人教A版（2019）高中数学必修第一册5.1.2弧度制教学设计.docx

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1、5.1.2 弧度制教材分析：引入不同的单位制，在使用单位时，通过选择恰当的单位，能给我们解决问题带来方便弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位高中函数的概念中强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性此外，弧度制的引入能为后续学习微积分的运算提供方便，其中最著名的就是当自变量为实数时，使得重要极限成立特别是，利用三角函数能够较好地描述钟摆、潮汐等周期现象，这时的自变量不一定是角度，可以是时间或其他的量总之，不论从满足函数定义的要求，还是简化运算的需要，亦或

2、是从三角函数的可用性等方面来看，引入弧度制都是必要的因此，随着学生学习的深入，会对弧度制引入的必要性的体会越来越深我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角为什么用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位？在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够得出弧长与半径之比不变，该比值与圆半径的大小无关，因此，用该比值度量角的大小是合理的既然角的弧度与扇形所在圆的半径大小无关，就可以在单位圆中直观地认识到，在单位圆中可以用长度为1的弧所对圆心角作为角的度量单位弧长与半径、角度之间的简单正比关系成为弧度制定义的来源这种通过比值来定义一个量的方法，在物理学有广泛的应用，

3、比如加速度、压强，密度等概念从数学史中有关两种角的度量制度的发展过程来看，角度制与弧度制的产生有一个共同的特点，就是如何划分圆周长角度的出现，是源于对圆周运动的观察古巴比伦人经过长时间的观察发现，地球围绕太阳公转，发现公转的周期是360天（实际是365天），所以圆被分为360等份，其中的1份为而弧度制划分圆周长的方式，统一了角度和长度单位，在不同半径的圆中周长是不同的，但周角是不变的，我们需要一个定值来刻画这个不变的量，经过观察发现周长与半径的比值是一个定值2，因此用2来刻画周角的大小是合理、科学和自然的事实上，角的度量在历史上还有很多其它进制，比如法国把直角分为100等分的百分度，苏联的密位

4、制等等弧度与角度的换算同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定存在内在联系，认识其中的联系性是数学研究的重要内容之一弧度制、角度制都是角的度量制，所以它们之间一定可以换算，这体现了事物之间的联系性弧度与角度在本质上没有差别，只是角度的单位进行了变换而已，这两种角度制之间的关系是：学生在进行弧度与角度的换算时，要紧紧抓住这一关键，即，直观感受，从角度到弧度，角度的量数放大了57倍多学生在熟悉角度制与弧度制的互化后，可以直接用计算器完成换算另外，教科书中列出特殊角的度数与弧度数的对应值，学生不仅要会换算而且要记住最后，例3利用角度与弧度的转换公式完成了弧度制下扇形的面积公式的证明，利用证明了，

5、弧度制下的扇形面积公式相比角度制形式更加简单，进一步体会引入弧度制的必要性学情分析：生硬地记忆弧度制的概念及形式化地运用公式进行计算是容易的，但真正理解为什么引入弧度制，如何定义1弧度有一定难度的比如很多学生习惯用角度制的转换来代替1弧度角的定义也就是说，很多学生在学习了弧度制，这部分内容后，留下最深刻的印象是弧度制与角度制的转化，而忽略了1弧度角定义的核心和依据，这应该是与学生接触的练习题的类型有关系，不论是练习册中的习题还是各类测试考试，学生都只是不断地对角度与弧度的转换进行着一遍又一遍的运算，这种单一形式的练习，导致了一些学生把数学看作就是运算过程，而把定义及定义的学习过程看作是细枝末节

6、甚至是无意义的符号游戏一些学生由于“习惯”了角度制，觉得角度制可以用量角器度量很直观而拒绝用弧度制，还有部分学生在后续学习中经常把角度制与弧度制混用，以及一些学生认为就是弧度制中角的单位，另外，还有少数学生混淆了弧长与弧度的概念等等，这些都是学生理解弧度制的背景和形成弧度制的概念不够深刻的原因导致的。教学目标： 1.初步体会弧度制引入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量2.在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解在此过程中，学生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性

7、3.体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用 进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时能理解角与实数之间的一一对应关系；教学重点：弧度制的概念，角度制与弧度制的互化教学难点：弧度制概念的理解教学过程：1创设情境，引发思考问题1我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明.师生活动：学生针对老师提出的问题进行思考与回答主要的原因是：因为用了不同的单位再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的

