人教A版（2019）高中数学必修第一册2.2基本不等式同步训练.doc

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1、2.2 基本不等式1设a，且，则（ ）ABCD2若函数在处取最小值，则等于（ ）A3BCD43已知，则的最小值为（ ）A3B4C5D64若，则的最大值为（ ）A1BCD5若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）AB或CD或6设，若3是与的等比中项，则的最小值为（ ）.ABCD7函数的最小值等于（ ）A6B9C4D88下列式子中最小值为4的是（ ）ABCD9设实数、满足，且.则的最小值是（ ）ABCD10在中，、分别是边、的中点，若，则的最小值为（ ）ABCD11若,则的最小值为_.12已知，则的最小值_.13若，则函数的最小值为_14若，则的最小值是_.15设，则的最小值为_.

2、16迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.17已知（1）若，求的取值范围.（2）求证.18（1）已知，且，求的最小值（2）已知是正数，且满足，求的最小值19已知函数.（1）若 ，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.20若，求的最小值.21若实数、满足，则称比远离（1）若比

3、远离1且，求实数的取值范围；（2）设，其中，求证：比更远离；（3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由22已知，求证：（1）；（2）23某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图（如下图）表中，（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据、，其回归直线的斜率和截距的最

4、小二乘估计分别为，.24已知函数.对任意，且，求证：（1）；（2）.25已知，在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且.（1）求角A的大小；（2）设的面积为，求的取值范围.参考答案1D【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确【详解】，故A错；，即，可得，故B错；，而，则，故C错；，等号取不到，故D正确；故选：D2A【分析】利用配凑法和基本不等式求函数的最小值，可得出取等条件，求出值【详解】函数当且仅当即时取到等号，则故选：A【点评】本题考查基本不等式的应用，考查基本不等式求最值时的取等条件，考查学生计算能力，属于基础题3C【分析】由，得，则，利

5、用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5，故选：C.【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4C【分析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件【详解】，当且仅当，即时取等号则的最大值为故选：C【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题5B【分析】先根据条件求解出，然后根据不等式有解得到，由此求解出的取值范围.【详解】因为，取等号时，所以，因为不等式有解，所以，所以或，故选：B.【点评】本题考查利用基本不等式求解不等式

6、有解问题，对学生的转化与计算能力要求较高，难度一般.运用基本不等式时注意说明取等号的条件.6D【分析】先找到a,b的关系，再利用基本不等式求解.【详解】因为3是与的等比中项，所以所以a+b=2.所以，当且仅当时取等.故选D【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值和等比中项的应用，解题的关键是“配凑”，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7D【分析】由，得，利用基本不等式求出最值即可【详解】因为，所以，因此，当且仅当，即时，等号成立.故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生计算能力，属于中档题8D【分析】对于A，当时，有最大值；对于B，等号取不到，最小值不是；对于C，

7、当时，有最大值；对于D，最小值为4【详解】对于A，当时，不符合题意；对于B，成立的条件为，不符合题意；对于C，当时，不符合题意；对于D，；故选：D【点评】本题考查基本不等式的应用，考查利用不等式求最值，属于中档题9C【分析】由已知，分别讨论，两种情况，结合基本不等式分别进行求解后比较可得的最小值.【详解】由题意可知，.当时，当且仅当且，即，时取等号，当时，当且仅当且时取等号，综上可得，的最小值.故选：C.【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对的符号进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.10A【分析】建立坐标系，设出、两点坐标，表示出、三点坐标，将的最小值转化为向量的数量积运算

8、处理，利用基本不等式即可求解【详解】依题意，如图，设、，因为为中点，为的中点，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查了利用基本不等式求最值，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，推理转化能力，属于难题118【分析】对原式化简，可得，再根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为又，所以，所以;当且仅当时 ，即时取等号.故答案为：.【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.12【分析】将原式变形为，再使用基本不等式即可【详解】，当且仅当，又，即取等号13【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值【详解】因

9、为，所以，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当时，函数的最小值为.故答案为：.144【分析】将原式变为，再利用基本不等式求解出最小值.【详解】因为，取等号时且，即，所以的最小值为，故答案为：.【点评】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.154【分析】根据题意，

