向量与空间解析几何.doc
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1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除第九章 空间解析几何一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念. 3理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念. 4理解基本单位向量,熟练掌握向量的坐标表示,熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算. 5理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程(标准方程)、参数方程,了解平面和空间直线的一般式方程. 6理解曲面及其方程的关系,知道球面、柱面和旋转曲面的概念,掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上
2、的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 7了解空间曲线及其方程,会求空间曲线在坐标面内的投影. 8了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形. 重点 向量的概念,向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念,用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算,平面的点法式方程,空间直线的标准式方程和参数方程,球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形,空间曲线在坐标面内的投影. 难点 向量的概念,向量的数量积与向量积的概念与计算,利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法,利用曲面的方程画出空间图形. (二)内容提要 1. 空间直角坐标系 在空间
3、,使三条数轴相互垂直且相交于一点,这三条数轴分别称为轴、轴和轴,一般是把放置在水平面上,轴垂直于水平面.轴的正向按下述法则规定如下:伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向轴的正向,然后让四指沿握拳方向旋转900指向轴的正向,这时大拇指所指的方向就是轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系.在此空间直角坐标系中,轴称为横轴,轴称为纵轴,轴称为竖轴,称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.轴与轴所确定的坐标面称为坐标面,类似地有坐标面,坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分,每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点与一组有序数之间的一一对
4、应关系。有序数组称为点的坐标;分别称为坐标,坐标,坐标.2. 向量的基本概念向量的定义既有大小,又有方向的量,称为向量或矢量向量的模向量的大小称为向量的模,用或表示向量的模单位向量模为1的向量称为单位向量零向量模为的向量称为零向量,零向量的方向是任意的.向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.向径终点为的向量称为点的向径,记为.3. 向量的线性运算 向量的加法 三角形法则若将向量的终点与向量的起点放在一起,则以的起点为起点,以的终点为终点的向量称为向量与的和向量,记为.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则. 平行四边形
5、法则将两个向量和的起点放在一起,并以和为邻边作平行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律:=;结合律:()+=+(+). 向量与数的乘法运算实数与向量的乘积是一个向量,称为向量与数的乘积,记作,并且规定: ; 当时,与的方向相同;当时,与的方向相反; 当时,是零向量. 设都是实数,向量与数的乘法满足下列运算律: 结合律:; 分配律: , (+)=+. 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算. 求与同向的单位向量的方法 设向量是一个非零向量,则与同向的单位向量 . 负向量 当时,记(-1)=-,则-与
6、的方向相反,模相等,-称为向量的负向量. 向量的减法 两向量的减法(即向量的差)规定为 -= +(-1) . 向量的减法也可按三角形法则进行,只要把与的起点放在一起,-即是以的终点为起点,以的终点为终点的向量. 4. 向量的坐标表示 基本单位向量 ,分别为与轴,轴,轴同向的单位向量. 向径的坐标表示 点的向径的坐标表达式为=或简记为的坐标表示设以为起点,以为终点的向的坐标表达式为 向量的模 =.5. 坐标表示下的向量的线性运算设,则有(1);(2);(3).6. 向量的数量积定义 设向量之间的夹角为,则称为向量的数量积,记作,即 =.向量的数量积又称“点积”或“内积”.向量的数量积还满足下列运
7、算律:交换律:= ;分配律:(+)= +;结合律:()=() . 数量积的坐标表示设,,则=.向量与的夹角余弦设,,则 向量的方向余弦设 向 量 与 轴 , 轴 , 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为 ,称其为向量的三个方向角,并称 ,为的方向余弦,向量的方向余弦的坐标表示为且.7向量的向量积定义 两个向量与的向量积是一个向量,记作,它的模和方向分别规定如下:的方向为既垂直于又垂直于,并且按顺序,符合右手法则.向量的向量积满足如下运算律.反交换律:=-;分配律:(+)=+;结合律:()=()=().向量积的坐标表示设,则可将表示成一个三阶行列式的形式,计算时,只需将其按第一行展开即可.即8.三
8、个重要结论0;其中,“”表示“充分必要条件” .平面方程平面的点法式方程如果一非零向量垂直于平面,则称此向量为该平面的法向量.过点,以=为法向量的点法式平面方程为至少有一个不为零).平面的一般式方程以=为法向量的一般式平面方程为 至少有一个不为零).两个平面的位置关系设两个平面的方程分别为其法向量分别为=,=,有如下结论: (4)平面的夹角,即为两个平面法向量夹角,其公式为(5)点到平面的距离公式为10. 直线方程如果一个非零向量平行于直线,则称为直线的方向向量. 直线的标准式方程 设直线过点且以为方向向量,则直线的标准式方程(也称为点向式方程)为 直线的参数方程 设直线过点且以为方向向量,则
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