2022年全国高考文科数学（甲卷）试题及答案解析.docx

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学1. 设集合A=2,1,0,1,2，B=x|0x0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()A. 16B. 14C. 13D. 126. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A. 15B. 13C. 25D. 237. 函数f(x)=(3x3x)cosx在区间2,2的图像大致为()A. B. C. D. 8. 当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值2，则f(2)=()A. 1B. 12C. 12D. 19. 在长方体A

2、BCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则()A. AB=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为4510. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为和，体积分别为和若，则A. 5B. 22C. 10D. 510411. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若BA1BA2=1，则C的方程为()A. x218+y216=1B. x29+y28=1C. x23+y22=1D. x22+y2=

3、112. 已知9m=10，a=10m11，b=8m9，则()A. a0bB. ab0C. ba0D. b0a13. 已知向量a=(m,3)，b=(1,m+1).若ab，则m=_.14. 设点M在直线2x+y1=0上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为_.15. 记双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值_.16. 已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=_.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查

4、了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518. 记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1.(1)证明：an是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示：

5、底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直(1)证明：EF/平面ABCD；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).20. 已知函数f(x)=x3x，g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线(1)若x1=1，求a；(2)求a的取值范围21. 设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜

6、角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6,y=t(t为参数)，曲线C2的参数方程为x=2+s6,y=s(s为参数).(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cossin=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标23. 已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c3；(2)若b=2c，则1a+1c3.答案解析1.【答案】A【解析】解：集合A=2,1,0,1,2，B=x|0x85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题

7、的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故D错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%80%=20%，讲座前正确率的极差为：95%60%=35%，讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误故选：B.对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D.本题考查命题真假的判断，考查散点图、中

8、位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】D【解析】解：z=1+i，iz+3z=i+i2+3(1i)=i1+33i=22i，则|iz+3z|=22+(2)2=22.故选：D.先求出iz+3z=i+i2+3(1i)=22i，由此能求出|iz+3z|.本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.【答案】B【解析】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCDA1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB=4，AD=2，AA1=2，AA1平面ABCD，该多面体的体积为：V=12(4+2)22=12.故选

9、：B.由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCDA1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB=4，AD=2，AA1=2，AA1平面ABCD，由此能求出该多面体的体积本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题5.【答案】C【解析】解：将函数f(x)=sin(x+3)(0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，则C对应函数为y=sin(x+2+3)，C的图象关于y轴对称，2+3=k+2，kZ，即=2k+13，kZ，则令k=0，可得的最小值是13，故选：C.由题意，利用函数y=Asin(x+)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得的最小值

10、本题主要考查函数y=Asin(x+)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题6.【答案】C【解析】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P=615=25；故选：C.根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张

11、”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题7.【答案】A【解析】解：f(x)=(3x3x)cosx，可知f(x)=(3x3x)cos(x)=(3x3x)cosx=f(x)，函数是奇函数，排除BD；当x=1时，f(1)=(331)cos10，排除C.故选：A.判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题8.【答案】B【解析】解：由题意f(1)=b=2，则f(x)=alnx2x，则f(x)=ax+2x2=ax+2x2，当x=1时函数取得

12、最值，可得x=1也是函数的一个极值点，f(1)=a+2=0，即a=2.f(x)=2x+2x2，易得函数在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，故x=1处，函数取得极大值，也是最大值，则f(2)=22+222=12.故选：B.由已知求得b，再由题意可得f(1)=0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f(2).本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题9.【答案】D【解析】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1=1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD面AA1B1B，BB1面ABCD，所以B1DB和DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA

13、1B1B所成的角，即B1DB=DB1A=30，所以在RtBDB1中，BB1=AA1=1，BD=3,B1D=2，在RtADB1中，DB1=2，AD=1,AB1=3，所以AB=2，CB1=2，AC=3，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，在RtABB1中，sinB1AB=BB1AB1=13=33，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C，所以DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角，在RtDB1C中，B1C=2=DC，所以DB1C=45，所以选项D正确，故选：D.不妨令AA1=1，可

14、根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解本题考查了直线与平面所成角，属于中档题10.【答案】C【解析】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为1，2，则2r1=4，2r2=2，解得r1=2，r2=1，由勾股定理可得1=5,2=22，故选：C.设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为1，2，则可求得r1=2，r2=1，1=5,2=22，进而求得体积之比本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题11.【答案】B【解析】解：由椭圆的离心

15、率可设椭圆方程为x29m2y28m2=1(m0)，则A1(3m,0),A2(3m,0),B(0,22m)，由平面向量数量积的运算法则可得：BA1BA2=(3m,22m)(3m,22m)=9m2+8m2=1，m2=1，则椭圆方程为x29y28=1.故选：B.首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题12.【答案】A【解析】解：9m=10，m=log910，1=log99log910log9729=321m1)，f(x)=mxm11，令f(x)0，解得：xm11m由上述有1m32，可得0xf(8)，又因为f(

16、9)=9log91091=0，故a0b，故选：A.首先由9m=10得到m=log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f(x)=xmx1(x1)，利用f(x)的单调性比较f(10)与f(8)大小关系即可本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目13.【答案】34【解析】解：向量a=(m,3)，b=(1,m+1).ab，ab=m+3(m+1)=0，则m=34，故答案为：34.由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题14.【答案】(x

17、1)2+(y+1)2=5【解析】解：由点M在直线2x+y1=0上，可设M(a,12a)，由于点(3,0)和(0,1)均在M上，圆的半径为(a3)2+(12a0)2=(a0)2+(12a1)2，求得a=1，可得半径为5，圆心M(1,1)，故M的方程为(x1)2+(y+1)2=5，故答案为：(x1)2+(y+1)2=5.设出圆心坐标(a,12a)，根据半径相等，求得a 的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题15.【答案】2(e(1,5)内的任意一个值都满足题意)【解析】解：双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为e

