人教A版（2019）高中数学必修第一册1.1集合的概念教学设计.docx

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1、1.1集合的概念教材分析：集合和集合相等的含义；元素与集合的关系及记号（属于“”、不属于“”）；集合元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）；常用数集及其记法；集合的表示方法：列举法和描述法等。集合论是现代数学的基础，集合语言是现代数学的基本语言。在高中数学中，集合是作为一种语言和工具来学习的。集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，对整个高中学习起着奠基的作用。同时，教科书对于集合的研究经历了一个完整的数学思考过程，作为一个范例，它向学生完整展示了研究数学问题的“基本套路”，这将为后续的教学提供思维方式的示范及学习方法的引领。教科书关于集合一共安排了三节内容

2、，“集合的概念”是其第一节课，也是学生进入高中阶段的第一节数学课。教科书首先在义务教育阶段学习的相关知识的基础上，从6个实例入手，通过对比分析共同特征，从中抽象概括出元素和集合的含义（描述性概念），在渗透抽象概括思想的同时，提升数学抽象素养。由于集合是一个原始的、不定义的概念，教科书通过研究集合中元素的性质、元素与集合的关系等帮助学生深入了解集合的含义。其中元素与集合的关系是后续研究集合之间的关系和集合运算的基础，其实质是个体与整体间的关系，其本质是基于集合概念基础上的判断，是推理的初级阶段，也是进一步学习逻辑思维的基础和前提。列举法和描述法是集合的两种重要表示方法，既相互对立，又相辅相成。列

3、举法可直接清晰地认识集合中元素的个性特点，在此基础上可进一步抽象概括出集合中元素的特征性质；描述法可更加凸显集合中元素的公共属性，也可通过列举其中的特殊元素从而对集合中元素的公共属性有更加具体的认识。教科书通过实例分析和应用不断地强化学生对这两种表示方法的理解。通过不同表示方法的相互转换，引导学生体会自然语言、列举法和描述法各自的特点，并初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象，在渗透化归转化思想的同时，提升数学抽象素养。结合以上分析，确定本节课的教学重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合。学情分析：作为高中数学的开篇，集合的学习起点是义务教育阶段所学的相关知识。小学阶段主

4、要是在教科书中渗透集合的思想方法，用集合的图示法让学生直观理解相关数学知识，从中体会集合思想方法的作用。初中阶段主要是向学生介绍一些具体的集合和用集合来定义数学概念（比如正数集合、无理数集合、不等式的解集、圆的概念和线段的垂直平分线的概念等），但不涉及集合的意义及其数学表示。高中阶段学生开始系统地学习集合论的初步知识，尤其突出集合的“语言功能”，要求学生初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象。但是由于概念抽象、子概念多，而且符号术语也多，需要学生较高的抽象思维能力，而初中阶段的思维模式中，数学学习更具体、直观，这就导致高中生在学习集合知识时存在较多的困难，它需要学生的学习经历一个从直

5、观到抽象、从感性认识到理性思考的过程。同时，由于符号语言的表述，使得高中语言表达的抽象性要远高于初中学习要求，这也导致了“集合的表示方式”成为了本课的难点。尤其是描述法更是学习的难点，主要难在对于“共同特征”的描述及符号表示，需要学生有较高的抽象概括能力。结合以上分析，确定本节课的教学难点：用描述法表示集合。为突破这一难点，教学中要借助实例分析，向学生详细解释何为共同特征以及如何用符号表示。通过应用让学生学会识别并用符号表示共同特征，熟悉描述法的表示形式。对于重要的数学语言xAP(x) ，教师要注意从“语言的角度”讲清楚，理解其形式所表达的意义：x代表集合的元素即描述的对象， p(x)表示元素

6、x满足的条件，读作“元素x满足条件p(x)”，这样更有利于学生对描述法的理解。对于教科书第4页中的“显然，对于任何yxAP(x)，都有yA，且p(y) 成立”这句话的理解，教学中一定要借助具体的集合实例，让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象、由文字语言到符号语言表示的过程，这样有利于帮助学生理解描述法。同时，教学中要通过创设各种问题情境引导学生对三种表示方法进行相互转换和分析对比，从中体会不同表示方法各自的特点和适用范围。通过多举例、多使用、多交流、多表达帮助学生突破难点。教学目标：1.通过实例，了解元素及集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系；2.了解集合相等的含义，了解集合中元素的确定性

