2022年重庆市中考数学A卷试题及答案解析.docx

《2022年重庆市中考数学A卷试题及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年重庆市中考数学A卷试题及答案解析.docx（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 5的相反数是()A. 5B. 5C. 15D. 152. 下列图形是轴对称图形的是()A. B. C. D. 3. 如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB/CD，C=50，则1的度数为()A. 40B. 50C. 130D. 1504. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为()A. 5mB. 7mC. 10mD. 13m5. 如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若ABC的周长为4，则DEF的周长是()A. 4B

2、. 6C. 9D. 166. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有5个正方形，第个图案中有9个正方形，第个图案中有13个正方形，第个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为()A. 32B. 34C. 37D. 417. 估计3(23+5)的值应在()A. 10和11之间B. 9和10之间C. 8和9之间D. 7和8之间8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是()A. 200(1+x)2=242B. 200(1x)2=242C. 200(1+2x)=242D. 200(

3、12x)=2429. 如图，在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则CDF的度数为()A. 45B. 60C. 67.5D. 77.510. 如图，AB是O的切线，B为切点，连接AO交O于点C，延长AO交O于点D，连接BD.若A=D，且AC=3，则AB的长度是()A. 3B. 4C. 33D. 4211. 若关于x的一元一次不等式组x14x13,5x1a的解集为x2，且关于y的分式方程y1y+1=ay+12的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是()A. 26B. 24C. 15D. 1312. 在多项式xyzmn中任意加括号，加括号

4、后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：(xy)(zmn)=xyz+m+n，xy(zm)n=xyz+mn，下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果其中正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 计算：|4|+(3)0=_14. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的

5、概率是_15. 如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F.若AB=2，BAD=60，则图中阴影部分的面积为_.(结果不取近似值)16. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3.在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_三、解答题（本大题共9小题，共86.0分

6、）17. 计算：(1)(x+2)2+x(x4)；(2)(ab1)a2b22b18. 在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F(只保留作图痕迹)在BAE和EFB中，EFBC，EFB=90又A=90，_AD/BC，_又_BAEEFB(AAS)同理可得_SBCE=SEFB+SEFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=1

7、2S矩形ABCD19. 公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据(单位：g)，并进行整理、描述和分析(除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80x85，良好85x4x的解集；(3)若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求ABC的面积21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙

8、先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度22. 如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米点E在点A的正北方向点B，D在点C的正北方向，BD=100米点B在点A的北偏东30，点D在点E的北偏东45(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：21.414，31.732)23. 若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则

9、这个四位数M为“勾股和数”例如：M=2543，32+42=25，2543是“勾股和数”；又如：M=4325，52+22=29，2943，4325不是“勾股和数”(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=c+d9，P(M)=|10(ac)+(bd)|3.当G(M)，P(M)均是整数时，求出所有满足条件的M24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB交于点A(0,4)，B(4,0)(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作

10、x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程25. 如图，在锐角ABC中，A=60，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F(1)如图1，若ABAC，且BD=CE，BCD=CBE，求CFE的度数；(2)如图2，

11、若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN.在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)若AB=AC，且BD=AE，将ABC沿直线AB翻折至ABC所在平面内得到ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将PHK沿直线HK翻折至PHK所在平面内得到QHK，连接PQ.在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QKPF时，请直接写出PQBC的值答案和解析1.【答案】A【解析】解：5的相反数是5，故选：A根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可本题考查了相反

12、数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2.【答案】D【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.是轴对称图形，故此选项符合题意故选：D根据轴对称图形的概念求解本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3.【答案】C【解析】解：AB/CD，1+C=180，1=180C=18050=130故选：C根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案本题考

13、查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键4.【答案】D【解析】解：观察图象，当t=3时，h=13，这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，故选：D根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键5.【答案】B【解析】解：ABC与DEF位似，相似比为2：3CABC：CDEF=2：3，ABC的周长为4，DEF的周长是6，故选：B根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得DEF的周长本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比6.【答案】C【解析】解：由题

14、知，第个图案中有5个正方形，第个图案中有9个正方形，第个图案中有13个正方形，第个图案中有17个正方形，第n个图案中有4n+1个正方形，第个图案中正方形的个数为49+1=37，故选：C根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有4n+1个正方形是解题的关键7.【答案】B【解析】解：原式=323+35=6+15，91516，3154，96+1510故选：B先计算出原式得6+15，再根据无理数的估算可得答案本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算也考查了算术平方根8.【答案】A【解析】解：设

15、该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程：200(1+x)2=242，故选：A设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数(1+揽件日平均增长率)2，把相关数值代入即可本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键同时要注意增长率问题的一般规律9.【答案】C【解析】解：四边形ABCD是正方形，AD=BA，DAF=ABE=90， 在DAF和ABE中，AD=BADAF=ABEAF=BE，DAFABE(SAS)，ADF=BAE，AE平分BAC，四边形ABCD是正方形，BAE=12BAC=22.5，ADC=90，ADF=22.

