专题四 综合与探究 类型三 类比探究题.doc

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1、类型三类比探究题例1(2017成都)问题背景：如图，等腰ABC中，ABAC，BAC120，作ADBC于点D，则D为BC的中点，BADBAC60，于是.迁移应用：(1)如图，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.求证：ADBAEC；请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：(2)如图，在菱形ABCD中，ABC120，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.证明CEF是等边三角形；若AE5，CE2，求BF的长,图),图),图)例1题图【思路点拨】(1)易得DABEAC，再由三角形

2、全等定理证明；由本题告诉的性质可得DEAD，再由线段和差得DEDCEC，进而得DCECAD，再将EC换成相等的线段DB便可得结论；(2)由C与E关于BF对称，则BF是CE的垂直平分线，进而得BEBC，CFEF，34，EFBCFB，进而证明ABBCBE，得12，再进一步得2360，得EFC60，最后便可得结论；先由已知条件求出GE、EF，进而得GF，再在RtBGF中通过解直角三角形得结果(1)解：由题意可知：ADAE，ABAC，DAEBAC，DABEAC，ADBAEC(SAS)；CDADBD；【解法提示】ADAE，DAE120，DEAD，DEDCEC，DCECAD，由知，ADBAEC，ECDB，

3、DCDBAD，即CDADBD；(2)证明：如解图，连接BE，作BGAE于点G，C、E关于BM对称，BEBC，CFEF，34，EFBCFB，在菱形ABCD中，ABC120，ABBC，ABBCBE，又BGAE，12，GBF23ABC60，在四边形GBNE中，GEN360EGBENBGBN120，FEN60，又EFFC，ECF60，EFC为等边三角形；例1题解图AE5，CE2，EGAE，EFCE2，GFEGEF，BGF90，GFB30，BF3.【针对练习】1(2017沈阳)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，

4、连接BF.(1)如图，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；(2)如图，当点E在线段AD上时，AE1；求点F到AD的距离；求BF的长；(3)若BF3，请直接写出此时AE的长,图),图),备用图)第1题图解：(1)BF4；第1题解图(2)过点F作FHAD交AD的延长线于点H，作FMAB交AB的延长线于点M，如解图所示，则FMAH，AMFH，AD4，AE1，DE3，同(1)得：EFHCED(AAS)，FHDE3，EHCD4，即点F到AD的距离为3；BMABAM437，FMAEEH5，BF；(3)分两种情况：当点E在边AD的左侧时，过F作FHAD于点H，交BC于点K，如解图所示，同(1)得：EFH

5、CED，FHDE4AE，EHCD4，FK8AE，在RtBFK中，BKAHEHAE4AE，由勾股定理得：(4AE)2(8AE)2(3)2；解得：AE1或AE5(舍去)，AE1；第1题解图第1题解图当点E在边AD的右侧时，过F作FHAD交AD的延长线于点H，交BC的延长线于点K，如解图所示，同理得：AE2；综上所述：AE的长为1或2.2(2017盐城)【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B90，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为；【拓展应

6、用】如图，在ABC中，BCa，BC边上的高ADh，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为ah；(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB32，BC40，AE20，CD16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形，(B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积；【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB50 cm，BC108 cm，CD60 cm，且tanBtanC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积,图),图),图),) ,)第1题图【灵活

7、应用】解：如解图，延长BA与DE交于点F，延长BC与ED交于点G，延长AE与CD交于点H，FB中点为I，FG中点为K，ABCDE为缺角矩形，补全后ABCH为矩形，AB32，BC40，AE20，CD16，EH20，HD16，AEEH，CDDH，在AEF与HED中，AEFHED(ASA)，同理：CGDHED，第2题解图AFDH16，CGEH20，BI24，16BI32，中位线IK在FBG中，S矩形IBLK6048720.【实际应用】解：如解图，延长BA、CD相交于点E，过点E作EH垂直BC交BC于点H，tanBtanC，BC，EBEC，第2题解图BC108 cm，BHBC54 cm，tanB，EHBHtanB5472 cm，在RtBHE中，EHB90，BE90 cm，AB50 cm，AE40 cm，BE的中点Q在AB上，CD60 cm，ED30 cm，CE的中点P在CD上，中位线PQ的两个端点在线段AB和CD上，由【拓展应用】可知，矩形PQMN的最大面积为BCEH1944 cm2.