几何模型在现实生活中的应用.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除天 津 师 范 大 学本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用学 号： 02505075 姓 名： 刘静 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2002级 学 院： 数学科学学院 完成日期： 2006年5月 指导教师： 张智广 几何模型在现实生活中的应用摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如

2、何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化The Application of Geometrical Model in Our Daily LifeAbstract: Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are const

3、ructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing ge

4、ometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these model

5、s.Key words: Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify目 录一、前言(1)二、几何模型在物体运动问题中的应用(2)（一）步长选择(2)（二）雨中行走(3)三、几何模型在运输问题中的应用(6)（一）冰山运输(6)四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用(10)（一）驾驶盲区(10)（二）车灯线光源的优化设计模型(12)五、几何模型在其它问题中的应用(15)（一） 医学中的应用(15)1血管分支(15)（二） 日常生活中的应用(16)1动物的身长与体重(16)2拐角问题模型(17)参考文献

6、(19)【精品文档】第 18 页一、 前言近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高但是，到底什么是数学模型和数学建模呢？可能许多人还不是很清楚所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构也就是说，数学模

7、型是通过抽象简化的过程，用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，从而便于人们更深刻地认识所研究的对象 数学模型模仿了一个现实系统，是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果它用精确的语言表达了对象的内在特性，是利用函数、方程等变量描述方法以及数学概念创立的模型但建立数学模型并非以模型为目标，而是为了解决实际问题当我们建立一个数学模型时，我们从现实世界进入了充满数学概念的抽象世界在数学世界内，我们用数学方法对数学模型进行推理、演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答最后，我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控

8、制的结果这些结果还必须经实际的检验，即用现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性我们始于现实世界又终结于现实世界，数学模型是一道理想的桥梁在实际应用中，数学模型可按不同方式分类若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离再利用三角函数，便可计算出夹角但在解

9、决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物几何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的下面我们将从四个方面，介绍几何模型的具体应用二、 几何模型在

10、物体运动问题中的应用数学建模过程是由若干个有明显差别的阶段性工作组成的，可以分为问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等过程但建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，以上只是机理分析方法建模的一般过程在本文中，受所研究问题及篇幅所限，部分过程有所省略物体运动中所涉及到的物体一定是有具体形状的，所以符合几何模型的应用条件分析运动物体的几何结构，对其进行合理简化，是几何模型的一个重要应用（一）步长选择问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则问走路步长选择多大为合适？问题分析：此问题若陷入

11、人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高（或腿长）；（2）体重为简化问题的研究，做以下假设：（1）假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为、质量为的均匀杆；（2）设躯体以匀速前进模型建立：如图1所示，重心升高（当较小时）图1腿的转动惯量，角速度，单位时间的步数为所以单位时间行走所需的动能为单位时间内使身体重心升高所做的功为，所以单位时间行走所需的总功代入，得于是当一定时，可使最小由，得求解完

12、毕（二）雨中行走问题描述：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去了一路上，你将被大雨淋湿一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨的时间但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度问题分析：对于这个实际问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步论述我们的问题是，要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低分析参与这一问题的因素，主要有：（1）降

13、雨的大小；（2）风（降雨）的方向；（3）路程的远近；（4）你跑的快慢为简化问题的研究，我们假设：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度保持不变；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（4）把人体看成是一个长方体的物体（此项为几何方面的假设）在这些假设下，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：雨中行走的距离（米）、时间（秒）、速度（）；人的身高（米）、宽度（米）和厚度（米）；身上被淋的雨水总量（升）关于降雨的大小，在这里用降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）（）来描述模型求解：为进一步简化这一问题的研究，首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，也就是说在你行走

14、的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水经简单论证可知，这是一个荒谬的假设，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的按照建模的程序，需要回到对问题所做的假设，推敲这些假设是否恰当这时我们发现不考虑降雨角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了若考虑降雨角度的影响，则降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了现给出降雨的速度，即雨滴下落的速度（），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）显然，前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度我们用来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨

