a题飞行管理问题.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流a题飞行管理问题【精品文档】第 5 页1995年A题飞行管理问题A题 一个飞行管理问题 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角.以避免碰撞.现假定条件如下：1） 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里2） 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度3） 所有飞机飞行速度均为每小时

2、800公里4） 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上5） 最多需考虑6架飞机6） 不必考虑飞机离开此区域后的状况. 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型.列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）.要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小. 设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)记录数据为： 飞机编号 横座标X 纵座标Y 方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52注

3、：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角. 试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.参考解答1 问题分析 根据题目的条件，可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域，顶点（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160).各架飞机的飞行方向角为飞行方向与x轴正向夹角（转角）.根据两飞机不碰撞的标准为二者距离大于8km，可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4km为半径的圆状物体（每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定）.这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题.两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可.2.模型假设(1) 飞机进入区域边

4、缘时,立即作出计算,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变;(2) 每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;(3) 忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响);(4) 新飞机进入空域时,已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适,不会碰撞;(5) 对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的.3.模型的建立(1) 圆状模型. 由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究.两圆不相交,则表明不会发生碰撞事故;若两圆相交,则表明会发生碰撞事故.为了研究两飞机相撞问题,采用相对速度作为研究对象,因为飞机是否相撞的关键是相对速度,图10-3给出任意两架飞机间的关系其中符号含义如下:i,j-第i,第j架飞

5、机的圆心;aij-第i架飞机与第j架飞机的碰撞角,是两圆的切线交角中指向圆的那个角的一 半,aij=aji;ij-第i架飞机相对于第j架飞机的相对飞行速度;lij-第i架飞机与第j架飞机的圆心距;ij-第i架飞机对于第j架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角.规定以第i架 飞机为原点,ij连线从i指向j为正方向,逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角; AB,CD为两圆的公切线,mi/AB,ni/CD.另外再引入记号:i-第i架飞机的飞行方向与直角坐标xoy中x轴正向的夹角(转角);xi-第i架飞机在坐标xoy中的位置矢量;i-第i架飞机的飞行速度矢量. 由图10-3中的关系得到两飞机不相撞(两

6、圆不相交)的充要条件是|ij |aij.当|ij |aij时,则通过调整两飞机的方向角I, j,使飞机不相撞.(2) 决策目标. 题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小,这个尽量小是针对每架飞机而言,同时也要求整体满意程度(即对管理层而言,应使每架飞机的调整都尽量的小).因此构造目标函数时,可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言,其调整量可满意,则由假设(5)对其余飞机调整量均可满意.即要求每架飞机的调整量都小于某个数(0).故可取目标函数为求其最小值min.(3) 由圆状模型导出的方程. 首先讨论相对飞行速度方向角ij的改变量与第i,第j两架飞机飞行方向角改变量i, j的关系.由题目条件知,

7、对第i架飞机|i|=800=A(km).于是可用复数表示飞机速度i=.设第i,j两架飞机飞行方向改变前的速度分别为,改变飞行方向后的速度为则飞行方向改变前后的相对速度分别为即与交角相之差为.将其归纳为定理 对第i,j架飞机,其相对速度方向ij的改变量ij等于两飞机飞行方向角改变量之和的一半. 由题目的要求调整飞行方向角时不能超过30即|i|30 , i=1,2,6要保证调整飞行方向后飞机不碰撞，应有|ij+ij |aij由前面构造的目标函数为min 030总结以上得如下优化模型min （1）s.t. |ij+ij |aij, (2)|i|, I=1,6 (3)|i|30, I=1,6 (4)0

8、30 (5)(4) 线性规划模型.将上述优化模型进行化简,可转化为线性规划模型.当ij0时,(10.2)式可化为ij+ijaij;当ij-aij;由于i可正负,为使各变量均为正,引入新的变量,使i=- , 030 , 030于是条件(3),( 4)可化为-30-30-这样,优化模型(1)(5)就转化为如下线性规划模型min (6)s.t.ij0时, -+-2ij-2ij , (7)ij0时, -+-ij(即不会相撞).其中有些飞机对有|ij|-ij0.01(0.01是题目要求的计算精度).如果希望|ij|ij+0.01,只须将模型中的ij用=ij+0.01代替即可.将调整后各量再代入模型进行计

9、算得min=0即此时无需再改动.经模拟程序运行可观察动态结果是正确的.6.模型评价与推广(1) 此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的,同时采用相对速度作为判断标准,即体现了碰撞的本质(相对运动),又简化了模型的计算;(2) 建模中用了适当的简化,将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题.既求到合理的解,又提高了运算速度.这对于解决高速运行的飞机碰撞问题是十分重要的.此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的.(3) 简化模型中忽略了ij=0(即两架飞机迎面飞行)的情况. ij=0时,可使用约束条件(10.7)式或(10.8)式求出最优解.比较此两组解可得最优解.(4) 由对称性知模型中的约束条件个数是(n是飞机数),所以约束条件数为+4n=n,n增大时,约束条件数是n的二次函数,计算量增加不大.