7、、互异性、无序性；3.知道常用数集及其专用记号；4.针对具体问题，能在自然语言基础上，用列举法和描述法刻画集合，从中感受集合语言的意义和作用，提升数学抽象素养。教学过程：（一）章引言问题1：（1）观察这张非洲大草原图片，列举你看到的集合。（2）在有理数范围内方程有解吗？在实数范围内呢？（3）到定点的距离等于定长的点组成的图形一定是圆吗？师生活动：学生观察、独立思考、讨论交流。教师提示，图中的斑马群、角马群等都是同一类研究对象集中在一起而成的。若将范围扩展到非洲动物，它们又成为了“非洲动物”这个研究总体的一部分。在研究问题、表达交流时，我们需要在同一个范围、讨论的是同一类问题，这样才会有实际效果

8、，否则就会出现风马牛不相及的局面。同样地，研究数学问题时，也需要明确研究对象、确定研究范围，正如问题（2）中给出的不同范围内方程的解不同（方程在有理数范围内无解，在实数范围内解为），问题（3）中不同范围内动点的轨迹不同（在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆；在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成的图形为球面）。而要“明确研究对象、确定研究范围”就需要使用到集合的语言和工具，因为集合语言可以简洁、准确地表述数学对象及研究范围。除了集合语言，常用逻辑用语也是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，它的学习将有助于提升数学表达和交流的逻辑性、严谨性和

9、准确性。设计意图：介绍章引言及章头图，使学生对本章学习内容、学习目标和学习意义在总体上有一个大致的了解，帮助学生高屋建瓴地认识学习内容，感受学习集合和常用逻辑用语的必要性。问题2：在小学和初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？师生活动：教师提问，学生回答。对于学生表述不完整的地方，教师进行适当的补充和点拨，并分析这些集合的研究对象。设计意图：为学生搭建初高中过渡的桥梁，从回顾旧知到学习新知。通过回忆、交流，让学生明白集合并不陌生，在初中已有所接触。借助以前学生熟知的例子，引出“集合”这一概念，并为后面进一步研究集合做好准备工作。（二）元素和集合的含义问题3：阅读教科书第2页思

10、考之前的6个例子，这些例子也都能组成集合吗？你能概括出它们具有的共同特征吗？师生活动：学生阅读教科书，先独立思考，再讨论交流。教学中师生可共同分析（1）和（2），指出：例（1）中，研究对象是110之间的每一个偶数2，4，6，8，10，这5个偶数的全体就是一个集合；例（2）中，研究对象是立德中学今年入学的每一位高一学生，他们的全体也是一个集合。教师接着可再举例，比如把（1）中的“偶数”换为“整数”，它还是一个集合吗？把“偶数”换为“奇数”呢？再如，把（2）中增加一些限制条件，比如立德中学高一（1）班全体学生还能组成集合吗？立德中学高一（1）班全体女生？全体男生等等。例（3）到（6）由学生自主分析

11、，引导学生在观察的基础上先用自己的语言概括共同特征，在学生表述的基础上教师再给出元素与集合的概念。设计意图：从生活和学习中的例子出发研究集合，一是让学生了解集合与我们的生活、学习息息相关，从而使学生认识到研究集合的必要性；二是为研究集合提供大量素材，便于引导学生观察实例，使学生在充分体验和感悟的基础上归纳、抽象概括生成元素（element）与集合（set）的概念，在帮助学生深刻理解集合含义的同时，培养抽象概括能力，同时为后面的学习做好铺垫；三是让学生学会自觉地研读教科书，培养学生的自主学习能力。问题4：判断下列元素的全体是否组成集合，如果是，指出该集合的元素，如果不能组成集合，请说明理由。（1

12、）我国的直辖市；（2）高一（1）班的高个子同学；（3）较小的数；（4）单词“settee”中的字母。师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。教师要引导学生明确判断的标准是能否清晰地判断某个元素在不在这个范围内，并提出以下问题进行追问。追问1：你能举出一些集合的例子吗？师生活动：教师提问，学生举例，其他学生判断所举的例子中的对象是否构成集合，针对学生的举例和判断，教师引导、补充、完善。追问2：集合中的元素具有哪些特征？如何解释这些特征？师生活动：结合上面的例子和学生所举的集合例子，学生先独立思考后交流，根据学生的交流情况，教师再引导学生一起分析。由（2）（3）说明给定一个集合，它的元素必须