15、滴所占据的空间的比例数于是有显然，而当时意味着大雨倾盆，有如河流向下倾泻一般 如图2所示，在这种情形下为了估计出你被雨水淋湿的程度，关键是考虑雨滴相对于雨中行走方向的下落方向首先考虑的情况这时雨水是从前方迎面而来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方因此淋在身上的雨水将分为两部分来计算图2 先考虑顶部被淋的雨水雨滴速度垂直方向的分量是，顶部的面积是不难得到，在时间内淋在顶部的雨水量应该是：再考虑前方表面淋雨的情况雨速水平方向的分量是，前方的面积是，故前方表面被淋到的雨水的量应该是因此在整个行程中被淋到的雨水的总量应该是 （1）如果假设落雨的速度是，由降雨强度可以估算出它

16、的强度系数把这些参数值代入（1）式可以得到在这个模型里有关的变量是和，其中是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值；而是要选择的雨中行走的速度由于在我们讨论的情形下有，而且是的减函数，因此当增大时淋雨量将逐渐减小考虑的情形在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下令，则这个情形还要按照你在雨中行走的速度再分成两种情况首先考虑的情形，也就是说行走的速度慢于雨滴的水平运动速度这时雨滴将淋在后背上淋在背上的雨水的量是，于是淋在全身的雨水的总量应该是当你以可能的最大速度在雨中行进时，雨水的总量的表达式可以化简为它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以身体前后都

17、没有淋到雨如果你的速度低于，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加因此在这种情形下淋雨量仍然是行走速度的减函数第二个情形是的情形，这时在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度这时人将不断地追赶雨滴，雨水将淋在你的胸前被淋的雨量是于是全身被淋的雨水的总量是综合上面分析的结果，我们可以得到淋雨量的数学模型为：正如上面分析所得到的，模型中前两个式子都是速度的减函数但是第三个式子的情形就比较复杂了，它的增减性将取决于括号内的式子是正还是负，它刚好是关于人的体形的一个指标从这个模型我们可以得到如下结论：（1）如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑；（2）如果

18、雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量这时雨滴不会淋到你的前胸和后背，只淋到了头顶上小结：通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：（1）在第一个问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题建立模型时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的第一次简化；接着又将下肢看作长为、质量为的均匀杆，是对人体的第二次简化两次简化对问题的解决起到了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去其使用价值而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体通过对比我们可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际

19、需要做出不同的模型假设（2）通过解决第二个问题我们还可以发现，数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论（3）除人在行走中的步长选择问题以及雨中行走问题外，还有很多物体运动值得我们研究例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度有人根据这一规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能

20、在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志，则此时两车之间的距离刚好这个准则的合理性如何，是否有更好的准则？这些问题都值得研究如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了三、几何模型在运输问题中的应用英国媒体于近日报道，英国最大的供水厂商泰晤士自来水公司正在考虑将北极冰山拖运到伦敦，以化解可能面临的百年来最严重的水荒该公司在伦敦举行的一次会议上说：“我们不得不考虑任何可能的方案，包括从北极拖运冰山及人工造雨尽管许多人可能觉得利用冰山的想法愚蠢荒唐，但不能排除这种可能性”那么拖运冰山这一想法可行吗？用数学建模的方法便可解决这一问题（一）冰山运输问题描述：在水资源十分贫乏的国家，政府不得

21、不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水英镑有些专家提出从南极用拖船运送冰山到本国，以取代淡化海水的办法这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性问题分析：为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要搜集关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模必须的准备工作 在此我们只研究冰山几何模型的建立方法，故只给出冰山运输过程中的融化速率的数据表（见表1）所谓融化速率是指在冰山与海水、大气接触处冰山每天融化的速度融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故表1 冰山运输过程中的融化速率

22、 与南极距离（）船速（） 0 1000 4000135 0 0 0 建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较模型假设：根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设（1）拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响总航行距离为9600（2）冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，这样体积的变化才能简单地计算（3）冰山到达目的地后，1冰可以融化成0.85水模型建立：首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消

