积分形式。Wmvmv212221212. 2. 积分形式积分形式32即，即，质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和质点系动能的微分等于作用

18、于质点系各力的元功的代数和，这就是这就是质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式。dT= W i对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得因因故上式可写成故上式可写成i2iiW)2vmd(Tvmvmiiiid)2(d)2d(22W)mv21(d2由质点由质点动能定理的微分形式动能定理的微分形式1.1.微分形式微分形式二、质点系动能定理33式中式中 T1 ， T2 分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。上动能。上式表明式表明质点系的动能在某一路程中的改变量质点系的动能在某一路程中的改变量,

19、,等于作用于质点系的各力在等于作用于质点系的各力在该路程中的功的代数和该路程中的功的代数和。这就是这就是质点系动能定理的积分形式。质点系动能定理的积分形式。T2T1 = Wi将上式积分，得将上式积分，得由微分形式由微分形式 dT= Wi2.2.积分形式积分形式34 一自动卸料车重一自动卸料车重W1 , 装好料后重装好料后重W2 , 自倾斜自倾斜30的斜面上的斜面上无初速地下滑无初速地下滑, 碰着固定的弹簧碰着固定的弹簧, 并压缩弹簧并压缩弹簧, 当料车到达最当料车到达最低点低点(弹簧产生最大压缩变形弹簧产生最大压缩变形)时自动卸料时自动卸料. 然后然后, 依靠弹簧的依靠弹簧的弹力弹力, 把空车

20、弹回到原来的高度把空车弹回到原来的高度. 设所有阻力等于斜面对料车设所有阻力等于斜面对料车法向支承力的法向支承力的20% , 问问W2 与与W1的比值应为多少的比值应为多少?hD 讨论题35 分为两个过程来求解分为两个过程来求解: :(1)(1)装料车从最高位置到最低位置的过程中，用动能定理。装料车从最高位置到最低位置的过程中，用动能定理。(2)(2)空车从最低位置到最高位置的过程中，再用动能定理。空车从最低位置到最高位置的过程中，再用动能定理。hD36 ： 装料车从最高点下滑装料车从最高点下滑, , 又回到最高点又回到最高点, , 对这一往返过程对这一往返过程应用动能定理。应用动能定理。 空

21、车上滑时阻力做功。空车上滑时阻力做功。 装料车下滑时阻力做功。装料车下滑时阻力做功。 下滑时，料的重力做功。下滑时，料的重力做功。 在往返过程中，空车重力在往返过程中，空车重力W1做功也为做功也为0。 在往返过程中，弹簧压缩后又恢复到原长，故弹性力做功为在往返过程中，弹簧压缩后又恢复到原长，故弹性力做功为0。 始、末位置动能：始、末位置动能： T1=T2=0hD37 例题例题 13-4 运送重物用的卷扬机如图运送重物用的卷扬机如图 (a) 所示。已知鼓轮重所示。已知鼓轮重 W1 , ,半径是半径是 r, ,对转轴对转轴 O 的回转半径是的回转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩。在鼓轮上作用着常值

22、转矩 MO , ,使重使重 W2 的的物体物体 A 沿倾角为沿倾角为 的直线轨道向上运动。已知物体的直线轨道向上运动。已知物体 A 与斜面间的动摩擦与斜面间的动摩擦系数是系数是 f 。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴承和轴承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离沿斜面上升距离 s 时物体时物体 A的的速度和加速度。速度和加速度。(a)A2AA1O38 用用v 表示这时物体的速度大小，则鼓轮的角表示这时物体的速度大小，则鼓轮的角速度大小速度大小=v/r，从而有从而有 系统从静

23、止开始运动的，初动能系统从静止开始运动的，初动能 T1 = 0。在。在重物上升的单向路程重物上升的单向路程为为 s 时，系统的动能时，系统的动能 T2 可计可计算如下。算如下。 取鼓轮、绳索和物体取鼓轮、绳索和物体 A 组成的系统为研究对象。组成的系统为研究对象。解：解：22222121vgWJTO2222121)(21vgWrvgW)(2 21222WWrgv(b)OM0W2FNFFOxFOyW1a39根据根据T2 T1=W，有，有在物体在物体 A 上升上升 s 路程中，作用在系统上的力的总功为路程中，作用在系统上的力的总功为sFsWMWOsin2sfWsWrsMOcossin22)(2 2

