《3.4基本不等式》课件.ppt

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1、3.43.4基本不等式基本不等式课件课件 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date第第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 会标是根据中国古代会标是根据中国古代数学家赵

2、爽的弦图设计的，数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民一个风车，代表中国人民热情好客热情好客 中国古代的数学家们中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的，是三国时期吴国的数吴国的数学家赵爽学家赵爽。赵爽创制了一。赵爽创制了一幅幅“勾股圆方图勾股圆方图”，用形，用形数结合得到方法，给出了数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。勾股定理的详细证明。赵爽：弦图赵爽：弦图1.1

3、.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗？不等关系吗？B BA AC CD DE EF FG GH H探究点探究点1 1 探究基本不等式探究基本不等式B BA AC CD DE EF FG GH H则正方形则正方形ABCDABCD的面积的面积是是_，这这4 4个直角三角形的面个直角三角形的面积之和是积之和是_，设设AE=a,BE=b,AE=a,BE=b,a a2 2+b+b2 22ab2ab222.abab即S4S正方形ABCD直角三角形，a22ab b Z.x.x. K 有可能相等吗？又什有可能相等吗？又什么时候取等于号呢？么时候取等于

4、号呢？ADBCEFGHba22ab重要不等式：重要不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab222,abab一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a，b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. .2.2.你能给出它的证明吗？你能给出它的证明吗？为证2222222222因因a +b -2ab =(a-b)0,a +b -2ab =(a-b)0,所所以以a +ba +b明明：2ab.2ab.a 0,b 0,如果a特别地，特别地，我们用我们用b

5、,a b, ,.2abab, ,分别代替分别代替可得可得(0,0).2ababab可以叙述为可以叙述为: :两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. . 叫做正数叫做正数a a，b b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a a，b b的几何平均数的几何平均数. .2abab基本不等式基本不等式 (0,0)2abababD DA AB BC CE E如图如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C C是是ABAB上任一点，上任一点，AC=a,CB=b,AC=a,CB=b,过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DEDE，连接，连接AD,

6、BD,AD,BD,则则CD=CD=, ,半径为半径为. .ab2abCDCD小于或等于圆的半径小于或等于圆的半径. 2abab上述不等式当且仅当点上述不等式当且仅当点C C与圆心重合，即当与圆心重合，即当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. .几何意义：半径不小于半弦几何意义：半径不小于半弦o o3 3、几何解释、几何解释a ab b适用范围文字叙述“=”成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同

7、角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式构造条件构造条件二二、应用应用0,02ababab（）20,0abab ab（）例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxx变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.13 3xyxx 变变1:若若 求求 的最小值的最小值120, 3xyxx变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0,0 baabyab发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？0,02ababab（）0,02ababab2（）三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的

8、最大值.01 (1)xyxx 变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.10 (12 )2xyxx 发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式均值定理：均值定理：已知已知x,y都是正数，（都是正数，（1）如果积）如果积xy是定值是定值P，那么，那么当当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值 ；（；（2）如果和）如果和x+y是定值是定值S，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值P2.412S条件说明：条件说明：1、函数式中各项、函数式中各项必须都是正数必须都是正数.2、函数式中含变数的各项的和或积、函数式中含变数的各项的和或积必须都是常值（定值）必须都是常值（定

9、值）.3、等号成立条件、等号成立条件必须存在必须存在.“一正二定三等一正二定三等”，这三个条件缺一不，这三个条件缺一不可可.应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大2baab（ a0，b0）分析：设矩形菜园的长为分析：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 面积确定，则面积确定，则xy=100 xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m.即求（即求（x+yx+y）的最小值）的最

10、小值. .例例1 1 (1) (1)用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100 m100 m2 2的矩形菜的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短笆最短. .最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则xy=100 xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m. m. 2xyxy因因为为，2 100.xy所所以以2()40.xy等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，

11、这个矩形的长、宽都为10 m10 m时，所用时，所用篱笆最短，最短篱笆是篱笆最短，最短篱笆是40 m. 40 m. 分析：设矩形菜园的长为分析：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 周长确定，则周长确定，则2 2（x+yx+y）=36=36，篱笆的面积为，篱笆的面积为xy mxy m2 2. .即求即求xyxy的最大值的最大值. .例例1 1 (2) (2)一段长为一段长为36 m36 m的篱笆围成一个矩形菜的篱笆围成一个矩形菜园园, ,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大积最大. .最大面积是多少？最大面积是多少？解：设矩形菜园

12、的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则 2(x + y)= 36, x+ y=182(x + y)= 36, x+ y=18，矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy mxy m2 2 . .18981.22xyxyxy因因为为，得得当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时，等号成立时，等号成立. .因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9 m9 m时，时，菜园的面积最大，最大面积是菜园的面积最大，最大面积是81 m81 m2 2 . .122. 10( )3120( )30,0,41,42,2490,0,1,xf xxxxf xxx

13、aba babxxxxyxyxy 例 （ ）若，求的最小值。 (2)若，求的最大值。 （3）已知且求 的最大值。 （4）已知求的最小值。 （5）已知且求的最小值。练习练习22404221xxxxxx1.当时，函数y=的值域是_2.当x0,y0,x0,y0,且且2x+y=1,2x+y=1,求求 的最小值？的最小值？ yx11的取值范围是多少？则若求证已知的最小值？求且yxbababayxyxyxyx, 122. 79)11)(11 (, 1, 0, 0. 6, 1910, 0. 52、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。高考方向标：高考方向标：1、当、当x0时，时， 的

14、最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。21xx1)0, 0(232yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（ ）A、10 B、 C、 D、4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（ ）A、 B、C、 D、) 0,(55xRxxxy)101 (lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5 yxyx333664318DC【例例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为为4800m3,深为深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，元，池壁每池壁每

15、1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。了均值不等式定理。解：解： 设水池底面一边的长度为设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为则水池的宽为 ,水池水池的总造价为的总造价为y元，根据题意，得元，根据题意，得x160048001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xxxx16002720240000.297600402720240000当当160040 xxx=即时时y有最小值有最小值297600所以将水池的地面设计成边长为所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价的正方形时总造价最低，最低造价是最低，最低造价是297600元元练习：练习：做一个体积为做一个体积为323m，高为，高为2m的长方体纸盒，底面的长的长方体纸盒，底面的长与宽取什么与宽取什么值时用纸最少？值时用纸最少？xy2