13、是确定的，即集合中元素的确定性。教学中要用“怎样才算高个子同学”、“怎样才算较小的数”、“高的标准是什么”等问题引导学生发觉表述的不准确性，概念的模糊性、不具体性，从而导出集合的元素是确定的，即任何一个对象都能确定它是不是某一个集合中的元素，这是集合最基本的特性，没有确定性就不能成为集合。由（4）集合中含有3个元素引导学生明确集合元素之间的互异性（一个给定集合中的元素是互不相同的）。追问3：类比实数相等，两个集合相等应满足什么条件？师生活动：教师提问，学生独立思考并回答问题，教师补充完善，给出两个集合相等的条件。引导学生类比实数相等得出两个集合相等应满足的条件：两个集合的元素是一样的。教学中可

14、举例说明，比如（4）中的集合和单词“set”中的字母构成的集合就是相等的。设计意图：通过以上问题的研究，加深学生对集合概念的巩固和理解，初步体会集合语言表述知识的简洁性和严谨性。学生举集合例子的过程就是对概念的理解过程。教学中要启发和引导学生大胆地列举生活与学习中的集合例子，并根据学生的回答情况适时地予以补充和完善。通过举例，学生进一步理解集合的含义，体会集合元素的确定性和互异性。（三）元素、集合及其关系的表示问题5：阅读教科书第2页倒数第4行“我们通常用大写拉丁字母”至第3页表格中的“数学中一些常用数集及其记法”，并回答：（1）元素与集合之间存在着什么关系？请举例说明。（2）常用的数集有哪些

15、？分别用什么字母表示？师生活动：学生自主阅读后交流，在此基础上，教师梳理、总结。集合与元素的字母表示、元素与集合关系的符号表示：用大写拉丁字母A,B,C,表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,表示集合中的元素。a属于A ，aA 。 a不属于A，aA。对于元素与集合之间的这种关系，教学时要多列举一些例子，让学生了解它们之间的差异，并在具体运用中逐渐熟悉。比如a与a，一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素的一个集合，所以00，而不能写成0=0等。对于常用数集及其记法，教学中要引导学生回忆数集的扩充过程，并向学生介绍这些常用数集的来历。非负整数集或自然数集N：自然数的英文Natural numb

16、er的首写字母；整数集Z：德语中的整数Zahlen的首字母，德国女数学家诺特于1921年写出的整环的理想理论在引入整数环概念的时候，她将整数环记作Z；有理数集Q：商的英文Quotient的首字母，任何一个有理数都是两个整数之比的结果（商）；实数集R：实数的英文Real number首字母。设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，学生通过阅读，熟悉自然语言和符号语言，并建立它们之间的对应关系。学生举例的过程就是对概念的理解过程。学生通过举例可以了解它们之间的差异，并在具体运用中逐渐熟悉。通过每个数集符号“来历”的解读向学生渗透数学文化，增加学生进行理解记忆的理性特征，巩固记忆效果。同时

17、，作为下一个问题的载体，起到生成“集合的表示方法”等新知的作用。（四）集合的表示问题6：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，用大写的拉丁字母表示一个集合，一些常用的数集还有专用的字母表示。除此之外，我们还可以用什么方式表示集合呢？师生活动：引导学生阅读教科书、独立思考、讨论交流，根据学生交流情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问。1.列举法追问1：（1）我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，你会用符号来表示问题4中（1）和（4）相应的集合吗？（2）表示一个集合，关键是确定什么？师生活动：学生思考后交流、回答。学生首先会想到用大写拉丁字母表示集合，但是除常用

18、数集记号外，用大写拉丁字母表示集合不能体现出集合中的具体元素是什么，表示一个集合，关键是确定它包含哪些元素，从而引导学生在“列举”的基础上规范生成两个集合的列举法表示：“我国的直辖市”组成的集合记作A，那么 A=北京，上海，天津，重庆；“单词settee中的字母”组成的集合记作B，那么B=s，e，t。追问2：（1）你能概括出上述表示方法的特点吗？（给出列举法定义）（2）列举法表示集合需要注意哪些问题？哪些类型的集合用列举法表示为宜？师生活动：教师提问，学生独立思考并回答问题，教师引导学生梳理讨论交流的结果。引导学生归纳总结列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法