24、12222WWrgvTT1 = 0 ,(b)OM0W2FNFFOxFOyW1asfWWrMWWrgvOcossin 02222122240物体物体 A 的加速度的加速度把式把式(1)中的中的s看作变值，并求两端对时间看作变值，并求两端对时间 t 的导数，有的导数，有考虑到在直线运动中考虑到在直线运动中 dv / dt = a，ds / dt = v，故，故物体物体 A 的加速度的加速度tsfWWrMWWrtvgvOdd)cossin()(dd22222122sfWWrMWWrgvOcossin 022221222rgrWWfWMaO22212 cos sinOM0W2FNFFOxFOyW1a(

25、1)根号内必须为正值，故当满足根号内必须为正值，故当满足MOW2r(sin+f cos )时，卷扬机才能开始工作。时，卷扬机才能开始工作。41OM0AAa如何求绳子拉力和如何求绳子拉力和物体物体A与斜面间的摩擦力与斜面间的摩擦力？ 思考题m2a=FT Fs mgsin0= FN m2g cos42OM0PArAs 若将重若将重 W2 的物体的物体 A 改变成半径为改变成半径为rA的匀质滚子的匀质滚子，试求，试求滚子滚子A 沿斜面沿斜面上升距离上升距离 s 时物体时物体 A的速度和加速度。的速度和加速度。 思考题OM0APvAaA22222212121AAAOJvgWJT,rvAAAArv动能动

26、能: :sWMWOsin2力的功力的功: :rs43AAPOM0vAsBOM0PArAs 若将重若将重 W2 的物体的物体 A 改变成半径为改变成半径为rA的匀质滚子的匀质滚子，且绳子缠绕在，且绳子缠绕在滚子滚子上，试求上，试求滚子滚子A 沿斜面上升距离沿斜面上升距离 s 时物体时物体 A的速度和加速度。的速度和加速度。 思考题22222212121AAAOJvgWJT,2rvAAAArv动能动能: :sWMWOsin2力的功力的功: :rs244 例题例题 13-5 系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，构成， A，B为铰链，为铰链，D为小滚轮，且

27、为小滚轮，且AD水平。每根杆的质水平。每根杆的质量为量为 m，长度为，长度为 l，当仰角当仰角1=60 时，系统由静止释放。求时，系统由静止释放。求当仰角减到当仰角减到2=30 时，杆时，杆AB的角速度，摩擦和小滚轮的质的角速度，摩擦和小滚轮的质量都不计。量都不计。ABDFE11(a)45系统开始是处于静止，初动能系统开始是处于静止，初动能 T1=0。)2121(212222BDEEABAJmvJT 取整个系统为研究对象，其中杆取整个系统为研究对象，其中杆AB作定轴转动，作定轴转动，而杆而杆BD 做平面运动。做平面运动。 考虑系统由静止开始运动到考虑系统由静止开始运动到2=30 这个过程。这个

28、过程。解解:而末动能等于而末动能等于 由于由于PB= BD = AB，代入上式，得，代入上式，得AB = BDABAB = PBBD 由图由图 (b) 知，杆知，杆BD的速度瞬心在的速度瞬心在P 点，点，BADFEvBvD22BDAB(b)6060P分析点分析点B的速度有的速度有46而而将以上结果代入上式，得将以上结果代入上式，得vE = PE BD)2121(212222BDEEABAJmvJTAB = BD杆杆BD质心质心E的速度的速度= PE AB= PB sin (22 ) AB= l sin 60 AB22121,31mlJmlJEA 222127ABmlTBADFEvBvD2222

29、6060BDAB(b)PvE47从而得杆从而得杆AB在在2=30 时时的角速度的角速度 ( 顺钟向顺钟向 ) 在运动过程中，只有杆的重力在运动过程中，只有杆的重力mg做功，所以作用在系统中的力在运动做功，所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为过程中的总功为由由T2 T1=W 得得 )sin2sin2(221llmgW)13(21)30sin60(sinmglmgl)13(21012722mglmlABlgAB7)13(6BADFEvBvD22226060BDAB(b)PvE222127ABmlT48如何求当仰角减到如何求当仰角减到2=30 时，杆时，杆AB的角加速度？的角加速度？ 思考题BA

