人教A版（2019）高中数学必修第一册3.1.1函数的概念 学案.doc

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1、3.1.1 函数的概念学习目标：1.在初中的基础之上，进一步体会函数描述的是变量之间的依赖关系，会用集合与对应的语言来刻画函数,2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义核心素养：1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养学习过程：【知识导学】 知识点一 函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，x

2、A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集【名师点拨】(1)对应中的两个集合A，B是非空的实数集，（2）函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应注意其中的(任意性)、(存在性)、(唯一性)（3）集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即f(x)|xAB.（4）在函数定义

3、中，我们用符号yf(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”，也就是说：对应关系f是函数的本质特征，好比计算机的某种程序（或解决某问题的方法），当我们在f( )中括号里面放入某个x，就会按照这个程序得到一个结果即y值（5）函数的三要素，从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，判定函数和函数相等的依据知识点二 区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且ab.我们规定：(2)特殊区间的表示定义Rx|xax|xax|xax|xa符号(，)a，)(a，)(，a(，a)注意：(1)无穷大“”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则(2)

4、以“”或“”为区间一端时，这一端必须用小括号【初试身手】1（2020浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）ABCD【答案】C【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量如图，C选项中，在x允许的取值范围内取xx0，此时函数y与之对应的有2个值，yy1，yy2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C2（2020四川阆中中学高一月考）下面各组函数中是同一函数的是（ ）A与B与C与D与【答案】D【解析】因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不同，选项C

5、中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D.3. 构造一个问题情境，使其中的变量关系能用关系式yx2来描述【答案】边长为x的正方形的面积4（2020全国高一）若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】：由，可得；所以；.故选C.5（2020枣庄市第三中学高一月考）函数的定义域为( )A且B且C D【答案】A【解析】由题意得：，解得： 且.故选：.合作探究 函数的定义例1（1）下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是()【答案】D(2)已知集合A0，8，集合B0，4，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：x

6、yx【答案】D【解析】对于A中的任意一个元素，在对应关系f：xyx；f：xyx；f：xyx下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系对于A中的元素8，在对应关系f：xyx下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系(3)下列各组函数是同一函数的是()f(x)与g(x)x；f(x)x与g(x)；f(x)x0与g(x)；f(x)x22x1与g(t)t22t1.ABC D【答案】C【解析】f(x)|x|与g(x)x的对应法则和值域不同，故不是同一函数g(x)|x|与f(x)x的对应法则和值域不同，故不是同一函数f(x)x0与g(x)都可化为y1且定义域是x|x0，故是同一函数f(x)x22

7、x1与g(t)t22t1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是.故选C方法技巧(1)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤任取一条垂直于x轴的直线l；在定义域内平行移动直线l；若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数 (2)判断所给对应关系是否为函数的方法先观察两个数集A，B是否非空；验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性（2）判断函数相等的方法先看定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同变式训练1下列四个图象中，不是函数图象的是(

8、)A B C D【答案】B【解析】根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件故选B.2下列各组函数中是相等函数的是()Ayx1与yByx21与st21Cy2x与y2x(x0)Dy(x1)2与yx2【答案】B【解析】A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B求函数值例1（1）.已知f(x)x32x3，求f(1)，f(t)，f(2a1)和f(f(1)的值【答案】6,t32t3,8a312a210a,3【解析】f(1)132136；f(t)t32

9、t3；f(2a1)(2a1)32(2a1)38a312a210a；f(f(1)f(1)32(1)3)f(0)3.（2）已知函数f(x)2x24，xR，若f(x0)2，求x0的值【答案】x0【解析】易知f(x0)2x4，2x42，即x3.又x0R，x0.方法技巧函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则.变式训练1.设f(x)2x22，g(x)，(1)求f(2)，f(a3)，g(f(2)(2)求g(f(x)【答案】（1）10，2a212a20，（2）【解析】(1)因为f(x)2x22，所以f(2)222210

10、，f(a3)2(a3)222a212a20.因为g(x)，g(f(2)g(10).（2）g(f(x).2.已知函数f(x)x22x，x(，0)，若f(x0)3.求x0的值【答案】-1【解析】由题意可得f(x0)x2x0.x2x03，即x2x030.解得x03或x01.又x0(，0)，x01. 区间表达例3已知集合A=x|5-x0,集合B=x|x|-30,则AB用区间可表示为.【答案】(-,-3)(-3,3)(3,5【解析】A=x|5-x0,A=x|x5.B=x|x|-30,B=x|x3.AB=x|x-3或-3x3或3x5,即AB=(-,-3)(-3,3)(3,5.变式训练1.集合x|0x1或2

