世界十大数学难题.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流世界十大数学难题【精品文档】第 19 页难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想难题”之四： 黎曼(Riemann)假设难题”之五： 杨米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口难题”之六： 纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想难题”之八：几何尺规作图问题难题”之九：哥德巴赫猜想难题”之十：四色猜想美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000

2、年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类

3、似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文考克（StephenCook）于1971年陈述的。“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造

4、块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适

5、当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(18261866)

6、观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。“千僖难题”之五： 杨米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗

7、克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于 “夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。“千僖难题”之六： 纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是

8、19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶斯托克斯方程中的奥秘。“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的

9、蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。8几何尺规作图问题“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方求作一正方形使其面积等于一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 4.做。 以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也

10、视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。9【哥德巴赫猜想的小史】1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都

11、没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, 等等。有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的明珠。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费

12、尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史（详见百度哥德巴赫猜想传奇）。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。 需要说明的是，这个9不是确切的9，而是指1，2，3，4，5，6，7，8，9中可能出现的任何一个。又称为“殆素数”，意思是很像素数。与哥德巴赫猜想没有实质的联系。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证

13、明了哥德巴赫猜想。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。“充分大”陈景润教授指大约是10的500000次方，即在1的后面加上500000个“0”，是一个目前无法检验的数。所以，保罗赫夫曼在阿基米德的报复一书中的35页写道：充分大和殆素数是个含糊不清的概念。 哥德巴赫猜想证明进度相关在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9

14、”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。

15、 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 以上数学家在本国都得到奖励，但是没有一人获得国际数学联合会的认可，于是人们开始思考。王元院士在1986年9月在南开大学的讲话中明确地说明：1+1与1+2不是一回事。（见“世界数学明题欣赏”希尔博特第十问题188页。辽宁教育出版社1987年版）。1997年7月17日，王元院士在中央电视台东方之子节目中也阐述了：哥德巴赫猜想仅只1+1。邱成桐院士认为，文学无论多么精彩，也不能够代替科学，2006年邱院士说，陈景润的成功是媒体造成的。一般认为，目前没有任何人

16、对哥德巴猜想作过实质性的贡献。所有的证明都存在问题，与哥德巴猜想没有实质联系。人们发现，如果去掉殆素数，（1+2）比（1+1）困难的多。(1+3)比（1+2）困难的多。（1+1）是大于第一个素数“2”的1次方加1的偶数（即n2+1)都是一个素数加上一个素数之和。（1+2）是大于第二个素数“3”的2次方加1的偶数（即n3x3+1=10）都是一个素数加上二个素数乘积之和。例如12=33+3。(1+3)是大于第三个素数“5”的3次方加1的偶数（即n5x5x5+1=126）都是一个素数加上三个素数乘积之和。例如128=5x5x5+3=5x5x3+53。小于128的偶数有21个不能够表示为（1+3），例

17、如，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，36，42，54，72，96，114，120，126。（1+4）是大于第四个素数“7”的4次方加1的偶数（即n7x7x7x7+1=2042）都是一个素数加上四个素数乘积之和。例如2044=2041+3。小于2044的偶数有几百个不能够表示（1+4）。这是因为自然数数值越小，含素数个数多的合数越少。例如，100以内，有25个素数，有含2个素数因子的奇合数19个，含3个素数因子的合数有5个（27，45，63，75，99），含4个素数因子的合数仅1个（81）。实际上，哥德巴赫猜想只是这一类问题中难度最底端的问题。许多艰难的问

18、题正等待人们去克服。先证明“1+3”后证明“1+2”，再后证明“1+1”，这种程序是不可能的。众多科学家认可的，1923年，G.H.Hardy和J.E.Littlewood提出的 关于r(N)的渐近公式： r(N)2(p-1)/(P-2)1-1/(P-1) 2)N/(lnN)2 其中：r(N)为将偶数表为两个素数之和n=p+p的表示个数，即：偶数中符合哥德巴赫猜想的素数的个数。 表示各参数连乘，ln表示取自然对数，2表示取平方数。 第一个的参数P是大于2的且属于该偶数的素因子的素数。 第二个的参数P是大于2且不大于N的素数。 第一个的数值是分子大于分母,大于1。 第二个的数值是孪生素数的常数,