30、DFEvBvD90BDAB(b)PvEPB= AB = BD,AB = BDABAB = PBBDvE = PE BD= PE AB由余弦定理由余弦定理 可知可知2cos22)2(222llllPE由于由于则有则有2222)2cos2165(ABmlmlT)sin23(mglW49如何求当仰角减到如何求当仰角减到2=30 时，杆时，杆AB的角加速度？的角加速度？ 思考题BADFEvBvD90BDAB(b)PvE2222)2cos2165(ABmlmlT)sin23(mglW由由T2 T1=W 得得 222)2cos2165(ABmlml)sin23(mgl上式两边求导上式两边求导 ，注意，注意

31、 即可得杆即可得杆AB的角加速度。的角加速度。AB50ABDFE11(a)BAFE22(b) 思考题 若在若在FE之间连接一根刚度系数为之间连接一根刚度系数为k的水平弹簧，当仰的水平弹簧，当仰角角1=60 时为弹簧原长。求当仰角减到时为弹簧原长。求当仰角减到2=30 时，杆时，杆AB的的角速度。角速度。51 例题例题13-6 设质量为设质量为m ，半径为，半径为r的园柱体在一个半径为的园柱体在一个半径为R的大园槽内作无滑动的滚动，如图所示。如不计滚动摩阻，的大园槽内作无滑动的滚动，如图所示。如不计滚动摩阻，求园柱体围绕其平衡位置作微小摆动的周期。求园柱体围绕其平衡位置作微小摆动的周期。 ORA

32、CrE52 其中其中 。至于角速度。至于角速度可以可以这样确定：利用无滑动的条件，接触点这样确定：利用无滑动的条件，接触点A为为瞬时速度中心，因此可得到瞬时速度中心，因此可得到 ，或，或者者 。)rR(vCrvCrrRrvC222222121r)rR(J)rR(mTC系统的动能系统的动能222121CCJmvT解：将这些关系代入上式，就有将这些关系代入上式，就有ORACrE532CCmJ将转动惯量用回转半径表示，将转动惯量用回转半径表示，上式可化为上式可化为2222)1 ()(21rrRmTCORACdrE222222121r)rR(J)rR(mTCsdsinmg)90cos(sdmgdWir

33、FsdsiWTd2222d)1 ()(21rrRmCsmgdsin由由得得54ORACdrEsds2222d )1 ()(21rrRmCsmgdsin)(rRs sin)()1 ()(222rRmgrrRmC则微小摆动的周期为则微小摆动的周期为grrRTC)1)(2220122)r)(rR(gC 在微小摆动情况下，可近似地取在微小摆动情况下，可近似地取 。上式。上式可简化为可简化为sin其中其中55 如以平衡位置为重力势能的零点，如以平衡位置为重力势能的零点，则在任一位置系统的势能为则在任一位置系统的势能为2222)1 ()(21rrRmTC)cos1)(rRmgmgzVCRACrE根据机械能

34、守恒定律得根据机械能守恒定律得常数)cos1)()1 ()(212222rRmgrrRmC56 此式给出了系统的速度此式给出了系统的速度 随位置随位置 的变化规的变化规律。律。0sin)()1 ()(222 rRmgrrRmC常数)cos1)()1 ()(212222rRmgrrRmC 为了得到运动微分方程，可将式为了得到运动微分方程，可将式（a）对时间对时间求导数得求导数得则微小摆动的周期为则微小摆动的周期为grrRTC)1)(2220122)r)(rR(gC 在微小摆动情况下，可近似地取在微小摆动情况下，可近似地取 。式。式（b）可简化为可简化为sin（a）（b）RACrE57定常流动中的