19、。引导学生分析列举法表示集合需要注意的问题：各元素间用“，”隔开；集合中的元素不能遗漏，更不能重复（互异性）；元素之间不用考虑先后顺序（教师要举例说明，比如s，e，t=s，t，e 。指出这是集合元素的特性之一：无序性。这里教师要梳理并强调集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。）；所有元素都必须置于花括号“”内；列举法一般应用于集合中元素的个数较少的情况。通过分析进一步加深学生对列举法的理解，使学生能够正确熟练地使用列举法。注意提醒学生表示集合的“ ”已有全体、所有、集合的意义，表示集合时不必再添上“全部”“所有”“全体”等字眼。设计意图：通过以上问题的研究，得出集合的列举法表示，体会列举

20、法表示的特点，培养归纳概括能力。问题7：（1）你能用自然语言表示集合0,3,6,9吗？（2）你能用列举法表示不等式x-73 的解集吗？师生活动：学生回顾集合的列举法表示和不等式解集的含义，在独立思考的基础上交流、探讨，教师启发引导、补充总结。对于（1），学生一般会用自然语言表述如下：小于10且能被3整除的自然数，既大于等于0又小于等于9的被3整除的数等，教学中要注意学生自然语言表述的准确性和严谨性。学生在交流探讨中会发现列举法表示集合相对比较简单，但是有些集合并不能用列举法表示，如（2）中不等式的解集，因为不等式x-73的解是x10 ，满足x10的实数有无数个，我们不能一一列举，所以x-73的

21、解集无法用列举法表示，这就说明了学习描述法的必要性。设计意图：在复习巩固列举法表示集合方法的同时，引出集合另外一种表示方法描述法。学生在把列举法表示的集合转化成自然语言表示的过程中，需要抽象概括出研究对象的一般特征，有助于积累数学抽象经验，同时也为后面学习“描述法”做好铺垫。2.描述法追问1：这个解集中的元素具有什么样的共同特征？怎样表示不等式x-73的解集？师生活动：学生独立思考后讨论交流，教师梳理总结后给出其解集的描述法表示。根据初中所学的不等式的相关知识，学生很容易发现解集中元素的特点，即：x是实数，且x10。教师指出：利用解集中元素的共同特征，我们可以把解集表示为 xRx10 。追问2

22、：（1）整数集Z可以分为奇数集和偶数集。那么奇数的共同特征是什么？你能用上面的表示方法表示奇数集吗？（2）偶数集又如何表示呢？师生活动：学生回忆奇数的定义，在此基础上交流、探讨奇数的共同特征，教师引导学生模仿上面的表示方法表示奇数集。对于每一个xZ，如果它能表示为x=2k+1(kZ）的形式，那么x除以2的余数为1，它就是一个奇数；反之，如果x是一个奇数，那么它除以2的余数为1，它就能表示为x=2k+1(kZ）的形式。所以，x=2k+1(kZ）是所有奇数的一个共同特征。于是奇数集可以表示为xZ|2k-1,kZ。显然，若y是奇数，则y必是整数，且y除以2的余数为1.符号表示即：若yxZ|x=2k+

23、1,kZ，则必有yZ，且y=2k+1,kZ。需要注意的是，学生用描述法表示奇数集合时可能会出现多种表达形式。比如，奇数集也可以表示为xZ|x=2k-1,kZ等，它们虽然在表达形式上是不同的，但本质上是相同的，这也反映了集合表达的多样性，反映了数学世界的多样性。教学中可引导学生根据集合相等的含义去判断它们的等价性。学生模仿上述研究过程自己探究，得出偶数集可表示为 xZ|x=2k,kZ。追问3：（1）你能概括出上述表示方法的特点吗？（给出描述法定义）（2）在描述法中，竖线前后各表示什么内容？描述法表示集合需要注意哪些问题？哪些类型的集合用描述法表示为宜？师生活动：引导学生观察、思考、分析，教师归纳

24、总结描述法定义。引导学生归纳总结描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x) 。其中x是这个集合的元素的代表形式，A是元素的取值（或变化）范围，P(x)是集合中元素所具有的共同特征。引导学生分析用描述法表示集合时需要注意的问题：写清该集合中元素的代表符号。用简明、准确的语言说明该集合中元素的性质。代表元素x与元素x的性质P(x)间须用“|”隔开，竖线前是集合元素的代表符号及取值（或变化）范围，竖线后是集合元素具有的共同特征即集合中元素的性质；在集合中不能出现未说明的字母，如果出现，要对新字母说明它的含义或指出它的取值范围；所有描