10、将原不等式化简为，再利用基本不等式可得，再次使用基本不等式即可求出结果【详解】因为，所以 ，当且仅当 时取等号，此时的最小值为故答案为：.【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（1）高为，宽为时，可使广告的面积最小为；（2）高为，宽为时，可使广告的面积最小为.【分析】（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以，表示出广告的面积，利用基本不等式求出最小值即可；（2）由题，解得，由（1）可得，利用对勾函数的单调性可得出广告面积的最小值【详解】（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以广告的高为，宽为(其中)广告的面积当且仅当，即时，取等号，此时.故当广告矩形栏目的高为

11、，宽为时，可使广告的面积最小为（2）由题，解得由（1）可得当时，广告的面积最小为故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为【点评】本题考查基本不等式解决实际问题，考查基本不等式和对勾函数求最值，考查学生审题能力，属于中档题17（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）将代入已知，利用换元法解出关于的一元二次不等式，可得的取值范围；（2）将进行变形化简，可证得不等式成立【详解】（1）令，或，当且仅当时取到等号则的取值范围是（2）证明：当且仅当时取“=”当且仅当时取“=”【点评】本题考查利用基本不等式求最值或范围，考查基本不等式证明不等式，考查学生逻辑思维能力，属于中档题18（1）；（2）

12、.【分析】（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出的最小值；（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值【详解】（1），由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为；（2）由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题19（1）最小值为；（2）.【分析】（1）由利用基本不等式即可求得函数的最小值； （2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”不妨设，则只要在0，2恒成立结合二次函数的图象列出不等式解得即可【详解】

13、解：（1）依题意得.因为x0，所以 .当且仅当，即时，等号成立.所以.故当时，的最小值为 .（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.不妨设，则只要在上恒成立.所以 即解得.所以a的取值范围是.【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题203【分析】，运用基本不等式可求函数的最小值.【详解】，原式=.当且仅当时，即时等号成立，综上，当时的最小值为3.【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值，属基础题，对式子进行灵活变形，合理创建使用基本不等式的条件是解题关键21（1）；（2）证明见解析；（3）比更远离理由见解析.【分析

14、】（1）由题意利用已知条件消去y，得到，两边平方即得；（2）利用分析法证明即可；（3）结合基本不等式的变形，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，并结合消元思想，配方法可以得到结论.【详解】（1）由题意，即，两边平方，得；（2）即证，即证，即证，即证（*），（*）成立，即比更远离；（3），从而，时，即；时，即；综上，即比更远离【点评】本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，分析法证明不等式，分类讨论思想，属中高档题，难度较大.22见解析【分析】（1）利用均值不等式，结合即得证；（2）利用，转化，利用均值不等式即得

15、证【详解】（1） 且 当且仅当时等号成立（2） 且 当且仅当，即时等号成立.【点评】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题23（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据散点图的形状可选择合适的回归模型；（2）将数据代入最小二乘法公式求得，求得和的值，进而可得出关于的回归方程；（3）设，可得关于的函数关系式，然后利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件【详解】（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；（2）由公式可得：，所以所求回归方程为；（3）设，则煤气用量，当且仅当时，等号成立，即当时，煤气用量最小【点评】本题主要考

16、查非线性回归方程的求解与应用问题，将问题转化为线性回归并利用最小二乘法求解模型是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.24（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）即证明函数在上是减函数，只需证明，根据，所以，继续朝着目标式子整理即可.（2）当，且时，由均值不等式知，结合（1），所以，再证明，即证明，把上式和结合整理即可.【详解】证明：(1)由题意，.因为，所以，所以，即所以.即，x1，+).从而f(x)在1，+)上单调递减，因此.(2)当，且时，由均值不等式知，结合（1），所以 又由均值不等式有.从而，即 由可知，.【点评】不等式的证明是难点，需要结合函数的单调性、基本不等式、引入中间变量以及放缩等方法多管齐下放可奏效；难题.25（1）；（2）【分析】（1）.由正弦定理可得：，化简整理即可（2）的面积为，得 ，由余弦定理可得：，【详解】解：（1）.由正弦定理可得：，又，可得：，又，所以. （2）因为，的面积为，解得 由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立.综上，边的取值范围为【点评】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.