8、单位制设计意图：通过生活中的发现，度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，让学生体会度量一样东西可以有多种度量制2分析归纳，形成定义问题2度量角除了角度制，还有什么单位制呢？追问1：如图1，射线OA绕端点O旋转到OB形成角在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角设=n，OP=r,点P所形成的圆弧的长为l回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角来表示？师生活动：学生经过观察、讨论得出结论：追问2：如图2，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？师生活动：学生

9、经过观察、讨论得出结论：；圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与的大小有关，也就是说，这个比值随的确定而唯一确定因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角设计意图：通过复习初中所学知识可知，使学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关，推广到一般也成立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新概念,使学生明白新概念的由来和定义的合理性追问3：结合上面的探索过程，你能试着说一说什么是1弧度角吗？师生活动：学生用自己的语言表述清楚即可，教师在学生表述的基础上进行完善我们规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度设计意图：引导学生得出定义，体会定义产生

10、的背景、原由及过程追问4：（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1 rad的角呢？（2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角的弧度数是多少？（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？师生活动：学生思考后回答得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1 rad（如图3）；在半径为的圆中；类比角度制，的正负由角的终边的旋转方向决定设计意图：深化理解弧度的定义在单位圆中，直观感受1 rad的角的大小，体会1 rad角的几何表示；进一步能在一般圆中求得角的弧度数，使学生通过图形获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力追问5：请你说说弧度制与角度制有哪

11、些不同？师生活动：学生展开讨论之后总结提炼预设答案：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1的角是周角的；第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等设计意图：概念辨析，深化理解3初步应用 深化理解问题3既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？师生活动：学生思考后回答，得出答案预设答案：这两种角度度量制之间的关系是：其中，最为基础也是最为关键的是，即，设计意图：通过思考，让学生掌握弧度和角度换算

12、的方法体会同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间的内在联系认识这种联系性是数学研究的重要内容之一例1按照下列要求，把6730化成弧度：（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值师生活动：学生自行完成并回答问题预设答案：(1)因为，所以(2)利用计算器有因此，67301.178 rad设计意图：在换算中学会根据要求的精度不同，选择不同的计算方式例2将3.14rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）师生活动：使用计算器完成预设答案：利用计算器有设计意图：学会利用计算器完成这种繁杂的计算问题追问：（1）6730能直接化成弧度吗？你是怎么做的？应该注意什么问题？（2）相互交流一下，如何使

13、用计算器完成弧度制与角度制的换算？师生活动：学生独立完成角度制与弧度制的换算的精确值，之后交流展示用计算器完成弧度制与角度制换算的近似值设计意图：通过简单应用，熟悉弧度制、熟悉弧度制与角度制的换算学生可能出现的问题：第一，进行角度制与弧度制的换算不够熟练；第二，角度转化弧度时需要把含分或秒的角度统一为度的单位；第三，计算机完成弧度制与角度制换算的近似值时，操作需要一个熟悉的过程练习填写特殊角的角度数与弧度数的对应表（课本174页）师生活动：快问快答，进行训练，预设答案：设计意图：这些角是今后常用的特殊角，不仅要求学生会换算，而且要让学生记住这些特殊角的度数与弧度数的对应值另外，熟练角度和弧度的

14、换算，进一步加深对180= rad的理解和掌握同时进一步体会角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应关系例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中R是圆的半径，(0)为圆心角，l是扇形的弧长，s是扇形的面积师生活动：学生利用弧度制证明关于扇形的公式，教师进行点评及板书预设答案：下面证明（2）（3）由于半径为R，圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别是设计意图：体会弧度制下的扇形弧长、面积公式的简洁美，这是引入弧度制的一个优点4梳理小结问题4通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？追问：你觉得这样定义弧度制合理吗？在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题

15、？你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？师生活动：先由学生独立思考、交流讨论，再由教师帮助学生总结预设答案：圆心角所对的弧长与半径的比值随的确定而唯一确定，因此，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的是合理的；在度量角的时候需要注意：联系两种度量制的桥梁是360=2rad；要注意防止出现角的两种度量制混用的现象，等等；用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是引入弧度制带来的一个便利实际上，角度制下角的度量制是六十进制，与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子”而弧度制下角度与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了设计意图：帮助学生梳理所学知识，并让学生初步体会引入弧度制的必要性，以及这样定义的合理性，逐步提升学生逻辑推理的核心素养布置作业：第175页练习第175页习题51A组1-9题六、目标检测设计1把下列角度化成弧度：（1）2230； （2）210； （3）1 2002把下列弧度化成角度：3. 已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数设计意图：检测对弧度制与角度转化的知识、弧度制下的弧长公式的掌握情况