25、述集合的内容均需置于花括号内；可用冒号或分号代替竖线，写成xA：P(x) 或 xA;P(x)； ；元素的取值（或范围）从上下文来看，若是明确的可省略不写。如集合xRx10 可表示为 ；多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如xx=1,或x=2 ；适用于集合元素有无限多个的情况。追问4：你能用描述法表示有理数集吗？师生活动：引导学生回忆初中所学的有理数的相关知识，归纳概括有理数的共同特征，师生共同写出有理数集的描述法表示。设计意图：通过以上问题的研究，得出集合的描述法表示，体会描述法表示的特点和集合语言表述知识的简洁性和严谨性，培养归纳概括能力。通过用描述法表示奇数集、偶

26、数集和有理数集，向学生详细解释何为共同特征以及如何用描述法表示集合，让学生学会识别并用符号表示共同特征，熟悉描述法的表示形式。在此基础上，通过借助具体的集合实例，让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象、由文字语言到符号语言表示的过程，帮助学生理解“对于任何yxAP(x)，都有yA，且P(y)成立”的含义，从而加深学生对描述法的理解，帮助学生正确熟练地使用描述法，最终突破教学难点。（五）巩固应用例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合。师生活动：两个学生板书，其余学生练习，教师巡视指导、点评总结。设计意图：巩固、示范用列举法表示集合的方法，同

27、时再次说明集合中元素的列举与元素顺序无关（无序性）。追问：你能用描述法表示这两个集合吗？师生活动：引导学生思考、讨论，分析这两个集合中的元素及元素的共同特征，并用描述法表示。设计意图：巩固、示范用描述法表示集合的方法。例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B 师生活动：引导学生分析集合中的元素及元素的共同特征，教师给出解答示范。设计意图：巩固描述法和列举法，学生体会描述法与列举法各自的特点。练习：1.选择恰当的表示法表示本节开始时的6个例子；2.教科书第5页练习第3题。师生活动：学生先自主完成，然后进行展示，最

28、后教师点评总结。设计意图：通过让学生根据需要选择适当的方法表示集合，深化从不同集合语言形式对同一内容的理解，并从中体会集合的三种表示方法（自然语言、列举法和描述法）的必要性、各自的特点和适用对象。学会综合联系所学知识去分析和选择较简单、较明了的集合的表示法，从中感受集合语言的意义和作用，培养学生数学语言转换能力。问题8：举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点。师生活动：学生独立思考、讨论交流，根据学生交流情况，教师补充完善、提炼总结。自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法，既简单明了，通俗易懂，又能清晰的反映出集合当中的所有元素。列举法：把集合中元素一一列举出来表示集合的方

29、法。一般情况下，对于有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点。描述法：用概括集合所含元素的共同特征来表示集合的方法。对于无限集，一般采用描述法。设计意图：让学生反思、总结本节的学习，体会不同表示方法的特点。学生举例说明的过程实际上就是对三种表示方法理解掌握的过程。通过交流使学生明确三种表示方法各自的特点及使用范围，体会它们的区别和联系。表示集合时应根据具体问题确定采用哪种表示方法。使学生体会到作为数学表达的两种基本形式，列举法和描述法是既相互对立，又相辅相成的，用列举法表示集合可以得到对集合中元素个性特点的直接的、清晰的认识，在此基础上可进一步抽象概括出集合中元素的特征

30、性质；用描述法表示集合可更加突显集合中元素的公共属性，也可通过列举其中的特殊元素从而对集合中元素的公共属性有更加具体的认识。（六）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：（1）什么是集合？集合元素有哪些特性？两个集合相等应满足什么条件？（2）元素与集合之间存在什么关系？如何用符号表示？（3）常用的数集有哪些？分别用什么字母表示？（4）集合的表示方法有哪些？各自的优点及适用对象是什么？使用时应该注意哪些问题？师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，教师注意引导和规范、完善学生的回答。设计意图：通过回忆、归纳、总结的方式把知识点串联起来，使学生对本节课的知识形成系统而全面的认识。布置作业：教科书习题1.1第1，2，3题。数学小论文：阅读教科书第6页拓广探索，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识。设计意图：通过设计这样一道数学文化的题目，引导学生体味集合为何“惊人”和“最美”，从中感受数学的精神和价值，提升数学文化素养和学科核心素养。11