23、耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式模型构成可分为以下几步（1）冰山融化规律根据假设（2）先确定冰山球面半径的减小量，从而得到冰山体积的变化规律记冰山球面半径融化速率为，船速为，拖船与南极距离为根据表1中融化速率的数据，可设是船速的线性函数，且当时与成正比，而当时与无关，即设 （2）其中，为待定参数这可以解释为相当于从南极到赤道以南，海水温度随增加而上升，使融化速率也随的增加而变大而后海水温度变化较小，可以忽略利用表1所给数据确定出， （3）当拖船从南极出发航行第天时，与南极的距离为 （4）记第天冰山球面半径融化速率为，将（3）、（4）式代

24、入（2）式得 （5）记第天冰山半径为，体积为，则， （6）， （7）其中，为从南极启运时冰山的初始半径和体积由（5）（7）式可知冰山体积是船速、初始体积和航行天数的函数，记作，有 ， （8）其中由（5）式表示 （2）燃料消耗费用：记为（）已知燃料消耗对船速和冰山体积的对数均按线性关系变化利用搜集的数据，计算出（3）运送冰山费用：记为费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成根据搜集的数据，得 （9）其中，表示日租金，且 （4）冰山运抵目的地后可获得水的体积：将代入（7）式，得冰山运抵目的地后的体积再由假设（3），得水的体积为 （10） （5）每立方米水所需费用：记为由（9）、（10）式显然有模型分析

25、：此题假设冰山呈球形，简化了计算但球形与现实中冰山的形状相去甚远，将其假设为圆台更为接近此举势必将加大解题难度，甚至导致结果的变更下面我们简单分析一下，将冰山的形状从球形改为圆台后，会对整个建模过程造成何种影响若假设为圆台，则圆台的上下底面半径、及高度的变化都要考虑在拖运之初测量冰山圆台的上下底面半径、及初始高度，有以下关系：， （11）且此比例在冰山融化过程中不变记冰山圆台下底面半径融化速率为与例题一样，设是船速的线性函数，且当时与成正比，而当时与无关，即设 （12）其中，为待定参数要确定、的值，需要给出另外一组测量数据将代入（12）式，即得第天冰山圆台下底面半径的融化速率记圆台所在圆锥的高

26、为，则 （13）记第天冰山上下底面半径为、，高为，圆台所在圆锥的高为，体积为，则， （14）， （15）， （16）由（11）（16）式可知冰山体积是船速、初始体积和航行天数的函数，记作 至此，只要给出所需数据，我们便可计算出由于的改变，之后的燃料消耗费用、运送冰山费用、冰山运抵目的地后可获得水的体积、每立方米水所需费用都会发生变化，从而可能导致此方案的可行性发生变更四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用 汽车在我国的普及率正在稳步提升，它以其便捷高速的特性吸引着人们的注意力，所以有越来越多的人选择汽车作为了代步工具但是汽车的设计还有许多有待改进的地方，例如车身的形状、各部件的设计、安全装置等

27、都有继续完善的必要所以此领域的研究有着重要的应用价值和商业价值，已为更多人所重视（一）驾驶盲区 问题描述：在汽车驾驶过程中会出现这种情况：在拥挤的道路变换车道与转弯时，后方突然有车辆出现，司机防范不及，造成车祸试分析车祸原因，并给出解决方案问题分析：汽车上共有内外三面后视镜，驾驶员通过这三面镜子来观察后面的车流情况，以决定何时可以转弯，而不会有危险发生但是由于后视镜的尺寸都不是很大，这样使驾驶员能看到的范围就很小需要看到的地方没办法看到，那块地方就是所谓的盲区存在着盲区就存在着一定的安全问题，车祸出现的原因就在于此若想避免此类车祸的发生，必须改善后视镜的设计，使盲区的范围缩小或者消失后视镜的角