16、5，CDF=ADCADF=9022.5=67.5，故选：C根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到ADF的度数，从而可以求得CDF的度数本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出ADF的度数10.【答案】C【解析】解：如图，连接OB，AB是O的切线，B为切点，OBAB，AB2=OA2OB2，OB和OD是半径，D=OBD，A=D，A=D=OBD，OBDBAD，AB=BD，OD：BD=BD：AD，BD2=ODAD，即OA2OB2=ODAD，设OD=x，AC=3，AD=2x+3，OB=x，OA=x+3，(x+3)2x2=x(2x+3)，解得x=3(负值舍去)，OA=

17、6，OB=3，AB2=OA2OB2=27，AB=33，故选：C连接OB，则OBAB，由勾股定理可知，AB2=OA2OB2，由OB和OD是半径，所以A=D=OBD，所以OBDBAD，AB=BD，可得BD2=ODAD，所以OA2OB2=ODAD，设OD=x，则AD=2x+3，OB=x，OA=x+3，所以(x+3)2x2=x(2x+3)，求出x的值，即可求出OA和OB的长，进而求得AB的长本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，得出OBDBAD是解题关键11.【答案】D【解析】解：解不等式组x14x135x1a得：x2xa+15，不等式组x

18、14x135x12，a11，解分式方程y1y+1=ay+12得：y=a13，y是负整数且y1，a13是负整数且a131，a=8或5，所有满足条件的整数a的值之和是85=13，故选：D解不等式组得出x2x11，解分式方程得出y=a13，结合题意得出a=8或5，进而得出所有满足条件的整数a的值之和是85=13，即可得出答案本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键12.【答案】D【解析】解：(xy)zmn=xyzmn，与原式相等，故正确；在多项式xyzmn中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运

19、算结果与原多项式之和为0；故正确；在多项式xyzmn中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，222=8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果故选：D根据“加算操作”的定义可知，当只给xy加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式xyzmn中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可本题属于新定义问题，涉及整式的加减运算，加法原理与乘法原理的知识点和对加法原理的理解能力，利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键13.【答案】5【解析】解：原式=4+1=5

20、故答案为：5根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键14.【答案】13【解析】解：根据题意列表如下： ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为39=13，故答案为：13根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况

21、数与总情况数之比15.【答案】3323【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，则ACBD，四边形ABCD是菱形，BAD=60，BAC=ACD=30，AB=BC=CD=DA=2，在RtAOB中，AB=2，BAO=30，BO=12AB=1，AO=32AB=3，AC=2OA=23，BD=2BO=2，S菱形ABCD=12ACBD=23，S阴影部分=12S菱形ABCD2S扇形ADE =36022360 =3323，故答案为：3323根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE的面积，由S阴影部分=12S菱形ABCD2S扇形ADE可得答案本题考查扇形面积的计算，

22、菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提16.【答案】35【解析】解：根据题意，如表格所设： 香樟数量红枫数量总量甲4x5y4x5y乙3x6y3x6y丙9x7y9x7y甲、乙两山需红枫数量之比为2：3，5y4x6y3x=23，y=2x，故数量可如下表： 香樟数量红枫数量总量甲4x6x10x乙3x9x12x丙9x5x14x所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x，设香樟的单价为a，红枫的单价为b，由题意得，16x(16.25%)a(120%)+20xb(1+25%)=16xa+20xb，12a+25b=16a+20b，4a=5b，设a=5k，b=4k，12a25b=12

23、5k254k=35，故答案为：35分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量(只含一个字母)，进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理17.【答案】解：(1)原式=x2+4x+4+x24x =2x2+4；(2)原式=(abbb)(a+b)(ab)2b =abb2b(a+b)(ab) =2a+b【解析】(1)先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；(2)先

24、计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可本题主要考查分式的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则及分式的混合运算顺序和运算法则18.【答案】A=EFB， AEB=FBE， BE=EB， EDCCFE(AAS)，【解析】解：由题知，在BAE和EFB中，EFBC，EFB=90又A=90，A=EFB， AD/BC，AEB=FBE， 又BE=EB， BAEEFB(AAS)同理可得EDCCFE(AAS)， SBCE=SEFB+SEFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD，故答案为：A=EFB，AEB=FBE，BE=EB，EDCCF

25、E(AAS)根据已知条件依次写出相应的解答过程即可本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键19.【答案】95 90 20【解析】解：(1)在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，众数a=95，10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，“合格”等级占150%30%=20%，即m=20，把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，b=90，故答案为：95，90，20；(2)该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数300030%=900(台)；(3)A型号的扫地

26、机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数B型号的扫地机器人除尘量的众数(理由不唯一)(1)根据众数、中位数概念可求出a、b的值，由B型扫地机器人中“良好”等级占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m的值；(2)用3000乘30%即可得答案；(3)比较A型、B型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念20.【答案】解：(1)反比例函数y=4x的图象过点A(1,m)，B(n,2)，4m=1，n=42，解得m=4，n=2，A(1,4)，B(2,2)，一次