19、其2倍数就=1.320.大于1。 N/(lnN)是计算N数内包含的素数的个数，(1/lnN)素数与数的比例。值得推荐的该渐近公式大于一的论述论述(N数内包含的素数的个数)与(素数的个数与数的比例)的乘 积大于一。推导新素数个数公式:由(N)(0.5)(N0.5)N0.5/ln(N0.5)，得到:N/(lnN)=(0.5)(平方根数)(平方根数)/(平方根数的自然对数). 得到:N数内素数的个数，约等于(一半的(N的平方根数内素数的个数)与(N的平方根数)的乘积。N/(lnN)是N数内包含的素数的个数,(1/lnN)是素数的个数与数的比, 素数的个数约等于(一半的平方根内素数个数)与(N)的积，

20、 素数的个数与数的比约等于(一半的平方根内素数个数)(N)/N，约等于(一半的平方根内素数个数)除以(N)。N/(lnN)(1/lnN)约等于(一半的平方根内素数个数)与(N)的积，乘以(一半的平方根内素数个数)，再除以(N)。 约等于(一半的平方根内素数个数)的平方数。只要一半的平方根内素数个数大于一，N/(lnN)平方数就大于一。由：r(N)=(大于1的数)(大于1的数)(大于1的数)=大于1的数，可明示偶数N表示为两个素数之和的表示法个数r(N)大于1。【哥德巴赫猜想意义】【一个人要想发现卓有成效的真理，需要千百万人在失败的探索和悲惨的错误中毁灭自己的生命。门捷列夫】8。哥德巴赫猜想的意

21、义一件事物之所以引起人们的兴趣，因为我们关心他，假如一个问题的解决丝毫不能引起人类的快感，我们就会闭上眼睛，假如这个问题对我们的知识毫无帮助，我们就会认为它没有价值，假如这件事情不能引起正义和美感，情操和热情就无法验证。哥德巴赫猜想是数的一种表现次序，人们持久地爱好它，是因为如果没有这种次序，人们就会丧失对更深刻问题的信念因为无序是对美的致命伤，假如哥德巴赫猜想是错误的，它将限制我们的观察能力。使我们难以跨越一些问题并无法欣赏。一个问题把它无序的一面强加给我们的内心生活，就会使我们的感受趋向丑陋，引起自卑和伤感。哥德巴赫猜想实际是说，任何一个大于3的自然数n.都有一个x, 使得n+x与n-x都

22、是素数，因为，（n+x)+(n-x)=2n.这是一种素数对自然数形式的对称，代表一种秩序，它之所以意味深长，是因为素数这种似乎杂乱无章的东西被人们用自然数n对称地串联起来，正如牧童一声口稍就把满山遍野乱跑的羊群唤在一起，它使人心晃神移，又像生物基因DNA，呈双螺旋结构绕自然数n转动，人们从玄虚的素数看到了纯朴而又充满青春的一面。对称不仅是视觉上的美学概念，它意味着对象的统一。素数具有一种浪漫的气质，它以神秘的魅力产生一种不定型的朦胧，相比之下，圆周率，自然对数。虚数。费肯鲍姆数就显得单纯多了，欧拉曾用一个公式把它们统一起来。而素数给人们更多的悲剧色彩，有一种神圣不可侵犯的冷漠。当哥德巴赫猜想变

23、成定理，我们可以看到上帝的大智大慧，乘法是加法的重叠，而哥德巴赫猜想却用加法将乘性概括。在这隐晦的命题之中有着深奥的知识。它改变人们对数的看法：乘法的轮郭凭直观就可以一目了然，哥德巴赫猜想体现一种探索机能，贵贱之别是显然的，加法和乘法都是数量的堆积，但乘法是对加法的概括，加法对乘性的控制却体现了两种不同的要求，前者通过感受可以领悟，后者则要求灵感人性和哲学。静观前者而神往于它的反面(后者），这理想的境界变成了百年的信仰和反思，反思的特殊价值在于满足了深层的好奇，是一切重大发现的精神通路，例如录音是对发音的反思结果，磁生电是对电生磁的反思结果。顺思与反思是一种对称，表明一种活力与生机。顺思是自然

24、的，反思是主动的，顺思产生经验，反思才能产生科学。顺思的内容常常是浅表的公开的，已知的。反思的内容常常是隐蔽的，未知的。反思不是简单的衷情回顾不是对经验的眷念，而是寻找事物本质的终极标准-对历史真相或事物真相的揭示。哥德巴赫猜想为什么会吸引人？世界上绝对没有客观方面能打动人的事物和因素。一件事之所以会吸引人，那是因为它具有某种特质能震动观察者的感受力，感受力的大小即观察者的素质。感人的东西往往是开放的。给人以无限遐思和暗示。哥德巴赫猜想以一种表面开朗简洁的形式掩盖它阴险的本质。他周围笼罩着一种强烈的朦胧气氛。他以喜剧的方式挑逗人们开场，却无一例外以悲剧的形式谢幕。他温文尔雅地拒绝一切向她求爱的

