2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷及答案解析.docx

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1、2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设x1，x2R，则“x1+x26且x1x29”是“x13且x23”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 数列an为等差数列，a10且公差d0，若lga1，lga3，lga6也是等差数列，则其公差为()A. lgdB. lg2dC. lg23D. lg323. 椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2,1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. 12,34B. 38,34C. 12,1D. 34,14.

2、 定义域为a,b的函数y=f(x)图象的两个端点为A(a,f(a)，B(b,f(b)，M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N(点M与点N可以重合)，我们称|MN|的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为1,2上的函数中，曲径最小的是()A. y=x2B. y=2xC. y=x1xD. y=sin3x二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知a=(1,1)，则|a|=_6. 函数y=log2(x+1)的反函数为_7. 若直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x1垂直，则实数m=_8. 已知2+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2

3、+px+q=0的根，则p+q=_9. 已知sinx=35，x(2,)，则行列式sinx11secx的值等于_10. 已知A=x|2x1，B=x|log2(x1)0)在区间(2,3)内既没有取到最大值1，也没有取到最小值1，则m的取值范围为_三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且ABCD，取劣弧BC上一点E，使COE=3，连结PE.已知|OA|=1，|PA|=2(1)求该圆锥的体积；(2)求异面直线PE、BD所成角的大小18. 已知函数f(x)=x2+mx+3，其中mR(1)若不等式f(x)34anan3(nN

4、).若存在一个非零常数TN，对任意nN，an+T=an都成立，则称数列an为周期数列(1)当a=3时，求a1+a2+a3+a4的值；(2)求证：存在正整数n，使得0an3；(3)设Sn是数列an的前n项和，是否存在实数a满足：数列an为周期数列；存在正奇数k，使得Sk=2k.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由答案解析1.【答案】B【解析】解：令x1=1，x2=9，满足x1+x26且x1x29，但x13且x23时，根据不等式的性质可得，x1+x26且x1x29，故必要性成立，故“x1+x26且x1x29”是“x13且x23”的必要不充分条件故选：B根据已知条件，结合特殊值法，以及不等

5、式的性质，即可求解本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题2.【答案】D【解析】解：由题意得2lga3=lga1+lga6，所以a32=a1a6，即(a1+2d)2=a1(a1+5d)，整理得a1d=4d2，所以a1=4d，a3=a1+2d=6d，则lga3lga1=lga3a1=lg32故选：D由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质可求本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于基础题3.【答案】B【解析】解：由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1(2,0)，右顶点A2(2,0)设P(x0,y0)(x02)，则x024+y023=1，得y02x024=34k

6、PA2=y0x02，kPA1=y0x0+2，kPA1kPA2=y02x024=34，2kPA21，234kPA11，解得38kPA134故选：B由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1(2,0)，右顶点A2(2,0).设P(x0,y0)(x02)，代入椭圆方程可得y02x024=34.利用斜率计算公式可得kPA1kPA2，再利用已知给出的kPA1的范围即可解出熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键4.【答案】C【解析】【分析】 本题以新定义 - 函数的曲径为载体，考查了函数的图象，函数的最值，属于中档题 根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函

7、数的曲径，比较后，可得答案 【解答】 解：当 y=f(x)=x2 时，端点 A(1,1) ， B(2,4) ，直线 AB 的方程为 y=3x2 ， 故 |MN|=3x2x2 ，当 x=32 时， |MN| 的最大值为 14 ，即该函数的“曲径”为 14 ， 当 y=f(x)=2x 时，端点 A(1,2) ， B(2,1) ，直线 AB 的方程为 y=x+3 ， 故 |MN|=x+32x ，当 x=2 时， |MN| 的最大值为 322 ，即该函数的“曲径”为 322 ， 当 y=f(x)=x1x 时，端点 A(1,0) ， B(2,32) ，直线 AB 的方程为 y=32x32 ， 故 |MN

