线性代数第二章矩阵试题及答案.doc
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1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 第二章 矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等。2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。n阶
2、矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足AT=A矩阵,也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.
3、反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)正交矩阵:若AAT=ATA=E,则称矩阵A是正交矩阵。(1)A是正交矩阵AT=A-1 (2)A是正交矩阵=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行,则都出现在下面。 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵,这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练。请注意:一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算(1)加(减)法:
4、两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减).(2)数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: 加法交换律: A+B=B+A. 2加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C). 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. 数乘结合律: c(d)A=(cd)A. cA=0 c=0 或A=0.4、矩阵乘法的定义和性质(1)当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A
5、相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.即:矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: 矩阵乘法有条件. 矩阵乘法无交换律. 即ABBA 矩阵乘法无消去律:即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来. 矩阵乘法适合以下法则: 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC. 数乘性质 (cA)B=c(AB). 结合律 (AB)C= A(BC)(2)n阶
6、矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A|B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂 设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: A kA h= A k+h. (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A kB k不一定相等! n阶矩阵的多项式: 设f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=amA m+am-1A m-1+ a1A +a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位
7、矩阵E.乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(AB)2=A22AB+B2; A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立: 等等.前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵,A的列向量组为a1,a2,an,B的列向量组为b1, b2,bs,AB的列向量组为g1, g2,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形): AB的每个列向量为:gi=A
8、bi,i=1,2,s.即A(b1, b2,bs)= (Ab1,Ab2,Abs). b=(b1,b2,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+bnan.应用这两个性质可以得到:如果bi=(b1i,b2i,bni)T,则 gi=AbI=b1ia1+b2ia2+bnian.即:乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组a1, a2,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bi的各分量。类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量。以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的. 利用以
9、上规律容易得到下面几个简单推论: 用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量, 用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。 数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵;单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂。5、矩阵的行列式 A为n阶方阵,由A的元素所构成的行列式称为A的行列式,表示为|A|。 若A的行列式|A|0,称A为非奇异方阵,|A|=0,称A为奇异方阵|AB|=|A|B| |cA|=Cn|A|.6、矩阵的转置把一
10、个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作A T(或A)。有以下规律:(AT)T= A. (A+B)T=AT+BT. (cA)T=cAT. (AB)T=BTAT. |AT|=|A|7、矩阵的等价 定义:两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.命题:两个m*n 矩阵A与 B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q,使得A=PBQ8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B. (II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵
11、,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的(否则解的情况比较复杂.)。当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(b1, b2,bs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,Xs),则有AXi=bi,i=1,2,s,这是s个线性方程组,由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解。这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得 (I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X (A|B)(E|X)。(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT,再用解(I)的方法求出XT,转置得
12、X.:(AT|BT)(E|XT)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。(2) 可逆矩阵的定义与意义定义:设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵,此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1。如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0;AB=ACB=C.(左消去律); BA=0B=0;BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C,BA=CB=CA-1由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B
13、的解X=A-1B (II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然,好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质 定理 n阶矩阵A可逆|A|0.证明 充分性:对AA-1=E两边取行列式,得|A|A-1|=1,从而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)必要性:因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论 如果A和B 都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩
14、阵. 可逆矩阵有以下性质:如果A可逆,则 A-1也可逆,并且(A-1)-1=A. AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 当c0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1. 对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.) 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.) 初等矩阵都是可逆矩阵,并且 E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c)-1=E(i(c-1), E(i,j(c)-1= E(i,j(-c). (4) 逆矩阵的计算和伴随矩
15、阵 计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换或列变换求A-1:初等行变换:初等列变换:这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多. 伴随矩阵若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵 A11 A21 An1 A*= A12 A22 An2 =(Aij)T.A1n A2n Amn 请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系。基本公式: AA*=A*A=|A|E. A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是
16、求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵 a b * d -b c d = -c a ,因此当ad-bc0时, 二 例题一、填空题1设a1, a2, a3, a, b均为4维向量, A = a1, a2, a3, a, B = a1, a2, a3, b, 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A3B| = _.解:=2 设,则 , 解:3若对任意n1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = _.解:假设, ai是A的列向量。对于j = 1, 2, , m, ,第j个元素不为0,所以 (j = 1, 2, , m).
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