25、人们，让追求者争风吃醋，大打出手，自己却在一旁看着一场有一场拙劣的表演。哥氏猜想以一种抽象的美让人们想入非非，他营造一种仙境，挑起人们的欲望和野心，让那些以为有点才能的人劳苦、烦恼、愤怒中死亡。他恣意横行于人类精神的海洋，让智慧的小船难以驾驭，让科研的泰坦尼克一次又一次沉没。人类的精神威信建立在科学对迷信和无知的胜利之上，人类的群体的精神健康依赖于一种自信，只有自信才能导入完美的信念使理想进入未来中，完美的信念使人生的辛劳和痛苦得以减轻，这样任何惊心动魄的灾难，荡气回肠的悲怆都难以摧毁人的信念，只有感到无能时，信念才会土崩瓦解。肉体在空虚的灵魂诱导之下融入畜类，人类在失败中引发自卑。哥德巴赫猜

26、想的哲学意义正在如此。时代在等待名垂千古的英雄。【魔鬼探源】素数充满了玄妙，它能把复杂的事物说得简单明了，也能把简单明了的事物变得复杂。前者靠直觉和洞察，后者靠联想和推理。素数是数学世界最风骚的舞女，是数学场上的交际花和狐狸精，它主宰着数论的秘密女王，它是妖精的化身。照亮数论四周，像吸血鬼一样获得永生。而数学家则在它四周衰竭而亡。 1 2008-9-12 22:30:13 210.73.41.* 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是

27、两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 =

28、3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表

29、示为（9 + 9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（99）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理（Chens Theorem）“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s 个质数的乘积与 t 个质数的乘积之和（简称“s + t ”问题）之进展情况如下： 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 9 + 9 。 1924年，

30、德国的拉特马赫(Rademacher)证明了7 + 7 。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 6 + 6 。 1937年，意大利的蕾西(Ricci)先后证明了5 + 7 , 4 + 9 , 3 + 15 和2 + 366 1938年，苏联的布赫夕太勃（亦译布赫斯塔勃）证明了5 + 5 。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了 4 + 4 。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了1 + c ，其中 c 是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 3 + 4 。 1957年，中国的王元先后证明了 3 + 3 和 2 + 3 。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔

31、巴恩(BapoaH)证明了 1 + 5 ， 中国的王元证明了1 + 4 。 1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了1 + 3 。 1966年，中国的陈景润证明了 1 + 2 。 最终会由谁攻克 1 + 1 这个难题呢？现在还没法预测 2008-9-12 23:06:47 58.22.13.* 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数

32、）之和。如633，1257等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5,

33、 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9 + 9）。这种缩小包围圈

34、的办法很管用，科学家们于是从（99）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理（Chens Theorem）“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s 个质数的乘积与 t 个质数的乘积之和（简称“s + t ”问题）之进展情况如下： 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 9 + 9 。 1924年，德国的拉特马赫(Rademache

35、r)证明了7 + 7 。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 6 + 6 。 1937年，意大利的蕾西(Ricci)先后证明了5 + 7 , 4 + 9 , 3 + 15 和2 + 366 1938年，苏联的布赫夕太勃（亦译布赫斯塔勃）证明了5 + 5 。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了 4 + 4 。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了1 + c ，其中 c 是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 3 + 4 。 1957年，中国的王元先后证明了 3 + 3 和 2 + 3 。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 1 +

36、 5 ， 中国的王元证明了1 + 4 。 1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了1 + 3 。 1966年，中国的陈景润证明了 1 + 2 。 最终会由谁攻克 1 + 1 这个难题呢？现在还没法预测。 1 2008-9-13 5:16:01 221.10.44.* 科学本身就是解决理论问题，我们常常无法预料某个理论意义更大一些，这也是为什么许多科学家活着的时候未能被世界公认，而待到死后很多年后才能发现其意义。比如孟德尔发现的遗传规律，是发表后30多年，他本人死后10多年才被人们认识，当时仅他自己一人看到其意义重大，但这位遗