18、，e=ca，双曲线的渐近线方程为y=bax，直线y=2x与C无公共点，可得ba2，即b2a24，即c2a2a24，可得1e2.706，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关【解析】(1)根据题设数据直接计算即可；(2)由题设数据代入公式直接计算即可得出结论本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题18.【答案】解：(1)证明：由已知有：2Sn+n2=2nan+n，把n换成n+1，2Sn+1+(n+1)2=2(n+1)an+1+n+1，-可得：2an+1=2(n+1)an+12nan2n，整理得：an+1=an+1，由等差数列定义有an为等差数列；

19、(2)由已知有a72=a4a9，设等差数列an的首项为x，由(1)有其公差为1，故(x+6)2=(x+3)(x+8)，解得x=12，故a1=12，所以an=12+(n1)1=n13，故可得：a1a2a3a120，故Sn在n=12或者n=13时取最小值，S12=S13=(12+0)132=78，故Sn的最小值为78.【解析】(1)由已知令n=n+1做差可得递推关系从而证明，(2)由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题19.【答案】(1)证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做E

20、EAB于点E，做FFBC于点F，由于底面为正方形，ABE，BCF均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即EE=FF，由面面垂直的性质可知EE，FF均与底面垂直，则EE/FF，四边形EEFF为平行四边形，则EF/EF，由于EF不在平面ABCD内，EF在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF/平面ABCD.(2)解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高AA1=EE=43，长方体的体积V1=8843=2563cm3，一个三棱锥的体积V2=13(1244)43=3233cm3，则包装盒的容积为V=V14V2=256343233=64033cm3.【解析】(1)将几何

21、体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；(2)首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题20.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=3x21，则切线的斜率k=f(1)=2，且f(1)=0，故切线方程为y=2(x+1)，即2xy+2=0，由g(x)=2x=2可得x=1，则切点坐标为(1,1+a)，由于切点在直线2xy+2=0上，故2(1+a)+2=0，解得a=3.(2)由题意可得f(x)=3x21，当x0，f(x)单调递增，当33x33时，f(x)33时，f(x)0，f(x)单调递增，且函数的零点为x1

22、=1，x2=1，x3=0，绘制函数f(x)和函数g(x)的图象如图所示，观察可得，当a=1时，函数f(x)和函数g(x)在点(1,1)处有公共点，函数存在公切线，当a1时，函数f(x)和函数g(x)存在公切线，则实数a的取值范围是1,+).【解析】(1)由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；(2)由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题21.【答案】解：(1)由题意可知，当x=p时，y2=2p2，得yM=2p，可知|MD|=2p，|FD|=p2.则在RtMFD中，|FD|2+|DM|2=

23、|FM|2，得(p2)2+(2p)2=9，解得p=2.则C的方程为y2=4x；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，A(x3,y3)，B(x4,y4)，由(1)可知F(1,0)，D(2,0)，则tan=kMN=y1y2x1x2=y1y2y124y224=4y1+y2，又N、D、B三点共线，则kND=kBD，即y20x22=y40x42，y20y2242=y40y4242，得y2y4=8，即y4=8y2；同理由M、D、A三点共线，得y3=8y1.则tan=y3y4x3x4=4y3+y4=y1y22(y1+y2).由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x=my+1，由y2=4xx=my

24、+1，得y24my4=0，y1+y2=4m，y1y2=4，则tan=44m=1m，tan=424m=12m，则tan()=tantan1+tantan=1m12m1+12m1m=12m+1m，当m0时，tan()=12m+1m122m1m=24；当m0时，tan()无最大值，当且仅当2m=1m，即m=22时，等号成立，tan()取最大值，此时AB的直线方程为yy3=4y3+y4(xx3)，即4x(y3+y4)y+y3y4=0，又y3+y4=8y18y2=8(y1+y2)y1y2=8m=42，y3y4=8y18y2=16，AB的方程为4x42y16=0，即x2y4=0.【解析】(1)由已知求得|

25、MD|=2p，|FD|=p2，则在RtMFD中，利用勾股定理得p=2，则C的方程可求；(2)设M，N，A，B的坐标，写出tan与tan，再由三点共线可得y3=8y1，y4=8y2；由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x=my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=4，求得tan与tan，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题22.【答案】解：(1)由x=2+t6,y=t(t为参数)，消去参数t，可得C1的普通方程为y2=6x

26、2(y0)；(2)由x=2+s6,y=s(s为参数)，消去参数s，可得C2的普通方程为y2=6x2(y0).由2cossin=0，得2cossin=0，则曲线C3的直角坐标方程为2xy=0.联立y=2xy2=6x2，解得x=12y=1或x=1y=2，C3与C1交点的直角坐标为(12,1)与(1,2)；联立y=2xy2=6x2，解得x=12y=1或x=1y=2，C3与C2交点的直角坐标为(12,1)与(1,2).【解析】(1)消去参数t，可得C1的普通方程；(2)消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标本题考查

27、简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题23.【答案】证明：(1)a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，由柯西不等式知，(a2+b2+4c2)(12+12+12)(a+b+2c)2，即33(a+b+2c)2，a+b+2c3；当且仅当a=b=2c，即a=b=1，c=12时取等号；(2)由(1)知，a+b+2c3且b=2c，故0a+4c3，则1a+4c13，由权方和不等式可知，1a+1c=12a+224c9a+4c3，即1a+1c3.【解析】(1)由已知结合柯西不等式证明；(2)由已知结合(1)中的结论，再由权方和不等式证明本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题15