28、度虽然可调节，但一般都由司机固定在其最习惯的地方，即可观察到的区域范围已确定，如图3所示 模型假设： （1）设汽车为长方体，俯视为长方形，且关于直线对称，司机位于其对称轴上一点（在车内）； （2）假设两外后视镜与车身的夹角为，此值固定不变；图3 （3）假设汽车所行驶的车道两旁分别只有一个车道由对称性，我们只研究左侧车道上的车辆 通常汽车所安装的后视镜均为平面镜，这样设计是为了使驾驶员观察到的物体不变形，符合人的视觉习惯，但缺点是视野较小扩大视野是解决此问题的关键众所周知，凸面镜的成像区域要比平面镜大很多，所以考虑将平面镜换为凸面镜是否可以若直接将平面镜换为凸面镜，势必将影响司机的正常驾驶，从而

29、造成新的隐患所以我们不妨考虑在外后视镜的外端或内后视镜的上方添加凸面镜（本文只研究在外后视镜的外端添加凸面镜这种情况），这样便可使问题得到解决接下来，需要考虑的问题是，选择什么弧度的球冠最为合适球冠的选择不是半径越小、弧度越大就越好，而是使司机可以观察到需要观察的车辆就可以了根据上面的假设，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：汽车的长、宽；驾驶时前后两车的车距；视野需扩大到角；所需凸面镜的长度模型建立：球面上各点入射光线的反射光线可根据该点的切平面确定由于车道上需要观察的车辆与所在车辆位于同一水平位置，所以要确定取何种球冠最为合适，只需研究球冠与此水平面相交的弧上的点的反射光线即可如图4

30、所示，标出各变量图4如图5所示，由汽车的长、宽及车距，可知 （17）若角确定，则反射光线也可确定，即两线的夹角可测设测量结果为，因入射角等于反射角，故入射角的角度为图4中的表示的是法线与凸面镜的边的夹角，显然有 （18）故球的半径为 （19）图5综合（17）（19）式，便可确定球的大小及所需球冠的大小问题得解模型分析：在本题中，我们选取的是整个球冠其实，在平时使用时，球冠的上半部分基本没有太大用途因为由上半球冠观察到的物体多为高空景物，这对驾驶员来说不仅没有太大用处，而且还会分散其注意力，带来不必要的麻烦所以，我们还可对模型做进一步的修改，将球冠改为半球冠，只要其下半部分就足够了 本例题的研究

31、结果可应用到其他方面例如在某些小区的十字路口会放有一个凸面镜行人可以用它观察到其它路口的路况，从而减少交通事故的发生这个凸面镜的放置原理和汽车的后视镜是一样的，所以它的位置亦可用此模型来确定（二）车灯线光源的优化设计模型问题描述：假设汽车头部的车灯的反光面为一旋转抛物面，灯丝是一线光源要求设计线光源的长度，使车灯既满足技术要求，又使线光源的功率最小问题分析：线光源任意一点发出的光，可直接照射在光屏上，也可以经过灯罩(旋转抛物面)一次反射(不考虑二次反射)后，间接照射在光屏上线光源上不同位置的点发射的光线投射到抛物面上，反射后能够到达指定点的投射点的集合(称为有效投射点的集合)是不同的因为线光源

32、过焦点对称水平放置，线光源上点的位置分布仅与长度有关，因此在满足设计规范要求的条件下，寻求线光源功率最小，线光源长度是决定因素，而弄清线光源上各点有效投射点的情况，则是解决问题的一个关键所在模型假设：（1）不考虑光的二次反射；（2）不考虑光的折射；（3）不考虑光的干涉和衍射；（4）光在传播过程中不吸收新的能量，仅考虑光的扩散；（5）光在同一连续均匀介质中(例如空气)传播；（6）灯丝为理想线光源，没有横向尺寸，不考虑灯管遮光；（7）旋转抛物面可认为由无数微小平面镜组成，入射光发生完全镜面反射，旋转抛物面不吸收能量图6 模型建立：如图6所示，按照右手螺旋准则建立空间直角坐标系（单位：），根据已知数