11、x11用区间表示为.【答案】(1)(0,1)2,112. 若集合A=2a-1,a+2,则实数a的取值范围用区间表示为.【答案】(-,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或a,b)成立的条件是ab.A=2a-1,a+2,2a-1a+2.a1且x1（4）x|x3，且x5【解析】(1)函数y2x3的定义域为x|xR(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x1且x1，即函数定义域为x|x1且x1(3)函数有意义，当且仅当解得x1且x1，所以这个函数的定义域为x|x1且x1(4)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足解得x3，且x5，即函数的定义域为x|x3，且x5方法技巧(1

12、)整式：若yf(x)为整式，则函数的定义域是实数集R.(2)分式：若yf(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集(3)偶次根式：若yf(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)(4)几部分组成：若yf(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集变式训练求下列函数的定义域(1)f(x)(2)y；(3)y.【答案】（1）1,1)(1，)（2）(2,3)(3，)（3）(0,1)(1，)【解析】(1)由解得x1，且x1.所以所求函数的定义域为1,1)(1，)(2)要使函数有意义，需满足即得x2且x3.所以所

13、求函数的定义域为(2,3)(3，)(3)要使函数有意义，需满足即所以x0且x1，所以所求函数的定义域为(0,1)(1，)例5已知函数f(x)的定义域是1,4，求函数f(2x1)的定义域【答案】【解析】已知函数f(x)的定义域是1,4，即1x4.故对于f(2x1)应有12x14.22x3，1x，函数f(2x1)的定义域是.方法技巧对于抽象函数的定义域：若f(x)的定义域为a，b，则fg(x)中，g(x)a，b，从中解得x的解集即fg(x)的定义域若fg(x)的定义域为m，n，则由xm，n可确定g(x)的范围，设ug(x)，则fg(x)f(u)，又f(u)与f(x)是同一个函数，所以g(x)的范围

14、即f(x)的定义域变式训练若函数f(x1)的定义域为，则函数f(x1)的定义域为_；【答案】【解析】由题意知，x2，则x13，即f(x)的定义域为，x13，解得x4.f(x1)的定义域为.类型5求值域例6求下列函数的值域：(1)y2x1；(2)yx24x6，x1，5)；(3)y；(4)yx.【答案】（1）R（2）2，11)（3）y|y3（4）0，)【解析】：(1)观察.因为xR，所以2x1R，即函数的值域为R.(2)配方：yx24x6(x2)22，因为x1，5)，如图所示所以所求函数的值域为2，11)(3)借助反比例函数的特征求（分离常数）y3(x1)，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值

15、域为y|y3(4)换元法.设u(x0)，则xu2(u0)，yu2u(u0)由u0，可知，所以y0.所以函数yx的值域为0，)求函数值域的常用方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； 配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域变式训练求下列函数的值域：(1)yx1，x1,2,3,4,5；(2)yx22x3，x0,3)；(3)y；(4)y2x.【答案】（1）2,3,

16、4,5,6（2）2,6)（3）(，2)(2，)（4）【解析】(1)(观察法)因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6(2)(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)(3)(分离常数法)y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)(4)(换元法)设t，则xt21，且t0，所以y2(t21)t22，由t0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为.课堂小结1 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心2 函数符号yf(x)是学

17、习的难点，它是抽象符号之一首先明确符号“yf(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.3 求函数的定义域.值域的一般方法是难点内容。巩固练习 1下列各图中，可能是函数yf(x)的图象的是()【答案】D【解析】A，B中的图象与y轴有两个交点，即有两个y值与x0对应，所以A，B不可能是函数yf(x)的图象；对于C中图象，过x1作与x轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C不可能是函数yf(x)的图象故选D.2对于函数f：AB，若aA，则下列说法错误的是()Af(a)BBf(a)有且只有一个C若f(a)f(b)，则abD若ab，则f(a)f(b)【解析】：选C.根据函数的定义可知，A，B，D正确；C错误3.若0，3a1为一确定区间，则a的取值范围是_【答案】：【解析】根据区间表示数集的方法原则可知，3a10，解得a，所以a的取值范围是.4函数f(x)x的定义域是()Ax|x2 Bx|x2Cx|x2 Dx|x2【答案】C【解析】要使函数式有意义，则2x0，即x2.所以函数的定义域为x|x25已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.【答案】B【解析】原函数的定义域为(1,0)，12x10，解得1x.函数f(2x1)的定义域为.