27、函数y=kx+b(k0)的图象过A点和B点，k+b=42k+b=2，解得k=2b=2，一次函数的表达式为y=2x+2，描点作图如下： (2)由(1)中的图象可得，不等式kx+b4x的解集为：2x1；(3)由题意作图如下： 由图知ABC中BC边上的高为6，BC=4，SABC=1246=12【解析】(1)根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；(2)根据图象直接得出不等式的解集即可；(3)根据对称求出C点坐标，根据A点、B点和C点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一

28、次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键21.【答案】解：(1)设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，依题意得：121.2x=2+12x，解得：x=20，1.2x=1.220=24答：甲骑行的速度为24千米/时(2)设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，依题意得：30y301.2y=2060，解得：y=15，经检验，y=15是原方程的解，且符合题意，1.2y=1.215=18答：甲骑行的速度为18千米/时【解析】(1)设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，利用路程=速度时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即

29、可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x中即可求出甲骑行的速度；(2)设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，利用时间=路程速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y中即可求出甲骑行的速度本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出分式方程22.【答案】解：(1)过D作DFAE于F，如图： 由已知可得四边形ACDF是矩形，DF=AC=200米，点D在点E的北偏东45，即DEF=45，DEF

30、是等腰直角三角形，DE=2DF=2002283(米)；(2)由(1)知DEF是等腰直角三角形，DE=283米，EF=DF=200米，点B在点A的北偏东30，即EAB=30，ABC=30，AC=200米，AB=2AC=400米，BC=AB2AC2=2003米，BD=100米，经过点B到达点D路程为AB+BD=400+100=500米，CD=BC+BD=(2003+100)米，AF=CD=(2003+100)米，AE=AFEF=(2003+100)200=(2003100)米，经过点E到达点D路程为AE+DE=2003100+2002529米，529500，经过点B到达点D较近【解析】(1)过D作

31、DFAE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF=AC=200米，根据点D在点E的北偏东45，即得DE=2DF=2002283(米)；(2)由DEF是等腰直角三角形，DE=283米，可得EF=DF=200米，而ABC=30，即得AB=2AC=400米，BC=AB2AC2=2003米，又BD=100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD=500米，CD=BC+BD=(2003+100)米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE=2003100+2002529米，即可得答案本题考查解直角三角形方向角问题，解题的关键是掌握含30、45角的直角三角形三边的关系23.【答案】解：(1)22+2

32、2=8，820，1022不是“勾股和数”，52+52=50，5055是“勾股和数”；(2)M为“勾股和数”，10a+b=c2+d2，0c2+d2100，G(M)为整数，c+d9为整数，c+d=9，P(M)=|10(ac)+(bd)|3=|c2+d29|3为整数，c22+d2=812cd为3的倍数，c=0，d=9或c=9，d=0，此时M=8109或8190；c=3，d=6或c=6，d=3，此时M=4536或4563【解析】(1)由“勾股和数”的定义可直接判断；(2)由题意可知，10a+b=c2+d2，且0c2+d2100，由G(M)为整数，可知c+d=9，再由P(M)为整数，可得c22+d2=8

33、12cd为3的倍数，由此可得出M的值本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考查了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“勾股和数”，能根据条件找出合适的“勾股和数”24.【答案】解：(1)把A(0,4)，B(4,0)代入y=12x2+bx+c得：c=48+4b+c=0，解得b=1c=4，抛物线的函数表达式为y=12x2x4；(2)设直线AB解析式为y=kx+t，把A(0,4)，B(4,0)代入得：t=44k+t=0，解得k=1t=4，直线AB解析式为y=x4，设P(m,12m2m4)，则PD=12m2+m+4，在y=x4中，令y=12m2m4得x=12m2m，C(12m2m,12

34、m2m4)，PC=m(12m2m)=12m2+2m，PC+PD=12m2+2m12m2+m+4=m2+3m4=(m32)2+254，145，QKPF，PKH=QKH=45，如图32中，过点H作HLPK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，SPHK=12PKHL=12KHPJ，PQ=2PJ=22(2+3)22=22+6 PQBC=22+627=214+4214【解析】(1)如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，证明BCECBK(SAS)，推出BK=CE，BEC=BKD，再证明ADF+AEF=180，可得结论；(2)结论：BF+CF=2CN.首先

35、证明BFC=120.如图21中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ，证明CNMQNF(SAS)，推出FQ=CM=BC，延长CF到P，使得PF=BF，则PBF是等边三角形，再证明PFQPBC(SAS)，推出PQ=PC，CPB=QPF=60，推出PCQ是等边三角形，可得结论；(3)由(2)可知BFC=120，推出点F的运动轨迹为红色圆弧(如图31中)，推出P，F，O三点共线时，PF的值最小，此时tanAPK=AOAP=23，如图32中，过点H作HLPK于点L，设HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，由等积法求出PQ，可得结论本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题第25页，共26页