B样条曲线矩阵.doc

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1、五、B样条曲线的矩阵表示1）二阶B样条曲线设空间P0 P1, ., Pn为n+1个控制点，节点矢量为 其中每相邻两个控制点之间可以构造出一段二阶B样条曲线。其中的第j=i-1段二阶B样条曲线Pj(t)的矩阵表示为：；其中， 。对于二阶均匀B样条曲线，其矩阵表示与非均匀B样条曲线的相同： 。2）三阶B样条曲线给定节点矢量为 ，n+1个控制点为P0，P1, ., Pn。其中每相邻三个点可构造出一段二次的B样条曲线。其中的第j（=i-2）段三阶B样条曲线Pj(u)的矩阵表示为：；其中，。对于三阶均匀B样条曲线，其矩阵表示为。三阶均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导数矢量分别为：Pi,3(0)=

2、(Pi+Pi1)/2，Pi,3(1)=(Pi1+Pi+2)/2；Pi,3(0)= Pi1-Pi，Pi,3(1)=Pi+2-Pi1，Pi,3(1)=Pi+1,3(0)；Pi,3(t)=Pi-2Pi1+Pi+2 ,三阶均匀B样条曲线的首末点通过相应边的中点；首末点的切矢方向与相应边重合；二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量Pi1-Pi 和Pi+2-Pi1所构成的对角线矢量。三阶均匀B样条曲线段为抛物线，两相邻曲线段之间为一阶连续。3）四阶B样条曲线设节点矢量为 ，控制点为P0 P1, ., Pn，其中每相邻四个点可构造出一段三次的B样条曲线。其中的第j(=i-3)段三次B样条曲线Pi(u)的矩阵表示

3、为：;。其中，,m3,2 =-m2,2/3- m3,3-(ti+1-ti)2/( ti+2-ti)(ti+2-ti-1),mr,j是第r行第j列的元素。第j(=i-3)段三次均匀B样条曲线Pj(t)的矩阵表示：。三次均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导矢量分别为： Pi,4(0)=（Pi+4Pi1+Pi+2）/6，Pi,4(1)=（Pi1+4Pi+2+Pi+3）/6；Pi,4(0)=（Pi+2-Pi ）/2，Pi,4(1)= （Pi+3-Pi1 ）/2，Pi,3(1)= Pi+1,3(0)；Pi,4(0)= Pi-2Pi1+ Pi+2，Pi,4(1)= Pi1-2Pi+2+ Pi+3。三

4、次均匀B样条曲线段的起点位于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边的平行四边形的对角线的1/6处；起点的切矢量与PjPj+2平行，切矢量的长度 ；曲线段起点的二阶导数矢量等于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量。4）k阶B样条曲线设节点矢量为 ，控制点为P0，P1, ., Pn，其中每相邻k个控制点可构造出一段k阶B样条曲线。其中的第j(=i-k1)段曲线Pi-k+1(u)的矩阵表示为：（644）;其中，Mk(i)称为k阶B样条基矩阵，它由下列递归公式计算： （645）如果 ，i0，1，n+k-1，则由（644）式所定义的曲线Pi-k+1(u) （i=k-1, k,n）为均匀B样条曲线，这时，k阶B样条基矩阵Mk(i)与i无关，简记为Mk：上式也可以显式地表示为：其中，。