【精品课件】112导数的概念.ppt

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1、1.1.2 导数的概念问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）（单位：秒）存在函数关系存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?hto65()(0)1049hh0hvt 6549t 计算运动员在0这段时间里的平均速度，计算运动员在0这段时间里的平均速度，思思考考下下面面问问题题

2、；1 1）运运动动员员在在这这段段时时间间里里是是静静止止的的吗吗？2 2）你你认认为为用用平平均均速速度度描描述述运运动动员员的的状状态态有有什什么么问问题题吗吗？ 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画

3、曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hvththtt t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 当t = 0.01时,13.149v 当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,13.09951v 当t = 0.0001时,13.10049v 当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00

4、001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势? 当当 t 趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1

5、.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.v表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.v从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度13.14.9hvtt 瞬时速度 我们用我们用 表示表示 “当当t=2, tt=2, t趋近于趋近于0 0时时, ,平均速度趋于确平均速度

6、趋于确定值定值-13.1”.-13.1”.0limt(2)(2)13.1htht 那么那么, ,运动员在某一时刻运动员在某一时刻t t0 0的瞬时速度的瞬时速度? ?0lim t00()( )h tth tt 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。探探 究究: :1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?

7、5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20

8、一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1. 求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值);()(00 xfxxff.lim)(00 x

9、fxfx;)()(00 xxfxxfxf一差、二比、三极限一差、二比、三极限练习：练习： 例题例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C解解: 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是(2)f (6).f 和和xfx

10、f)2()2(根据导数的定义根据导数的定义,37)(42xxxxx所以所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 / h的速率上升的速率上升.CC 例题例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如

11、果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C 练习练习: : 计算第计算第3h和第和第5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率, 并说明它并说明它们的意义们的意义.例例2 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为： 其其中位中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物体在时

12、间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0s

13、mgtsvvtt 小结： 1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限;svt00()( ).limlimxxss tts ttt 1由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限yx00()limxyfxx 练习： (1)求函数求函数y= 在在x=1处的导数处的导数. (2)求函数求函数y= 的导数的导数.x24x作业：P10 2 3 4