人教A版（2019）高中数学必修第一册4.1.2无理数指数幂及其运算性质教案.docx

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1、4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教材分析：对于无理数指数幂的认识,教科书安排了一个探究栏目，从具体的开始假设有意义，根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，由的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），计算相应的的值,并填入表中可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数这时，从差趋向于0，也可以进一步说明都趋向于同一个数，这个数就是也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是

2、唯一的，它是一个确定的实数,这个数就是无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左、右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案。教科书接下来安排了一个“思考”栏目，让学生类比的探究过程，探究。也是一个确定的

3、实数，在数轴上有唯一的点与它对应 在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂（a0，为无理数）是一个确定的实数这个结论使以后能在实数范围内定义指数函数，在区间（0，+）内定义对数函数这样，我们把指数幂（a0）中指数x的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义，因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样，如果底数是负数，指数为，仍然没有意义.对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推

4、导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略因此本节课的教学重点是：理解无理数指数幂的意义.学情分析：有理数指数幂的意义比较明显，它可以看成n次方根，但无理数指数幂的意义就没有那么明显有理数扩充到实数的过程中，无理数的产生既有实际的背景，又有数学背景，如单位正方形对角线的长度但是幂的指数由有理数推广到实数，指数变为无理数，很难有实际背景，这完全是数学理性思维的结果不过这种推广，从思维的角度看，也是自然的在有理数推广到实数的过程中，我们通过有理数的不足近似值和过剩近似值,运用夹逼方法,认识了无理数,得出它的近似值，并说明它是无限不循

5、环小数，给出是无理数的证明同样，对于无理数指数幂,可以运用有理数推广到无理数的经验,通过有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法,认识无理数指数幂的意义.因此本节课教学难点是：理解无理数指数幂的意义.教科书通过“探究”中的表格，以及图4.1-1的数轴这两种方式展示逐步逼近的过程表格展示数据,呈现具体的数值,非常醒目；数轴上表示数值可以从宏观、整体上把握变化的趋势，两者结合相得益彰这样逐渐逼近的过程，比较直观，学生不难理解通过逼近，使学生认识任何正数的实数次幂都是确定的实数这样一个结论教学时，可以利用计算工具计算，将的不足近似值和过剩近似值逐步精确，从而更好地看到的不足近似值和过剩近似值逼近的过程

6、；也可以利用信息技术工具作图，在数轴上将附近逐步放大，直观展示上述逼近过程，加深学生对于无理指数幂的理解教学目标：1.通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义；2掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养.3.学生能正确地完成无理数指数幂的运算.教学重点：理解无理数指数幂的意义.教学难点：理解无理数指数幂的意义教学过程：1.复习巩固，深化理解例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：追问：求解的依据是什么？请你默写。师生活动：学生先默写有理指数幂的运算性质，然后独立完成例4，并展示，教师予以纠错并规范设计意图：复习上一节学习过的有理指数幂的及其运算性质，为本节课无理指

7、数幂及其运算性质的学习做好铺垫2提出问题，引发思考问题1上面我们将（a0）中指数x的取值范围拓展到了有理数.那么，当指数x是无理数时，这个指数幂有没有意义？说说你的理由？师生活动：激发学生展开争论，回答上述问题无理数既然存在，无理数幂也应该存在，是否存在的标准应该是在数轴上能否找到与其唯一对应的点.设计意图：明确本研究的重点、难点，激发学生的探究欲望追问1：无理数是如何发现的？请设计一个方案在数轴上找到这个数的位置.教师讲解：希帕索斯（Hippasus，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即）永远无法用最简整数比来表示（不可公度比），从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的

8、著名理论。当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数设计意图：类比无理数的发现过程，为研究无理数指数幂的意义提出方法。追问2：类比无理数的逼近方法，设计方案解释的意义.师生活动：学生借助计算工具，分别计算出一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂把它们逐一标记在数轴上，并探究规律.无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持

9、下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一.设计意图：通过类比无理数的夹逼方法，解释的意义，学生体会其中蕴含的极限思想.3类比归纳，形成定义教师讲解：（1）如何理解无理数指数幂一般地，无理数指数幂（a0，为无理数）是一个确定的实数进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样，如果底数是负数，指数为，仍然没有意义.（2）实数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，

10、即对于任意实数r，s，均有运算性质对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略3.初步应用，深化理解例5 计算下列各式（式中字母均是正数）：追问：求解的依据是什么？结合例1至例4的求解经验，应该注意什么问题？师生活动：学生独立完成，并展示，教师予以纠错并规范追问：这些题目的求解与例4的求解有哪些异同？预设的答案：运算对象有差异：指数为无理数，但是运算的过程是一致的设计意图：巩固无理指数幂的运算性质，并理解无理指数幂与有理指数幂运算的一致性4梳理小结问题2：实数指数幂运算性质有哪些特点？与有理指数幂运算性质有什么异同？师生活动：学生总结教师完善实数指数幂运算与有理指数幂的运算性质是一致的，其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化的呈现是以降低一个运算级来实现的.5.布置作业教科书109页练习1、2.五、目标检测设计计算下列各式设计意图：检测把根式化为分数指数后简化运算.