33、据可以求出旋转抛物面的方程为，焦点，切平面的方程满足切平面方程，即 （20）入射光线 法线 反射光线由反射定律，入射光线、法线、反射光线在同一个平面内，则由向量的知识，三向量的混合积为0，可得到 （21）在抛物面上，满足分析（21）式：当，而时，得到得到，求得，即仅在线光源上满足的点发出的光经过抛物面上的点反射后可经过点当时，反射点位于用平面截旋转抛物面所得的抛物线上以上分析仅是反射光线过点的必要条件，但给出了线光源上点的初步划分，大大缩小了讨论的范围为保证区域划分的准确性，需要再通过计算机变步长搜索的方法来加强该结论下面，利用虚像、反射点、光屏上点三点共线的条件，以为变量分别表示出、，再利用

34、Matlab对进行变步长搜索，找出有效投射点集合的变化规律，进一步完善上述结论具体步骤如下：由平面解析几何知识，平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，显然，即，得到 （22）联立（20）、（22）式，得到 （23）反射光线能经过点的充分必要条件是、 、三点共线，因为所以 ，得 （24）联立（23）、（24）式，可以得到以为变量表达的的值，对于任一给定的，根据值的有效个数便可确定有效投射点的个数，从而校验线光源区段划分的正确性即线光源有如下划分： 当时，没有反射线经过点； 当时，有2条反射线经过点； 当，有4条反射线经过点； 当时，有2条反射线经过点 同理当反射光线经过点时亦可进行相同分析，

35、划分如下： 当时，没有反射光经过点； 当时，有4条反射光经过点； 当时，有2条反射光经过点很显然，以上对线光源的分段对应着不同的积分域，欲求、点的光强度，只需对点光源的功率分段积分求和即可记线光源的功率，线光源长度，设从线光源上任意一点经过反射或直射到达指定点的总光线条数为，对应的每条路径的长度为，则可以建立如下模型小结：此题是2002年全国数学建模大赛c试题，难度较前面几道例题有所增加，其中运用到了立体几何、解析几何、物理中的大量知识，尤其以几何模型为主可见，几何模型在本题中的作用还是十分重要的，它与其它模型相辅相成，共同构成数学建模的核心五、几何模型在其它问题中的应用（一）医学中的应用医学

36、研究中会遇到很多棘手问题，这些问题有时无法通过实验得到解决，于是我们可以从理论上建立其几何模型，分析合理性1血管分支问题描述：动物为了维持血液在血管中流动，要向血管提供能量，其中一部分用于供给血管壁营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的能量与血管的几何形状有关有人研究发现，某种动物的血管分支角度几乎是固定的因此，就提出一种假说，认为生物在长期进化过程中，血管的几何形状向消耗能量最小的方面转变下面的模型主要研究血管分支处粗细血管半径的比例和分叉的角度在消耗能量最小的原则下该取什么值问题分析：为了简化问题，我们对模型作一些假设：（1）一条血管在分支处分为两条细血管，分叉点附近三条血管共面

37、，且有一条对称轴，这是几何上的假设；（2）把血液在血管中的流动视为粘性流体在刚性管道中的运动，这是物理上的假设；（3）血液对血管壁提供营养的能量随血管壁表面积及血管壁的体积的增加而增加；血管壁的厚度与血管半径成正比，这是生物上的假设模型的建立：（1）由假设（1），如图7所示标出各种符号并设血液在粗细血管单位时间的流量分别为与，则=2 图7（2）由假设（2），利用流体力学的结果：在单位长的管道中，阻力与流量的平方成正比，与半径的4次方成反比从而为克服阻力而消耗的能量为：（为比例系数）（3）一般地，对半径为长为的血管，内表面积，即与成正比，若记为壁厚，则管壁的体积又由假设（3），与成正比，因此，与

38、成正比从而供给血管壁营养所消耗的能量中，含一项与成正比，另一项与成正比为简化计算，可设供给单位长血管壁营养所消耗的能量为（），为比例系数因此血液从点A流到点与的过程共消耗的能量， （25）， （26）， （27） （28）将（26）、（27）、（28）式，代入（25）式得到为、的三元函数 （二）日常生活中的应用1动物的身长与体重问题描述：四足动物的躯干与其体重之间有什么关系？此问题有一定的实际意义比如在生猪收购站，工作人员希望能从生猪的身长估计出它的体重图8问题分析与模型建立：同第一个问题，对此问题如果陷入生物学复杂的生理结构的研究，将会得出太复杂的模型，而失去使用价值在这里我们用类比方法借助

