基本不等式经典例题精讲-(1).doc
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1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)典题精讲例1(1)已知0x,求函数y=x(1-3x)的最大值;(2)求函数y=x+的值域.思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x0,因而不能直接使用基本不等式,需分x0与x0讨论.(1)解法一:0x,1-3x0.y=x(1-3x)= 3x(1-3x)2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.x=时,函数取得最大值.解法二:0x,-x0.y=x(1-3x)=3x(-x)32=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.
2、x=时,函数取得最大值.(2)解:当x0时,由基本不等式,得y=x+2=2,当且仅当x=1时,等号成立.当x0时,y=x+=-(-x)+.-x0,(-x)+2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.y=x+-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-,-22,+).绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x-1时,求f(x)=x+的最小值.思路分析:x-1x+10,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解:x-1,x+10.f(x)=x+=x+1+-12-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.f
3、(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.解:令t=x2+1,则t1且x2=t-1.y=.t1,t+2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.当x=0时,函数取得最小值3.例2已知x0,y0,且+=1,求x+y的最小值.思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会.解法一:利用“1的代换”,+=1,x+y=(x+y)(+)=10+.x0,y0,2=6.
4、当且仅当,即y=3x时,取等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法二:由+=1,得x=.x0,y0,y9.x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.y9,y-90.2=6.当且仅当y-9=,即y=12时,取得等号,此时x=4.当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三:由+=1,得y+9x=xy,(x-1)(y-9)=9.x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行
5、了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:+2,即1,6.x+y226=12.x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=,不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.思路分析:本题属于“1”的代换问题.解:x+y=(x+y)()=a+
6、b=10+.x,y0,a,b0,x+y10+2=18,即=4.又a+b=10,或例3求f(x)=3+lgx+的最小值(0x1).思路分析:0x1,lgx0,0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法是加上负号变正数.解:0x1,lgx0,0.-0.(-lgx)+(-)2=4.lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+ (0x1)的最小值为-1.黑色陷阱:本题容易忽略0x1这一个条件.变式训练1已知x,求函数y=4x-2+的最大值.思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x,则4x-50.解:
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