35、能量方程（动能定理在流体中的应用）定常流动中的能量方程（动能定理在流体中的应用）在定常流动流体中任取一段流体，截面分别为1、2，截面面积分别为A1、A2，流体密度： t： 1-2位置 t+t：1-2位置流入：速度v1，压强p1流出：速度v2，压强p2理想流体，内摩擦力为零，在t内作用于流体的压力所作的功：1 11222()pWp v Ap v At流体不可压缩1122v A tv AtV 12()pWppV12()GWg V hh重力功：重力功：222112121()()()2V vvppVg V hh根据动能定理根据动能定理221112221122pghvpghv212pghv 常数稳定流体

36、的伯努力方程：在定常流动（稳定流体）中，沿同一流线的单位稳定流体的伯努力方程：在定常流动（稳定流体）中，沿同一流线的单位体积流体的动能、重力势能与该处的压强之和为常量。体积流体的动能、重力势能与该处的压强之和为常量。58桶壁有小孔，水从小孔流出的速度？桶壁有小孔，水从小孔流出的速度？20012pghpv2vgh2vgx设液面高度为设液面高度为h，考察离水面为，考察离水面为x深度处的小孔水流，初速度深度处的小孔水流，初速度为为 ，视为平抛运动，水平射程，视为平抛运动，水平射程4 ()svtx hxmax2hxsh当时， 如图所示，盛满液体的水池侧壁上开有不同高度的小孔，试证明从一半液体高度的小孔

37、里流出的水射程最远。5913-4 势力场势能机械能守恒定理势力场与势能几种常见势力场的势能势能函数等势面与零势面 机械能守恒定理6013-4 势力场.势能.机械能守恒定理一、势力场与势能势力场与势能1.1.力场力场 一物体在某空间内都受到一个大小和方向完全一物体在某空间内都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，这部分空间称为由所在位置确定的力作用，这部分空间称为力场力场。2.2.有势力有势力力的功只决定于作用点的始末位置，而与运动力的功只决定于作用点的始末位置，而与运动路径无关的力统称为路径无关的力统称为有势力有势力( (或保守力或保守力) )。3.3.势力场势力场( (或保守力场或保

38、守力场) ) 有势力形成的力场称为有势力形成的力场称为势力场。势力场。4.4.势能势能 为了描述势力场对物体作功的能力，引入为了描述势力场对物体作功的能力，引入势势能能的概念，用的概念，用V 表示。表示。61 在势力场中任选一点在势力场中任选一点A0 ，作为，作为势能零点，则在场中势能零点，则在场中另一点另一点A处的势能就等于由点处的势能就等于由点A运动到势能零点运动到势能零点A0的过程的过程中中, ,有势力所做的功有势力所做的功W(A A0)。 即有即有5.5.势能的计算V = W(AA0) 621. 重力场中的势能重力场中的势能GhzzGWVAA)(2)(2 取取 A2点为点为势能零点势能

39、零点，则在重，则在重力场力场 A 处的势能为处的势能为OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)二、几种常见势力场的势能63 2.2. 弹性力场中的势能弹性力场中的势能 设弹簧在设弹簧在 A 和和A2 位置的变形位置的变形分别为分别为 和和2 ，取取 A2点为点为势能零势能零点点，则在弹力场，则在弹力场 A 处的势能为处的势能为)(2222)(2cWVAAOA1drA2r1rr2FA64 在一般情况下，质点的势能可以表示成质点位置坐标在一般情况下，质点的势能可以表示成质点位置坐标x，y，z的单值连续函数，即的单值连续函数，即V = V (x , y , z)它称为它称为势能函

40、数势能函数。的各点确定的每个曲面称为的各点确定的每个曲面称为等势面等势面；由全部势能零点构成的；由全部势能零点构成的等势面称为等势面称为零势面零势面。V (x , y , z) = 常量常量势力场中，满足条件势力场中，满足条件四、等势面与零势面四、等势面与零势面三、三、势能函数65 推广到质点系，只需把系内所有各质点的势能加在推广到质点系，只需把系内所有各质点的势能加在一起就得到质点系在势力场中的势能。这样，质点系的一起就得到质点系在势力场中的势能。这样，质点系的势能一般可以表示成质点系内所有各质点的坐标势能一般可以表示成质点系内所有各质点的坐标 x1 , y1 , z1 ; ; xn , y