39、于弹性力学的结果，建立一个粗略的几何模型把四足动物的躯干视为圆柱体，长度为，直径为，底面积为如图8所示，将此圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的研究结果设动物在自身体重作用下，躯干的最大下垂度为，也即是梁的最大弯曲度由弹性力学的研究结果知因为，即体重与体积成正比，所以， 其中是动物躯干的相对下垂度生物学上认为，经过长期的进化，对于每一种动物而言，已经达到一个最适合的数值，即可设其为常数从而也为常数，所以， ，即动物的体重与躯干长度的4次方成正比当然，比例系数与动物的种类有关至此，我们就建立了该问题的几何模型小结：在此模型的构成过程中，有两点值得我们注意首先，此模型的建

40、立，只用到简单的比例法，非常简便易懂；但更重要的是大胆地把动物的躯干与弹性梁作类比，从而可以借用弹性力学的结果其次，使用该模型时，要注意其条件在建立此模型时，我们把四足动物的躯干视为圆柱体，也就是说，对于那些躯干的形状与圆柱体相去甚远的四足动物，该模型就不适用了，比如乌龟2拐角问题模型图9问题描述：如图9所示，在医院的外科手术室，往往需要将病人安置在活动病床上，沿走廊推到手术室或送回病房然而有的医院走廊较窄，病床必须沿过道推过直角拐角我们想知道标准的病床能否安适地推过拐角？为未来的医院走廊设计一个节省空间的方案，需求出病床可以顺利通过的走廊的最小宽度问题分析：首先，我们把问题进行简化，想象床缩

41、小成一根杆子问题转化为要想让杆子绕过拐角，杆子的长度会受到多大限制？如图10所示，过道的宽度分别是和线段的长度即固定角时能安放的最大杆长，设为： （29）图10在上的最小值，就是能顺利绕过拐角的最大杆长求导数得令，求得，代入（29）式得的最小值为： （30）这就是给定过道宽度与，能顺利绕过拐角的最大杆长现在，我们再回到病床问题如图11所示，床的面积大小为，而且根据图11的三角关系可以得到：即图11 （31）从而注意到时，（31）式成为，与（29）式一致，而且前面（30）式已经给出过道宽度、与长度间的关系式原问题是给出病床尺寸，求过道宽度、的最小值但这里对数学模型求解，将、看为常数，而将、作为变

42、量更为方便，在（31）式中已消去，变量成为和用与求最大杆长相类似的处理方法，求出、和、的关系式只是这里有两个变量，数学处理稍微困难些试求的最小值根据多元函数极值的求法，求偏导数：并令可以求出：，所以有解出 （32）观察图11，角在内变动，当变小趋于零或变大趋于时，床的尺寸可以增大，据此可断定（32）式确定的、点即所求的最小值点，换言之，求出了给定过道宽度、，能顺利通过直角拐角的尺寸和现在对模型进行验证，设标准病床长2，宽1，即，代入（32）式可求出又若假设拐弯后的过道宽1而拐弯前的过道宽，即，由方程得到能通过拐角的病床最大尺寸是：，这对个子较高的人来说太短了通过分析研究以上几个问题，我们可以更

43、加深刻地体会到几何模型在现实生活中的重要作用，利用它可以许多棘手问题随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，和计算机的出现与飞速发展，数学建模将越来越受到人们的重视几何模型作为数学建模必不可少的工具，也必将有更多的空间施展拳脚参考文献：1洪毅，林健良，陶志穗数学模型北京：高等教育出版社，20042韩中庚数学建模方法及其应用北京：高等教育出版社，20053边馥萍，侯文华，梁冯珍数学模型方法与算法北京：高等教育出版社，20054徐全智，杨晋浩数学建模北京：高等教育出版社，20035姜启源，谢金星，叶俊数学模型（第三版）北京：高等教育出版社，20036刘来福，曾文艺数学模型与数学建模北京：北京师范大学出版社，1