8、|=x1x32x+32=12x1x+32 ，当 x=2 时， |MN| 的最大值为 322 ，即该函数的“曲径”为 322 ， 当 y=f(x)=sin3x 时，端点 A(1,32) ， B(2,32) ，直线 AB 的方程为 y=32 ， 故 |MN|=sin3x32 ，当 x=32 时， |MN| 的最大值为 132 ，即该函数的“曲径”为 132 ， 故函数 y=x1x 的曲径最小， 故选： C 5.【答案】2【解析】解：a=(1,1)，则|a|=(1)2+12=2，故答案为：2利用向量的模长公式求解本题主要考查了向量的模长公式，属于基础题6.【答案】y=2x1(xR)【解析】解：由y=

9、log2(x+1)(x1)解得x+1=2y，即x=2y1，把x与y互换可得：y=2x1(xR)y=log2(x+1)的反函数为y=2x1(xR)故答案为：y=2x1(xR)由y=log2(x+1)(x1)解得x=2y1，把x与y互换即可得出本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.【答案】6【解析】解：直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x1垂直，即为3xy1=0 23+m(1)=0，解得m=6，故答案为：6根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题8.【答案】

10、1【解析】解：2+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，2i也是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，2+i+2i=p(2+i)(2i)=q，解得p=4，q=5，p+q=1故答案为：1根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解本题主要考查实系数一元二次方程两根互为共轭复数，属于基础题9.【答案】14【解析】解：sinx=35，x(2,)，cosx=1sin2x=45，secx=1cosx=54，sinx11secx=sinxsecx+1=35(54)+1=14故答案为：14由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算

11、行列式的值即可得解本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了行列式的计算，属于基础题10.【答案】x|1x0时，解得：x2，此时0x2；当x2，无解，A=x|0x2，集合B中不等式变形得：log2(x1)1=log22，即0x12，解得：1x3，即B=x|1x3，则AB=x|1x2，故答案为：x|1x0，且x1+x2=2k2+4k2，y1+y2=k(x1+x22)=k(2k2+4k22)=4k，可得4k22k2+4k2=1k，解得：k=1满足0，则直线l的方程：y=(x1)，故答案为：y=(x1)设P，Q的坐标，由题意可得P，Q的坐标，设直线l的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和，求

12、出直线PQ的斜率，将两根之和代入，由题意可得k的方程，求出k的值本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题16.【答案】(0,13)(12,23)【解析】解：函数f(x)=cosmx(m0)在区间(2,3)内既没有取到最大值1，也没有取到最小值1，可得：m0kZkT23或m0kZ(k+12)T23，解得m(0,13)(12,23). 故答案为：(0,13)(12,23).利用函数的周期与余弦函数的单调性，列出不等式组，求解即可本题考查三角函数的最值以及函数的周期的综合应用，是难题17.【答案】解：(1)由勾股定理可知：PO=PA2OA2=41=3，所以圆锥的体积为：13123=3

13、3；(2)过E做EF/BD，所以PEF是异面直线PE、BD所成的角(或其补角)，因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且ABCD，所以BFE=DBO=4，即OFE=34，而COE=3，所以FOE=6，因此OEF=12，在OEF中，由正弦定理可知：OFsin12=OEsin34=EFsin6OFsin(43)=122=EF12EF=22,OF=2(22322212)=312PF=PO2+OF2=3+4234=432由余弦定理可知：cosPEF=PE2+EF2PF22PEEF=4+12162342222=2+68，所以PEF=arccos2+68，即异面直线PE、BD所成角的大小为arccos2

14、+68【解析】(1)利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可；(2)根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题18.【答案】解：(1)f(x)5的解集是(1,2)，得到x2+mx24，进而可得答案为：m(,4)23【解析】(1)根据题意，得到x2+mx20，根据韦达定理，直接求解即可，(2)f(x)=x2+mx+3=0，可得m=x+3x，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围本题考查函数的零点及不等式的解法，考查学生的运算能力，属于中档题19.【答案】解：(1)如图，作OHAB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，A