41、n , zn 的单值连续函数，即的单值连续函数，即 V = V(x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , zn )例如，可以证明质点系在重力场中的势能为例如，可以证明质点系在重力场中的势能为V = mig(zi zi0) = mg(zC zC0)66T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 如质点系只在有势力作用下运动如质点系只在有势力作用下运动, ,则其动能与势能则其动能与势能之和保持不变。之和保持不变。动能与势能之和称为机械动能与势能之和称为机械( (总总) )能能。或叙。或叙述为述为: :当作功的力都是有势力时当作功的力都是有势力时, ,质点系的机械质点系的机械( (总总)

42、)能保能保持不变持不变。这一结论称为这一结论称为机械能守恒定理机械能守恒定理。五、机械能守恒定理67例题例题 13-7 如图所示质量为如图所示质量为 m1的物块的物块A悬挂于不可伸长的绳子上，悬挂于不可伸长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为簧刚度系数为 k。设滑轮的质量为。设滑轮的质量为 m2 ，并可看成半径是，并可看成半径是 r 的匀质圆盘。的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块现在从平衡位置给物块 A 以向下的以向下的初速度初速度 v0，试求物块试求物块 A由这位置下降由这位置下降的最大距离的最大距离s。弹簧和绳子的质量不弹簧和绳子的质量不计。计。

43、v0v2= 068解: 取整个系统作为研究对象取整个系统作为研究对象. .系统运动过程中做功的力为有势力系统运动过程中做功的力为有势力( (重重力和弹性力力和弹性力),),故可用机械能守恒定理求解。故可用机械能守恒定理求解。 取物块取物块 A的平衡位置作为初位置，弹簧的初的平衡位置作为初位置，弹簧的初变形变形1=s= m1g /k，物块，物块 A有初速度有初速度 v1 = v0，故，故系统初动能系统初动能20212022011)2(41)(21(2121vmmrvrmvmT2 以物块以物块 A 的最大下降点作为末位置，则弹簧的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形的末变形2=s+ s；系统的末动

44、能；系统的末动能 T2 = 0。v0v2= 069 取平衡位置为势能零点，于是，系统的初势能取平衡位置为势能零点，于是，系统的初势能 V1 = 0 ，gsmskVss1222)(2应用机械能守恒定理的式应用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有，有220212)2(41skvmm202120222011)2(41)(21(2121vmmrvrmvmT 以物块以物块 A 的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形2=s+ s；系统的；系统的末动能末动能 T2 = 0。 而末势能而末势能 注意到在平衡位置有注意到在平衡位置有Skgm1所

45、以所以222skVv0v2= 070从而求得物块从而求得物块 A的最大下降距离的最大下降距离02122vkmms应用机械能守恒定理的式应用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有，有220212)2(41skvmm是否能选物体下降的最低位置或弹簧是否能选物体下降的最低位置或弹簧原长位置为势能零点？原长位置为势能零点？重力势能零点和弹性势能零点是否能重力势能零点和弹性势能零点是否能选不同位置？选不同位置？运算结果是否有区别？运算结果是否有区别？v0v2= 071选物体下降的最低位置为势能零点。选物体下降的最低位置为势能零点。v0v2= 0 讨论,)2(4120211vm

46、mTT2 = 0212212)(2skgsmskVssV2 = 0应用机械能守恒定理的式应用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有，有02)2(4122021skvmm72选物体平衡位置选物体平衡位置O1为重力势能零点，弹簧为重力势能零点，弹簧原长位置原长位置O2为势能零点。为势能零点。v0v2= 0 讨论,)2(4120211vmmTT2 = 0O2O1s2212222)(2sskskgsmskV212skV应用机械能守恒定理的式应用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有有2222021222)2(41sskskkvmm即即220212)2(41skvmm73求物体求物体A运动微分方程。运动微分方程。v0 讨论求导得求导得取平衡位置为势能零点，于是取平衡位置为势能零点，于是21222)(2xkgxmxkVss22122221)2(41)(21(2121xmmrxrmxmT应用机械能守恒定理的式应用机械能守恒定理的式 T+V= 常量常量 ，有，有常数22212)2(41xkxmm0)2(2121xkxxxmm 0)2(2121xkxmm 74 结束语结束语