《高等代数》硕士研究生招生初试考试大纲.doc

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1、高等代数硕士研究生招生初试考试大纲考试科目：834高等代数一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟。二、考试形式考试形式为闭卷、笔试。三、学习内容(一) 多项式主要考核一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。学习要求：1. 理解数域的概念。2. 掌握带余除法。3. 理解因式分解定理，会对多项式进行复系数与实系数及有理系数的因式分解。(二) 行列式主要考核行列式的性质，行列式的计算，克拉默法则，行列式的乘法规则。学习要求：1. 掌握n阶行列式的主要计算方法。2. 理解n阶行列式的定义。3. 理解并

2、会应用克拉默法则求线性方程组的解。(三) 线性方程组主要考核向量空间，向量线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解的判别定理；n维向量的概念及运算；向量组的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；向量组的线性相关性的判定；两个向量组的等价；向量组的极大无关组、秩的概念及性质；向量组的秩与矩阵的秩的关系；线性方程组解的结构。学习要求：1. 理解矩阵秩的概念并会求矩阵的秩。2. 掌握向量组的秩与矩阵的秩的关系。3. 理解向量组线性相关和线性无关的定义并掌握其判定定理。4. 掌握向量组的线性关系与线性方程组解的联系。5. 掌握线性方程组解的结构，会用矩阵的初等变换求线性方程组的解。(四) 矩阵主要

3、考核矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，初等变换。学习要求：1. 掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用2. 了解初等变换与矩阵乘法的联系。3. 理解逆矩阵的概念及其存在的充要条件，并会求逆矩阵。4. 会用矩阵分块法进行特殊矩阵的计算。(五) 二次型主要考核二次型的矩阵表示，标准形，规范型，正定二次型，半正定二次型，负定二次型，半负定二次型。学习要求：1. 理解二次型的概念并能求其标准形。2. 掌握判定二次型正定的方法。(六) 线性空间主要考核集合，映射，线性空间的定义与性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性

4、空间的同构。学习要求：1. 理解线性空间和子空间的概念。2. 会求线性空间的维数和基，掌握基变换和坐标变换之间的关系。3. 了解子空间直和与同构的概念。(七) 线性变换主要考核线性变换的概念与性质，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，矩阵相似对角矩阵的各种条件，线性变换的值域与核，不变子空间，若当(Jordan)标准形。学习要求：1. 掌握线性变换与矩阵的关系，会求线性变换在某基下的矩阵。2. 理解矩阵相似的概念，掌握线性变换在不同基下矩阵的对应。 3. 会求矩阵的特征值与特征向量。4. 理解线性变换的值域与核的概念。5. 掌握方阵对角化的条件与方法。6. 会将线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。(八) 欧几里得空间主要考核欧几里得空间的概念与性质，标准正交基，欧几里得空间的子空间与同构，正交变换，对称变换，Schimidt正交化方法，实对称矩阵的标准形。学习要求：1. 理解正交变换和对称变换概念。2. 会求标准正交基。3. 会用正交变换化实对称矩阵为对角阵。四、考核主要形式1、选择、填空、判断题(涵盖较广，包括基本概念、简单计算、基本方法的简单运用等)；2、计算和证明(基本原理和基本方法在具体问题上的运用)。