15、OB=6，AB=2Rsin12，OH=Rcos12，OE=DE=12AB=Rsin12，EH=OHOE=R(cos12sin12)，S=ABEH=R2(2sin12cos122sin212)=312R2(2)设AOB=(02)，则AB=2Rsin2，OH=Rcos2，OE=12AB=Rcos2，EH=OHOE=R(cos2sin2)，S=ABEH=R2(2sin2cos22sin22)=R22sin(+4)1，02，+4=2即=4时，Smax=(21)R2，此时A在弧MN的四等分点处【解析】(1)作OHAB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；(2

16、)设AOB=(00，y1+y2=63m3m2+4，y1y2=33m2+4，SOPQ=123|y1y2|=32(y1+y2)24y1y2 =32(63m3m2+4)2+123m2+4=63m2+1(3m2+1)+32 =63m2+1(3m2+1)2+6(3m2+1)+9=61(3m2+1)+93m2+1+6 612(3m2+1)93m2+1+6=3，当且仅当3m2+1=93m2+1，即m=63时取等号，OPQ面积的最大值为3；(3)由题意设直线PQ为x=my+t，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由x2a2+y2b2=1x=my+t，得(b2m2+a2)y2+2mtb2y+b2t2a2b2=

17、0，0，y1+y2=2mtb2b2m2+a2，y1y2=b2t2a2b2b2m2+a2，若PST=QST，则kPS+kQS=0，y1x1s+y2x2s=0，y1(x2s)+y2(x1s)=0，y1(my2+t)+y2(my1+t)s(y1+y2)=0，即2my1y2+(ts)(y1+y2)=0，2mb2t2a2b2b2m2+a2(ts)2mtb2b2m2+a2=0，2mb2t2a2t(ts)=0，即t2a2t(ts)=0，得st=a2，x轴上是存在点S(s,0)使得PST=QST恒成立，此时st=a2【解析】(1)由题意可得2b=23，求出b=3，再将点(1,32)的坐标代入椭圆方程中可求出a

18、2，从而可求得椭圆方程；(2)由题意设直线PQ为x=my+3，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，将x=my+3代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，表示出OPQ的面积，化简可求得其最大值；(3)由题意设直线PQ为x=my+t，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，将直线方程代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，由PST=QST，得kPS+kQS=0，y1(x2s)+y2(x1s)=0，化简即可得结果本题考查了椭圆的方程与性质，直线与椭圆的综合，属于难题21.【答案】解：(1)当a3时，a1=3，a2=4a1=1，a3=a1=3，a4=4a1=1，所以a1+a2+a3+a4=8；证明

19、：(2)当a3时，an+1=an3，所以在数列an中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列an是以a为首项，3为公差的递减的等差数列，即an=a+(n1)(3)=3n+a+3，所以当n足够大时，总可以找到n，使0an3，当a=3时，则存在n=1，使得0an3，当a3时，则a13，由(2)得，存在正整数n，使得0an3，因此此时不存在an=a1，所以此时数列an不是周期数列，所以当a3时，数列an是以2为周期的周期数列，a1=a，a2=4a，所以S2n+1=n(a1+a2)+a1=4n+a，又因为Sk=2k，所以4n+a=2(2n+1)，所以a=2，所以存在a=2，使得Sk=2k【解析】(1)根据题意分别求出a1，a2，a3，a4，即可得解；(2)当a3时，an+1=an3可知在数列an中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列an是以a为首项，3为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使0an3，当n3，易证得0an3；(3)分a3和a3两种情况讨论，结合(2)可得当a3时，不合题意，再根据当a3时，数列的周期性，即可得出结论本题考查等差数列、数列的周期性、数列的递推关系式，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题第13页，共14页