37、传学的奠基人没能想到会有基因这个词，更不会想到基因工程；另一个有意思的例子是高数微积分中的罗尔定理，罗尔本人是强烈反对微积分的，即使在当时学术自由的情况下，罗尔对微积分的反对程度已经导致不得不对其采用行政干预的手段加以制止，可他的研究成果居然成为微积分中的一个重要基石，当然，这是100多年后的事情了，“罗尔定理”当然也是后人加的；非欧几何是爱因斯坦用作广义相对论的工具后才名声大振的。科学的任务是寻找真理，而不是寻找其“意义”，当人人都知道其意义的时候，已经没太多研究必要-这一领域内祖师爷的位置已经被人占了，这时应该是工程师们竞争的时候了（当然要说明的是，科学家和工程师是可以兼任的，有时并非有截

38、然的区别）。这就是为什么科学家一个重要的素质就是要能耐得住寂寞的原因，现在中国学术界浮躁的原因就在于过多去寻找自己的意义或者自己一个芝麻大的成果的意义，甚至编造一个什么东西去宣传其“意义”，如果有一天，中国能出现一大批只研究问题本身而不管“意义”的专家，国家甚幸 。其实对真正的学术家而言，意义就在于研究过程和问题本身，唯有如此，才能耐住寂寞深入下去，唯有如此，才能戒浮躁，减少功利驱动下的弄虚作假。当然，当成果现实意义显现时，应大力推广，但这即使是研究者本身推广，他更多的是技术人员而不是研究者了。 10四色原理简介这是一个问题，即找出给（或）着色时所需用的不同的最小数目。着色时要使得没有两个相邻

39、（即有公共边界）的有相同的颜色。1852年英国的推测：四种颜色是必要的。1878年英国数学家在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、和考西利用高速运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。20世纪80-90年代的综合（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是”。四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了证明的美好前景。 四色定理的诞生过程之一(另外两个是和)。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于的弗南西斯格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四

40、种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。接到的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解

41、决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。18781880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明的论文，宣布证明了，大家都认为四色猜想从此也就解决了。肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的

42、正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就

43、是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，

44、但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J.

45、 Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列的起点。 证明方法:继承分裂法来解决着色问题 先说明一下,本文分析的地图为球面地图,一个国家所占区域称为一个”色块”,把地图边界的所有色块称为色块A。从一个色块的内部撕开球面地图,构建边界为一个色块的平面地图并着色,本文不妨设定平面地图最外色块着红色

46、。如图001。图001现在来分析一种现象，如图003，中间有色块p1p2 p3，它在另一色块中间并与其相邻色块之间有且仅有2个公共顶点,如图004所示，现在以p1为例说明其在地图中的特点:只要是包围p1的色块着同一色，那么p1色块是否存在于地图中，对整个地图用几种颜色着色没有影响,在本文中称这种类型的色块为”过渡色块”。(图003)(图004)为了方便说明,现在假定有一地图,仍以着色地图001为例,在地图中的部分非红色块中加入红色“过渡色块”C1 C2 C3 Cn,如图005 图006所示, 对图006这种类型,两个过渡色块有1个公共顶点,用一条线L连通“过渡色块”与原地图中的部分红色块,现在

47、以线L将如图005所示的地图裂开成图007与图008所示的子地图，(图005)(图006)(图007)(图009)现在来分析裂开后的子地图:1,地图边界的色块A1仍着红色,2,因子地图也为平面图,所形成的两子地图着色互不干涉。3,如图009, 把Q1 Q2 Q3 Q4 Q5.Qn色块裂开所形成的新色块叫子q1q2 q3 q4 q5.qn,裂开后,如果子q1 q2 q3q4 q5.qn色块着色分别继承Q1 Q2 Q3 Q4 Q5.Qn的着色,那么,子地图中的其它色块着色与其裂开前在父地图中的着色情况是完全一致的,在这里把这种分裂法叫继承分裂法。(图009)(图011)现在假设四色猜想不正确,存在一地图SP，SP中有一个色块IN必须用到第五色才能着色。现在构造一条L线,不通过IN色块情况下,用上述继承分裂方法,将已着色的地图SP 分裂成sp1,sp2,由上述分裂方法知,IN必定存在sp1或sp2中,不妨取IN在sp1,再分裂sp1,依此类推进行分裂,最后得到地图spn,如图011,地图spn的特点是边界为着同一色的色块An,除了IN色块外都与其相邻或相接,由假设得知,IN必须要用第五色才能着色,然spn地图中与色块An相邻或相接的色块着色与色块An着色不同,